로그정규 모형과 로그로지스틱 모형¶
지수 모형과 와이불 모형은 위험함수가 단조(일정, 증가, 또는 감소)라고 가정한다. 그러나 현실의 많은 과정은 비단조 위험을 보인다. 위험이 어느 시점에 정점을 이룬 뒤 감소하는 것이다. 대출 부도율은 첫해에 올랐다가 살아남은 차입자 사이에서 떨어지는 경우가 많다. 질병 재발 위험은 치료 직후에 치솟았다가 잦아들 수 있다.
로그정규와 로그로지스틱 모형이 이 봉우리형 위험 양상을 수용한다. 둘 다 가속실패시간(AFT) 족에 속하며 \(\ln T\)를 위치-척도 분포로 모형화한다.
로그정규 모형¶
생존시간 \(T\)가 \(\ln T \sim N(\mu, \sigma^2)\)을 만족하면 \(T\)는 위치모수 \(\mu\)와 척도모수 \(\sigma > 0\)을 갖는 로그정규분포를 따른다.
밀도:
생존함수:
여기서 \(\Phi(\cdot)\)는 표준정규 누적분포함수다.
위험함수:
여기서 \(\phi(\cdot)\)는 표준정규 확률밀도함수다.
로그정규 위험은 단조가 아니다. 0에서 시작해 정점까지 올라간 뒤 \(t \to \infty\)에서 0을 향해 감소한다.
평균과 중앙값:
중앙값의 형태가 특히 깔끔하다. \(\sigma\)와 무관하게 \(e^\mu\)다.
로그정규 부도 위험
어떤 은행이 부도까지의 시간 자료에 로그정규 모형을 적합하여 \(\hat{\mu} = 3.2\), \(\hat{\sigma} = 0.8\)을 얻었다. 부도까지의 중앙시간은 \(e^{3.2} = 24.5\)개월이다. 위험은 중앙값 이전에 정점을 이룬 뒤 감소하는데, 이는 대출의 숙성기에 부도 위험이 올랐다가 떨어진다는 관찰과 부합한다.
로그로지스틱 모형¶
\(\ln T\)가 위치 \(\mu\), 척도 \(\sigma > 0\)인 로지스틱 분포를 따르면 \(T\)는 로그로지스틱 분포를 따른다. 표준적인 모수화는 형상 \(k = 1/\sigma\)와 척도 \(\lambda = e^\mu\)를 쓴다.
생존함수:
위험함수:
밀도:
위험의 모양은 \(k\)에 달려 있다.
| \(k\) | 위험의 거동 |
|---|---|
| \(k \leq 1\) | \(t = 0\)의 \(\infty\)에서 단조 감소 |
| \(k > 1\) | 봉우리형. 정점까지 증가한 뒤 감소 |
\(k > 1\)이면 로그로지스틱 위험은 로그정규 위험과 질적으로 같은 모양(올랐다가 내려감)을 갖지만, 생존함수가 더 단순한 닫힌 형태를 갖는다.
중앙 생존시간:
이는 \(S(\lambda) = 1/(1 + 1) = 0.5\)에서 곧바로 나온다.
로그정규와 로그로지스틱의 비교¶
| 성질 | 로그정규 | 로그로지스틱 |
|---|---|---|
| \(\ln T\)의 분포 | 정규 | 로지스틱 |
| 생존함수 | \(\Phi\)를 포함(닫힌 형태 없음) | 닫힌 형태 \(1/[1 + (t/\lambda)^k]\) |
| 위험의 모양 | 항상 봉우리형 | 봉우리형(\(k > 1\)) 또는 감소(\(k \leq 1\)) |
| 꼬리 거동 | 위험이 더 빨리 \(\to 0\) | 위험이 더 느리게 \(\to 0\)(더 두꺼운 꼬리) |
| 중앙값 | \(e^\mu\) | \(\lambda\) |
| 닫힌 형태 \(S(t)\) | 없음 | 있음 |
로그로지스틱 모형은 생존함수에 정규 누적분포함수가 들어가지 않아 계산이 편리하므로 자주 선호된다.
