교란과 인과관계¶

(1) 해석적으로. 학과를 \(D\)라 하면 전체 공분산이 두 조각으로 쪼개진다(전공분산의 법칙).

학과 안에서는 \(\operatorname{Cov} = 3\times\operatorname{Var}(\text{공부}\mid D) = 3\times 1 = 3\)으로 양수다. 참 인과효과 \(+3\)이 그대로 나타난다.

학과 사이는 다르다. 학과평균이

인데, 전체평균이 \((6, 78)\)이므로

로 음수다. 더 많이 공부하는 학과가 더 낮은 점수를 받기 때문이다. 합치면

이고 학과 사이의 음수가 학과 안의 양수를 압도한다. 이것이 심슨의 역설의 산술이다.

분산도 같은 방식으로 쪼갠다.

따라서

(2) 해석적으로. 학과를 고정하면 공분산 \(3\), 분산 \(1\)과 \(34\)이므로

로 두 학과 모두 같은 값이다. 부호도 크기도 참 효과를 반영한다.

(1)(2) 수치적으로.

"""심슨의 역설: 학과가 교란요인일 때 공부시간과 성적의 상관이 뒤집힌다."""

import numpy as np
import pandas as pd

rng = np.random.default_rng(42)
n = 500

# 교란요인: 학과. 학생은 A와 B에 절반씩 속한다.
dept = rng.choice(["A", "B"], size=n, p=[0.5, 0.5])

# 학과가 공부시간에 영향을 준다.
#   A학과 학생은 평균 8시간, B학과 학생은 평균 4시간 공부한다.
study_hours = np.where(dept == "A",
                       rng.normal(8, 1, n),
                       rng.normal(4, 1, n))

# 학과가 성적에도 영향을 준다 — 이것이 교란의 핵심이다.
#   A학과는 채점이 박해서 기본점이 50, B학과는 후해서 70에서 출발한다.
#   반면 기울기는 두 학과 모두 +3으로 같다.
#   즉 "공부시간이 1시간 늘면 성적이 3점 오른다"가 참인 인과효과다.
grade = np.where(dept == "A",
                 50 + 3 * study_hours + rng.normal(0, 5, n),
                 70 + 3 * study_hours + rng.normal(0, 5, n))

# 정리하면 이런 구조다.
#   공부시간  <---  학과(교란요인)  --->  성적
#         \___________ +3 ____________/
# 학과가 두 화살표를 모두 쏘고 있으므로, 학과를 무시하면 상관이 오염된다.
df = pd.DataFrame({"dept": dept, "study_hours": study_hours, "grade": grade})

# 학과를 무시하고 전체에서 상관을 낸다 -> 음수가 나온다(!)
# 많이 공부한 A학과 학생들의 성적이 채점이 박해서 낮게 나오기 때문이다.
print(f"전체 상관 (공부시간, 성적): {df['study_hours'].corr(df['grade']):+.3f}")

# 학과별로 나누어 다시 낸다 -> 두 학과 모두 양수가 나온다.
# 이것이 심슨의 역설이다. 부분에서의 방향과 전체에서의 방향이 반대다.
for d in ["A", "B"]:
    sub = df[df["dept"] == d]
    print(f"  {d}학과: 상관 = {sub['study_hours'].corr(sub['grade']):+.3f}, "
          f"평균 성적 = {sub['grade'].mean():.1f}, "
          f"평균 공부시간 = {sub['study_hours'].mean():.1f}")

출력:

전체 상관 (공부시간, 성적): -0.349
  A학과: 상관 = +0.416, 평균 성적 = 72.9, 평균 공부시간 = 8.0
  B학과: 상관 = +0.549, 평균 성적 = 82.0, 평균 공부시간 = 4.1

전체 상관의 이론값 \(-0.3162\)와 모의값 \(-0.349\)가 맞는다. \(n = 500\)에서 상관의 표준오차가 \((1-r^2)/\sqrt n = 0.040\)이므로 \(0.8\) 표준오차 차이다.

