지수 모형¶

지수분포는 생존자료에 대한 가장 단순한 모수 모형이다. 위험률이 시간에 걸쳐 일정하다고 가정한다. 다음 순간에 사건이 일어날 위험이 대상이 이미 얼마나 오래 생존했는지에 의존하지 않는다는 것이다. 이 가정은 제약적이지만, 지수 모형은 더 유연한 모형들을 비교하는 기준선 역할을 하며 모수적 생존분석의 자연스러운 출발점이다.

이 절에서는 지수 생존 모형을 정의하고 주요 양들을 유도하며, 무기억성을 논의하고 절단자료에 대한 최대가능도 추정량을 구한다.

모형 설정¶

지수 모형은 상수 위험률인 모수 \(\lambda > 0\) 하나를 갖는다. 네 가지 핵심 함수는 다음과 같다.

위험함수:

누적위험:

생존함수:

밀도함수:

평균 생존시간은 \(E[T] = 1/\lambda\)이고 분산은 \(\text{Var}(T) = 1/\lambda^2\)이다.

무기억성¶

상수 위험은 무기억성을 함의한다. 추가로 \(s\)만큼 더 생존할 확률이 이미 얼마나 오래 생존했는지에 의존하지 않는다는 성질이다. 형식적으로,

두 그림 모두 가로축이 "지금부터 앞으로 더 살 기간 \(s\)"다. 파란 실선은 갓 시작한 대상, 주황과 초록 점선은 각각 20개월과 40개월을 이미 버틴 대상의 조건부 생존곡선 \(P(T > t+s \mid T > t)\)다. 두 모형의 중앙 생존시간은 \(34.7\)개월로 같게 맞추었다.

왼쪽에서 세 곡선이 완전히 포개진다. 점선이 보이는 것은 대시 위상을 어긋나게 그렸기 때문이지 곡선이 달라서가 아니다. 앞으로 12개월을 더 버틸 확률은 세 경우 모두 정확히 \(e^{-0.24} = 0.787\)이다. 갓 실행된 대출과 40개월을 무사히 넘긴 대출이 다음 1년에 대해 완전히 같은 전망을 갖는다. 이것이 무기억성이며, 위 증명에서 \(S(t+s)/S(t) = e^{-\lambda s}\)로 \(t\)가 약분되어 사라지는 장면 그대로다.

오른쪽은 같은 중앙값을 갖는 와이불 \(k = 2\)다. 세 곡선이 차례로 아래로 내려앉는다. 앞으로 12개월을 더 버틸 확률이 새 대상에서는 \(0.920\)이지만 20개월 생존자는 \(0.698\), 40개월 생존자는 \(0.529\)로 떨어진다. 오래 버틸수록 다음 한 해가 더 위험해진다. 마모되는 부품이나 노화하는 환자는 이쪽이다.

그러므로 지수 모형을 쓴다는 것은 단순히 "모수가 하나뿐이라 편하다"가 아니라 "이 과정은 자기 나이를 전혀 모른다"는 강한 주장을 하는 것이다. 대출 포트폴리오에서 실행 연차별 부도율이 다르다는 것을 아는 순간 이 주장은 깨진다. 지수 모형을 기준선으로 두되, 그 위에 형상모수 하나를 더한 다음 절의 와이불로 이 가정을 실제로 검정해 보아야 하는 이유다.

최대가능도 추정¶

관측 시간 \(t_1, \ldots, t_n\)과 사건 지시자 \(\delta_1, \ldots, \delta_n\)을 갖는 대상 \(n\)명에 대해 가능도는

이고, 정리하면

이다. 여기서 \(d = \sum_{i=1}^{n} \delta_i\)는 관측된 총 사건 수다.

로그가능도는

이고 \(\ell'(\lambda) = 0\)으로 놓으면

이다. MLE는 사건 수를 관측된 총 인시(person-time)로 나눈 값이다.