중앙값을 둘 다 \(e^{3.2} = 24.5\)개월로 맞추고, 로그로지스틱의 형상모수를 \(k = \pi/(\sigma\sqrt{3}) = 2.27\)로 두어 두 분포의 산포까지 맞췄다. 왼쪽을 보면 두 위험함수가 거의 구별되지 않는다. 정점이 각각 \(24\)개월과 \(27\)개월이고 정점 높이도 \(0.041\)과 \(0.047\)로 비슷하다. 회색 점선으로 그린 와이불 \(k = 1.6\)은 비교용인데, 끝없이 올라가기만 해서 두 봉우리형과 확연히 다르다. 자료에서 위험이 올랐다가 내려가는 것이 보이면 와이불은 후보에서 빠진다.
문제는 그다음이다. 로그정규와 로그로지스틱 중 무엇을 고를 것인가는 관측 구간의 적합도만으로는 거의 결정되지 않는다. 두 위험함수가 이렇게 겹치면 AIC 차이도 작게 나오고, 카플란-마이어와의 비교도 둘 다 통과한다.
오른쪽이 그 선택이 왜 중요한지 보여 준다. 두 생존함수의 비 \(S_{\text{LL}}(t)/S_{\text{LN}}(t)\)를 그린 것인데, \(t = 60\)개월에서는 \(0.9\)배로 사실상 같고 \(t = 120\)에서도 \(1.1\)배에 그친다. 그런데 \(t = 240\)에서 \(2.6\)배, \(t = 360\)에서 \(5.7\)배로 벌어진다. 구체적으로 30년 시점의 생존확률이 로그로지스틱에서는 \(0.0023\), 로그정규에서는 \(0.00039\)다. "아직 사건을 겪지 않은 대상이 몇 명 남아 있겠는가"를 10만 건 포트폴리오에 적용하면 \(226\)건과 \(39\)건의 차이가 된다.
원인은 꼬리의 종류다. 로그로지스틱은 \(S(t) \approx (t/\lambda)^{-k}\)로 멱함수 꼬리를 갖는 반면 로그정규의 꼬리는 그보다 훨씬 빨리 죽는다. 보험 준비금 산정이나 장기 신용위험처럼 꼬리가 결론을 좌우하는 문제에서는, AIC 차이 몇 점보다 "이 과정의 꼬리가 멱함수인가"라는 배경지식이 모형 선택의 실질적 근거가 되어야 한다. 관측 구간 안에서 잘 맞는다는 사실은 관측 구간 밖에 대해 아무것도 보증하지 않는다.
가속실패시간 해석¶
두 모형 모두 가속실패시간(AFT) 족에 속한다. 공변량 \(\mathbf{x}\)를 갖는 AFT 모형은 다음을 설정한다.
여기서 \(W\)는 표준화된 오차분포다.
- \(W \sim N(0, 1)\)이면 로그정규 AFT 모형이 된다.
- \(W \sim \text{Logistic}(0, 1)\)이면 로그로지스틱 AFT 모형이 된다.
AFT 해석에서 공변량은 시간 척도를 가속하거나 감속한다. 계수 \(\beta_j > 0\)인 공변량은 생존시간을 \(e^{\beta_j}\)배 늘리고, \(\beta_j < 0\)이면 줄인다.
AFT 대 비례위험
콕스 모형(21.4절)은 공변량이 위험에 곱셈적으로 작용한다고 가정한다. AFT 모형은 공변량이 시간 척도에 곱셈적으로 작용한다고 가정한다. 비례위험 성질과 AFT 성질을 동시에 만족하는 모형은 와이불이 유일하다.
모형 적합도 점검¶
로그정규 점검. \(T\)가 로그정규이면 \(\Phi^{-1}(1 - \hat{S}(t))\)를 \(\ln t\)에 대해 그린 그림이 기울기 \(1/\sigma\), 절편 \(-\mu/\sigma\)인 직선에 가까워야 한다.
로그로지스틱 점검. \(T\)가 로그로지스틱이면 \(\ln[\hat{S}(t)^{-1} - 1]\)을 \(\ln t\)에 대해 그린 그림이 기울기 \(k\), 절편 \(-k \ln \lambda\)인 직선에 가까워야 한다.