학과 안의 상관은 이론 \(0.5145\)에 B학과가 \(0.549\)(\(+0.75\) 표준오차), A학과가 \(0.416\)(\(-2.1\) 표준오차)이다. A학과 쪽은 몬테카를로 오차의 가장자리에 걸쳐 있다. 학과당 \(250\)명이라 상관의 표준오차가 \(0.047\)로 작지 않다. 두 학과의 참값이 같다는 사실이 이 한 표본에서는 완벽히 보이지 않는다.

학과 내부의 상관은 인과관계가 시사하는 대로 두 학과 모두 양수다(\(+0.416\), \(+0.549\)). 더 공부하면 성적이 오른다. 그런데 학과를 지우고 \(500\)명을 한 덩어리로 보면 상관이 \(-0.349\)로 부호가 뒤집힌다. 참인 인과효과는 어디서나 "한 시간 더 공부하면 \(3\)점"인데도 그렇다.

뒤집히는 이유는 (1)에서 계산한 \(3 - 8 = -5\) 한 줄이다. A학과가 공부는 더 하면서(\(8.0\)시간 대 \(4.1\)시간) 성적은 더 낮은(\(72.9\)점 대 \(82.0\)점) 쪽이므로 학과 사이의 공분산이 \(-8\)이 되고, 학과 안의 \(+3\)을 눌러 버린다. 학과가 공부시간과 성적 양쪽에 화살표를 쏘고 있으므로, 학과를 무시하면 "채점이 박한 학과일수록 공부를 많이 한다"는 학과 간 대비가 공부시간과 성적의 관계로 둔갑한다. 이것이 심슨의 역설이며, 여기서 교란요인은 학과다.

(a) 기온(또는 인구밀도). 더운 날씨는 아이스크림 수요(트럭 증가)와 야외 활동(범죄 기회 증가)을 함께 늘린다. 인구밀도도 마찬가지다. 밀도가 높은 도시는 단위 면적당 모든 것이 많으며, 여기에는 트럭과 범죄가 모두 포함된다.

(b) 자료가 관찰적이다. 교란요인을 통제하지 않으면, 관측된 상관은 아이스크림 트럭의 인과효과 가능성과 기온/밀도의 숨은 효과를 뒤섞는다. 모든 관련 교란요인을 통제하지 않는 한(일반적으로 이는 불가능하다) 어떤 인과적 주장도 정당화되지 않는다.

(c) 무작위 실험이라면 도시들을 서로 다른 수의 아이스크림 트럭에 무작위 배정하고 범죄율을 측정할 것이다. 비현실적인 이유는 (i) 도시를 실험 단위처럼 통제할 수 없고, (ii) 아이스크림 트럭 수를 중앙에서 조작할 수 없으며, (iii) 실험을 위해 공공 안전 조건을 바꾸는 데 따르는 윤리적 문제 때문이다.

보다 현실적인 접근으로는 한 도시의 갑작스러운 허가 정책 변화를 이용하고 비슷한 도시를 대조군으로 삼는 자연실험(이중차분법)이 있다. 이조차도 불안정한데, 평행추세 가정을 도시 수준에서 옹호하기가 어렵기 때문이다.

교란변수 \(Z\): \(X\)와 \(Y\)를 모두 유발한다. 보정하면 \(X\)–\(Y\) 연관성의 허위 성분이 제거되어 편향이 줄어든다.

매개변수 \(M\): \(X\)에 의해 유발되고 그 자신이 \(Y\)를 유발한다(즉 \(X \to M \to Y\)). 보정하면 간접 경로가 차단되어 편향이 커진다 — 보정된 계수는 이제 총효과가 아니라 직접효과 \(X \to Y\)만을 추정한다.

충돌변수 \(C\): \(X\)와 \(Y\) 모두에 의해 유발된다(즉 \(X \to C \leftarrow Y\)). 보정하면 \(X\)와 \(Y\) 사이에 비인과적 경로가 열려 원래 없던 허위 연관성이 생긴다. 이는 회귀의 형태로 나타난 선택편향이다.

규칙은 이렇다. 교란변수는 보정하고, 매개변수(직접효과를 명시적으로 원하는 경우가 아니라면)나 충돌변수는 보정하지 않는다. 무엇이 무엇인지 아는 데는 자료생성 과정에 대한 실질적 지식이 필요하며, 이는 흔히 인과 DAG로 표현하는 것이 가장 좋다.