분산과 신뢰구간¶

자료 전체에 대한 관측정보는

이다(\(\ell''(\lambda) = -d/\lambda^2\)을 \(\hat\lambda\)에서 평가한 값의 부호를 바꾼 것이다). \(\hat{\lambda}\)의 점근분산은

이고 \(\lambda\)의 95% 신뢰구간은

이다. 평균 생존시간 \(1/\lambda\)의 신뢰구간은 양 끝점의 역수를 취해 얻는다(순서가 뒤집힌다).

지수 가정 점검하기¶

상수 위험 가정은 그림으로 평가할 수 있다.

• 누적위험 그림. 넬슨-알렌 추정치 \(\hat{H}(t)\)가 원점을 지나는 직선에 가까우면 지수 모형이 타당하다.
• KM 대 적합값. 모수적 생존곡선 \(\hat{S}(t) = e^{-\hat{\lambda}t}\)를 카플란-마이어 추정치 위에 겹쳐 그린다. 체계적인 어긋남은 적합이 나쁘다는 뜻이다.

푸아송 과정과의 관계¶

독립인 지수 생존시간에서 나오는 사건들은 푸아송 과정을 이룬다. 각 대상이 독립인 \(\text{Exp}(\lambda)\) 사건시간을 가지면, 위험에 있는 \(n\)명 가운데 길이 \(t\)인 시간구간에서 일어나는 사건 수는 근사적으로 비율 \(n\lambda t\)인 푸아송 분포를 따른다. 이 관계는 생존분석을 계수과정 이론과 연결하며, MLE의 점근적 성질에 이르는 또 다른 길을 제공한다.

연습문제¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(5)
n = 300
# 와이불. 모양모수 k=2 이므로 위험이 시간에 따라 커진다
T = 10.0 * rng.weibull(2.0, n)
C = rng.exponential(15.0, n)
t = np.minimum(T, C); d = (T <= C).astype(int)

# 지수모형의 최대가능도추정값
lam = d.sum() / t.sum()
print(f"lambda_hat = {lam:.5f},  mean = {1/lam:.2f}")

# Nelson-Aalen 누적위험함수
times = np.unique(t[d == 1])
H, Hs = 0.0, []
for u in times:
    H += ((t == u) & (d == 1)).sum() / (t >= u).sum()
    Hs.append(H)

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
ax[0].step(times, Hs, where='post', label='Nelson-Aalen')
ax[0].plot(times, lam * times, 'r--', label='exponential fit')
ax[0].set_xlabel('t'); ax[0].set_ylabel('H(t)'); ax[0].legend()

KM, S = [], 1.0
for u in times:
    S *= 1 - ((t == u) & (d == 1)).sum() / (t >= u).sum()
    KM.append(S)
ax[1].step(times, KM, where='post', label='Kaplan-Meier')
ax[1].plot(times, np.exp(-lam * times), 'r--', label='exponential fit')
ax[1].set_xlabel('t'); ax[1].set_ylabel('S(t)'); ax[1].legend()
plt.tight_layout(); plt.show()

lambda_hat = 0.08294,  mean = 12.06

정리하며¶

지수 모형은 위험이 일정하다고 가정한다.

• 무기억성의 생존분석판이다. 이미 얼마나 오래 버텼는지가 앞으로의 위험에 아무 영향을 주지 않으며, 4장의 지수분포 성질 그대로다.
• 모수가 하나뿐이라 가장 단순하다. 기준선 모형으로 유용하며, 더 복잡한 모형의 비교 대상이 된다.
• 가정이 강하다. 노화하는 대상(기계 마모, 질병 진행)이나 초기 고장이 있는 대상에는 맞지 않는다.
• 누적위험이 직선이다. \(H(t)=\lambda t\) 이므로 \(-\log\hat S(t)\) 를 \(t\) 에 대해 그려 직선이면 지수 가정이 그럴듯하다는 진단이 된다.
• 절단 자료의 최대가능도가 간단하다. 사건 수를 총 노출시간으로 나눈 것이 \(\hat\lambda\) 다.

다음 절 와이불 모형으로 넘어간다.