이 그림 점검들은 형식적 적합도 검정을 보완하며, 두 모형이 모두 그럴듯하게 맞을 때 둘을 구별하는 데 도움이 된다.
이 모형들을 언제 고를 것인가
(넬슨-알렌) 누적위험 그림이 와이불과 맞지 않는 휘어짐을 보이고, 배경지식이 위험의 정점 이후 감소를 시사할 때 로그정규나 로그로지스틱을 쓴다. 위험이 단조라면 와이불이 더 낫고 더 단순한 선택이다.
연습문제¶
연습문제 1. 로그로지스틱 위험이 \(k > 1\)일 때 봉우리형임을 보이고, 정점의 위치를 구하라. \(k \le 1\)일 때는 왜 단조 감소인가?
풀이
\(u = (t/\lambda)^k\)로 두면 위험함수는
이다. \(\ln h(t) = \ln(k/\lambda) + (k-1)\ln(t/\lambda) - \ln(1 + u)\)를 \(t\)로 미분하면
이다. 대괄호를 정리하면
이므로, \(h'(t)\)의 부호는 \(k - 1 - u\)의 부호와 같다.
\(k > 1\)인 경우. \(u\)가 0에서 \(\infty\)까지 증가하므로 \(k-1-u\)가 처음에는 양수였다가 \(u = k-1\)에서 0이 되고 그 뒤 음수가 된다. 즉 위험이 증가했다가 감소하는 봉우리형이다. 정점은 \((t/\lambda)^k = k-1\), 즉
에 있다.
\(k \le 1\)인 경우. \(u > 0\)이므로 \(k - 1 - u < 0\)이 항상 성립한다. 위험이 처음부터 끝까지 단조 감소한다. 특히 \(t \to 0^+\)에서 \(h(t) \to \infty\)다(\(k < 1\)일 때).
수치 예. \(k = 2\), \(\lambda = 30\)이면 정점은 \(t^\ast = 30 \times 1^{1/2} = 30\)으로 중앙값과 일치한다. \(k = 3\), \(\lambda = 30\)이면 \(t^\ast = 30 \times 2^{1/3} = 37.8\)로 중앙값보다 뒤에 온다. \(\square\)
연습문제 2. 로그정규 모형에서 \(\hat\mu = 3.2\), \(\hat\sigma = 0.8\)일 때 다음을 계산하라.
(a) 중앙 생존시간과 평균 생존시간.
(b) \(\hat S(12)\)와 \(\hat S(36)\).
(c) 평균이 중앙값보다 훨씬 큰 이유.
풀이
(a)
(b)
(c) \(E[T]/t_{0.5} = e^{\sigma^2/2} = e^{0.32} = 1.377\)이다. 즉 평균이 중앙값의 \(1.377\)배다. 로그정규는 오른쪽으로 치우친 분포이고, 그 치우침의 크기가 오직 \(\sigma\)에만 의존한다. \(\sigma\)가 클수록 비율이 급격히 커진다(\(\sigma = 1.5\)이면 \(e^{1.125} = 3.08\)배).
이 비율이 \(\sigma\)만의 함수라는 사실은 진단에도 쓸 수 있다. 자료에서 표본평균과 표본중앙값의 비가 \(e^{\hat\sigma^2/2}\)와 크게 다르면 로그정규 가정이 의심스럽다. \(\square\)
연습문제 3. 로그정규와 로그로지스틱은 위험 모양이 비슷한데도 꼬리 거동이 다르다. 이 차이가 실무적으로 어떤 결과를 낳는지 설명하라.
풀이
꼬리 거동의 차이. \(t \to \infty\)에서
- 로그정규: \(h(t) \sim \dfrac{\ln t - \mu}{\sigma^2 t}\)로, \(1/t\)보다 조금 느리게 0으로 간다. 실제로는 \(t\,h(t) \to \infty\)다.
- 로그로지스틱: \(S(t) \approx (t/\lambda)^{-k}\)이므로 \(h(t) \approx k/t\)이고, \(t\,h(t) \to k\)로 수렴한다.