병원 A 내부: 투약 회복률 \(= 80/100 = 80\%\), 미투약 회복률 \(= 240/300 = 80\%\). 동일하다.

병원 B 내부: 투약 회복률 \(= 200/300 = 66.7\%\), 미투약 회복률 \(= 50/100 = 50\%\). 약이 도움이 된다.

합쳤을 때: 투약 \(= (80+200)/(100+300) = 280/400 = 70\%\), 미투약 \(= (240+50)/(300+100) = 290/400 = 72.5\%\).

합치면 미투약이 더 나아 보인다. 그런데 각 병원 안에서는 투약이 미투약보다 최소한 같거나 낫지 결코 나쁘지 않다. 역전이 일어나는 이유는 투약 여부가 병원과 상관되어 있고(투약 환자의 75%가 병원 B에 있는 반면 미투약 환자는 25%만 그렇다), 회복률 또한 병원마다 다르기(A가 B보다 높다) 때문이다. 병원이 교란요인이다. 옳은 결론은 병원 내부의 결론, 즉 약이 최소한 같거나 더 효과적이라는 것이다. 병원을 통제하지 않고 합치는 것은 오도한다.

뒷문 기준(비형식적): \(X\)가 \(Y\)에 미치는 인과효과를 식별하려면, (1) \(S\)의 어떤 변수도 \(X\)의 후손이 아니고 (2) \(S\)가 \(X\)에서 \(Y\)로 가는 모든 "뒷문" 경로 — 즉 \(X\)로 들어오는 화살표로 시작하는 \(X\)–\(Y\) 경로 — 를 차단하는 변수 집합 \(S\)를 고른다.

DAG 예: \(X \to Y\), \(Z \to X\), \(Z \to W\), \(Y \to W\)라고 하자. 여기서 \(W\)는 경로 \(X \to Y \to W \leftarrow Z \to X\) 위의 충돌변수다. \(\{Z\}\)를 보정하면 뒷문 경로 \(X \leftarrow Z \to W \leftarrow Y\)가 닫힌다(이 경로는 충돌변수 \(W\)에서 이미 차단되어 있었다). 반면 \(\{Z, W\}\)를 보정하면 \(W\)를 지나는 뒷문 경로가 열린다 — 충돌변수에 조건을 걸면 \(W\)의 층 안에서 \(Z\)와 \(Y\) 사이에 연관이 생기고, 이것이 \(X\)–\(Y\) 분석으로 새어 들어간다.

교훈: 통제변수는 많을수록 좋은 것이 아니다. 통제변수를 고르려면 인과 구조를 알아야 하며, "모든 것을 보정하라"는 도움이 되는 만큼이나 쉽게 해가 될 수 있다.

교란요인 두 가지:

• 생활양식: 커피를 마시는 사람은 대체로 취업 상태이고 도시에 살며 전반적으로 건강에 더 신경 쓰는 경향이 있다(특히 현대 서구 표본에서 그렇고, 과거 표본은 반대 패턴을 보인다). 이 요인들 자체가 심근경색 위험을 낮춘다.
• 선택(역인과): 심장 문제의 초기 징후가 있는 사람은 의사에게 커피를 줄이라는 말을 들었을 가능성이 높다. 그래서 더 아픈 사람이 커피를 끊는다. 남아 있는 커피 애호가는 평균적으로 더 건강하며, 그 결과 실제로는 커피가 아무 일도 하지 않았고 인과의 화살표가 반대 방향인데도 커피가 보호 효과를 지닌 것처럼 보인다.

인과적 격상: 무작위 대조시험이 필요하다. 건강한 자원자를 10년간 하루 2–3잔의 커피를 마시는 군과 0잔인 군에 배정하고 심근경색 발생률을 측정한다. 윤리적·현실적 문제로는 긴 추적기간, 순응도, 눈가림(대상자가 자신이 커피를 마시는지 안다는 점) 등이 있다. 현실적인 절충안은 카페인 대사에 영향을 주는 유전 변이를 이용한 도구변수 분석(멘델 무작위화)이다. 유전 변이가 수정 시점에 무작위로 배정되고 생활양식의 영향을 받지 않으면서 커피 소비를 예측한다는 사실을 활용한다.

ATE: 모집단 전체에 걸쳐 평균한 \(\mathbb{E}[Y(1) - Y(0)]\). 모두를 처리했을 때와 아무도 처리하지 않았을 때의 차이다.

ATT: 처리받은 부분모집단에 걸쳐 평균한 \(\mathbb{E}[Y(1) - Y(0) \mid T = 1]\). 실제로 처리받은 사람들을 처리했을 때와 그들을 처리하지 않았을 때의 차이다.

관찰자료에서:

• 비교란성 \((Y(0), Y(1)) \perp T \mid X\) 와 중첩(overlap)이 성립하면 ATE가 식별된다. 처리군과 비처리군 모두에 대해 각자의 조건부 분포 아래에서 반사실적 결과를 추정할 수 있다.
• 더 약한 조건(예: \(Y(0) \perp T \mid X\) 만) 아래에서는 ATT는 식별되지만 ATE는 그렇지 않다. 처리군의 반사실적 미처리 결과는 추정할 수 있어도, 비처리군의 반사실적 처리 결과는 추정할 수 없다.

정책적 함의: 어떤 정책이 그 프로그램에 자원했던 바로 그 모집단에 적용될 것이라면 중요한 것은 ATT다. 정책이 모두에게 의무화될 것이라면 중요한 것은 ATE이며, 그 답은 다를 수 있다. (이익을 기대해서 선택해 들어온) 처리군에게 이로운 약이, 스스로는 선택하지 않았을 평균적인 사람에게는 거의 효과가 없거나 심지어 해로울 수 있다. 이 구분은 자발적 프로그램 대 의무적 프로그램을 둘러싼 정책 논쟁에 늘 따라다니지만, 헤드라인 숫자에서는 명시적으로 언급되는 일이 드물다.

자료생성 과정을 \(X = Z + \varepsilon\), \(Y = \tau X + \gamma Z + u\)로 두자(\(\varepsilon, u, Z\)는 모두 표준정규). 그러면

이므로 보정하지 않은 회귀계수는 \((2\tau+\gamma)/2\)다. \(\gamma = -2\tau\)로 두면 정확히 \(0\)이 된다.

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(0)
n = 50_000
beta = lambda y, *X: sm.OLS(y, sm.add_constant(np.column_stack(X))).fit().params[1]

Z = rng.normal(size=n)
X = Z + rng.normal(size=n)
tau = 0.5                                   # 참 인과효과는 언제나 +0.5

print(f"참 효과 {tau} (모든 경우에 동일)\n")
print(f"{'gamma':>7}{'보정 안 함':>12}{'Z 보정':>10}{'이론 단순':>11}")
for gamma in (0.0, -1.0, -2.0):
    Y = tau * X + gamma * Z + rng.normal(size=n)
    print(f"{gamma:>7.1f}{beta(Y, X):>+12.4f}{beta(Y, X, Z):>+10.4f}"
          f"{(2 * tau + gamma) / 2:>+11.4f}")

출력:

참 효과 0.5 (모든 경우에 동일)

  gamma      보정 안 함      Z 보정      이론 단순
    0.0     +0.5052   +0.5090    +0.5000
   -1.0     -0.0015   +0.5020    +0.0000
   -2.0     -0.5026   +0.5036    -0.5000

세 줄 모두 참 효과가 \(+0.5\)인데 관측되는 연관성은 전혀 다르다.

보정하면 세 경우 모두 \(+0.50\)을 회복한다.

이것을 억제(suppression)라 부른다. 교란요인이 인과효과와 반대 방향으로 작용하면 참된 효과를 가리거나 뒤집는다.

실무적 함의가 무겁다.

• "상관이 없으니 인과도 없다"는 추론은 "상관이 있으니 인과가 있다"만큼 틀렸다. 교란되지 않았다는 근거 없이는 영(null) 결과도 해석할 수 없다.
• 병원 자료에서 어떤 치료가 사망률과 양의 상관을 보이는 일이 흔한데, 이는 중증 환자에게 그 치료를 쓰기 때문이다. 참된 효과는 보호적일 수 있다.
• 부호가 뒤집히는 경우는 특히 위험하다. 효과가 없다는 결론보다 해롭다는 결론이 정책적으로 훨씬 큰 영향을 미치기 때문이다. \(\square\)

성향점수는 \(e(X) = P(T = 1 \mid X)\)다. 각 개체에 \(1/e(X)\) 또는 \(1/(1-e(X))\)의 가중치를 주면 처리 배정이 공변량과 무관한 가상의 모집단이 만들어진다.