로그로지스틱의 생존함수가 멱함수 꼬리를 가져 로그정규보다 훨씬 두껍다. 실제로 로그로지스틱은 \(k \le 1\)이면 평균조차 존재하지 않는다.
실무적 결과.
- 극단적 지속시간의 예측. 두 모형이 관측 구간에서는 거의 같은 적합을 주더라도, "10년 뒤에도 부도를 내지 않을 확률" 같은 외삽에서는 크게 갈린다. 로그로지스틱이 훨씬 큰 값을 준다.
- 평균의 안정성. 로그로지스틱에서 \(k\)가 1에 가까우면 평균 생존시간의 추정이 극도로 불안정하다. 표본을 조금만 바꿔도 평균이 크게 변한다. 이런 상황에서는 중앙값이나 제한 평균(RMST)만 보고해야 한다.
- 모형 선택의 실질적 중요성. AIC 차이가 작아 "둘 중 무엇이든 상관없다"고 보이더라도, 외삽이 필요한 응용에서는 선택이 결론을 바꾼다. 보험 준비금 산정처럼 꼬리가 중요한 문제에서는 AIC보다 배경지식과 꼬리 진단이 우선해야 한다. \(\square\)
연습문제 4. 본문의 두 그림 점검(로그정규는 \(\Phi^{-1}(1-\hat S)\) 대 \(\ln t\), 로그로지스틱은 \(\ln[\hat S^{-1}-1]\) 대 \(\ln t\))이 왜 직선이 되는지 각각 유도하라.
풀이
로그정규. \(S(t) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln t - \mu}{\sigma}\right)\)이므로 \(1 - S(t) = \Phi\!\left(\frac{\ln t - \mu}{\sigma}\right)\)이고, 양변에 \(\Phi^{-1}\)을 적용하면
이 되어 \(\ln t\)에 대해 기울기 \(1/\sigma\), 절편 \(-\mu/\sigma\)인 직선이다.
로그로지스틱. \(S(t) = \dfrac{1}{1 + (t/\lambda)^k}\)에서
이고 로그를 취하면
이 되어 기울기 \(k\), 절편 \(-k\ln\lambda\)인 직선이다.
이 두 변환은 익숙한 것이다
로그로지스틱의 변환 \(\ln[S^{-1} - 1] = \ln\frac{1-S}{S} = \operatorname{logit}(1-S)\)는 정확히 19장의 로짓이다. 로그정규의 변환은 프로빗이다. 즉 "\(\ln T\)가 로지스틱이면 \(F(t)\)를 로짓 변환하라", "\(\ln T\)가 정규이면 프로빗 변환하라"는 일반 원리의 한 사례다.
와이불의 \(\ln(-\ln \hat S)\) 변환도 같은 계열이며, 여-로그-로그 변환이라 불린다. 세 변환 모두 \(\ln T\)의 분포함수를 선형화하는 것이 목적이다. 그래서 세 그림을 나란히 그려 어느 것이 가장 직선에 가까운지 보는 것이 표준적인 모형 선택 절차가 된다. \(\square\)
정리하며¶
비단조 위험에는 다른 분포가 필요하다.
- 로그정규와 로그로지스틱은 위험이 정점을 이룬 뒤 감소한다. 대출 부도율이 첫해에 올랐다가 살아남은 차입자 사이에서 떨어지는 양상이 전형적이다.
- 로그를 취하면 익숙한 분포가 된다. \(\log T\) 가 정규면 로그정규, 로지스틱이면 로그로지스틱이다.
- 로그로지스틱은 생존함수가 닫힌 형태다. \(S(t)=1/(1+(t/\alpha)^\beta)\) 이며, 로그정규가 \(\Phi\) 를 필요로 하는 것과 대조된다. 계산이 편해 자주 쓰인다.
- 가속고장시간(AFT) 모형에 자연스럽다. 공변량이 시간 척도를 늘이거나 줄이는 구조이며, 계수가 "생존시간의 배수"로 해석되어 위험비보다 직관적일 수 있다.
- 모형 선택은 진단으로 한다. 누적위험 그림의 모양과 AIC 로 후보들을 견준다.
다음 절 절단자료의 최대가능도로 넘어간다.