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(1)
n = 200_000
X = rng.normal(size=n)
T = (rng.random(n) < 1 / (1 + np.exp(-1.2 * X))).astype(float)
Y = 1.0 + 2.0 * T + 1.5 * X + rng.normal(size=n)          # 참 ATE = 2.0

ps = sm.Logit(T, sm.add_constant(X)).fit(disp=0).predict()
w = np.where(T == 1, 1 / ps, 1 / (1 - ps))
ipw = ((w * T * Y).sum() / (w * T).sum()
       - (w * (1 - T) * Y).sum() / (w * (1 - T)).sum())

print("참 ATE 2.0")
print(f"  단순 차이 {Y[T == 1].mean() - Y[T == 0].mean():.4f}   ← 편향")
print(f"  회귀 보정 {sm.OLS(Y, sm.add_constant(np.column_stack([T, X]))).fit().params[1]:.4f}")
print(f"  IPW      {ipw:.4f}")
print(f"  성향점수 범위 {ps.min():.4f} ~ {ps.max():.4f}   최대 가중치 {w.max():.1f}")

출력:

참 ATE 2.0
  단순 차이 3.3871   ← 편향
  회귀 보정 1.9982
  IPW      1.9945
  성향점수 범위 0.0065 ~ 0.9949   최대 가중치 102.7

IPW가 \(1.9945\)로 참값을 잘 회복한다.

중첩이 깨지면. 처리 배정이 공변량에 훨씬 강하게 의존하도록 계수를 \(1.2\)에서 \(4.0\)으로 올려 보자.

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(1)
n = 200_000
X = rng.normal(size=n)
T = (rng.random(n) < 1 / (1 + np.exp(-4.0 * X))).astype(float)   # 강한 선택
Y = 1.0 + 2.0 * T + 1.5 * X + rng.normal(size=n)

ps = sm.Logit(T, sm.add_constant(X)).fit(disp=0).predict()
w = np.where(T == 1, 1 / ps, 1 / (1 - ps))
ipw = ((w * T * Y).sum() / (w * T).sum()
       - (w * (1 - T) * Y).sum() / (w * (1 - T)).sum())

print(f"성향점수 범위 {ps.min():.6f} ~ {ps.max():.6f}")
print(f"최대 가중치 {w.max():.1f}   ← 한 사람이 수만 명분의 목소리를 낸다")
print(f"IPW      {ipw:.4f}   ← 참값 2.0 에서 벗어난다")
print(f"회귀 보정 {sm.OLS(Y, sm.add_constant(np.column_stack([T, X]))).fit().params[1]:.4f}")

출력:

성향점수 범위 0.000000 ~ 1.000000
최대 가중치 67063.1   ← 한 사람이 수만 명분의 목소리를 낸다
IPW      0.7611   ← 참값 2.0 에서 벗어난다
회귀 보정 1.9980

성향점수가 \(0\)과 \(1\)에 붙고 최대 가중치가 \(67{,}063\)까지 치솟으면서 IPW 추정값이 \(0.7611\)로 주저앉는다. 참값 \(2.0\)의 절반도 되지 않는다.

중첩 가정이란. 모든 공변량 값에서 처리받을 확률과 받지 않을 확률이 둘 다 \(0\)보다 커야 한다. \(X\)가 큰 사람이 사실상 전부 처리를 받는다면, 그런 사람의 "처리받지 않았을 때"를 알려 줄 자료가 없다. 반사실이 자료에 존재하지 않는 것이다.

다음 구조를 생각하자. 문자를 M자 모양으로 배치하면 이름의 유래가 보인다.

\(U_1\)과 \(U_2\)는 측정되지 않았다. \(Z\)는 처리 이전에 측정되었고, \(T\)의 원인도 \(Y\)의 원인도 아니며, 교란요인도 아니다(\(T\)와 \(Y\)의 공통 원인이 아니다). 그런데 \(Z\)는 \(U_1\)과 \(U_2\)의 충돌부다.

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(5)
n = 200_000
beta = lambda y, *X: sm.OLS(y, sm.add_constant(np.column_stack(X))).fit().params[1]

U1 = rng.normal(size=n)                       # 측정되지 않음
U2 = rng.normal(size=n)                       # 측정되지 않음
Z = U1 + U2 + rng.normal(size=n)              # 처리 이전에 측정됨. U1, U2 의 충돌부
T = U1 + rng.normal(size=n)
Y = 0.0 * T + U2 + rng.normal(size=n)         # 참 인과효과는 0

print("참 효과 0.0")
print(f"  Z 를 보정하지 않음: {beta(Y, T):+.4f}   ← 옳다")
print(f"  Z 를 보정함:       {beta(Y, T, Z):+.4f}   ← 없던 편향이 생겼다")

출력:

참 효과 0.0
  Z 를 보정하지 않음: -0.0010   ← 옳다
  Z 를 보정함:       -0.2005   ← 없던 편향이 생겼다

보정하지 않으면 \(0\)이 정확히 나오는데, \(Z\)를 넣는 순간 \(-0.20\)이 된다. \(Z\)는 처리보다 먼저 측정되었고 어느 쪽의 원인도 아닌데도 그렇다.

왜 그런가. \(Z\)를 고정하면 \(U_1\)과 \(U_2\) 사이에 인위적 연관이 생긴다(충돌부에 조건을 걸었으므로). \(Z\)가 크다고 알려진 집단에서 \(U_1\)이 작으면 \(U_2\)가 컸어야 한다. 그런데 \(U_1\)은 \(T\)를 움직이고 \(U_2\)는 \(Y\)를 움직이므로, 이 인위적 연관이 \(T\)와 \(Y\) 사이의 가짜 경로로 흘러든다. 원래는 \(Z\)에서 막혀 있던 통로를 보정이 열어젖힌 것이다.

함의.

• "처리 이전 변수는 안전하다"는 규칙은 없다. 시간 순서가 아니라 인과 구조가 판단 기준이다.
• "가능한 모든 공변량을 넣는" 자동화된 변수 선택은 이 함정을 피할 수 없다. 자료만 보아서는 \(Z\)가 교란요인인지 충돌부인지 구별되지 않는다.
• 다만 실무에서 M-편향의 크기는 교란을 방치했을 때보다 대개 작다는 반론도 있다. 그래서 \(Z\)가 교란요인일 가능성도 있다면 보정하는 쪽이 나은 경우가 많다.

결론은 겸손이다. 어떤 변수를 보정할지는 통계적 판단이 아니라 영역 지식에 근거한 인과 모형의 문제이며, 그 모형은 자료로 검증할 수 없다. 인과 그래프를 명시적으로 그리는 습관이 필요한 이유가 이것이다. \(\square\)

미측정 교란요인 \(U\)가 만들어 낼 수 있는 최대 편향인자는

이다. 여기서 \(\mathrm{RR}_{TU}\)는 처리와 \(U\)의 연관, \(\mathrm{RR}_{UY}\)는 \(U\)와 결과의 연관이다. E-value는 두 연관이 같다고 놓고 \(B = \mathrm{RR}\)을 풀어 얻는다.

import numpy as np

E = lambda rr: rr + np.sqrt(rr * (rr - 1))
B = lambda a, b: a * b / (a + b - 1)

print("관측된 RR 과 그것을 설명해 없애는 데 필요한 교란의 세기")
for rr in (1.05, 1.2, 1.5, 2.0, 4.0, 10.0):
    print(f"  RR {rr:>5}: E-value {E(rr):>6.2f}   (확인: B(E,E) = {B(E(rr), E(rr)):.4f})")

print("\nRR = 2 를 없애는 비대칭 조합들")
for a in (3.414, 4, 6, 10, 20):
    print(f"  RR_TU = {a:>6.3f} 이면  RR_UY = {(2 * a - 2) / (a - 2):.3f} 이 필요하다")

출력:

관측된 RR 과 그것을 설명해 없애는 데 필요한 교란의 세기
  RR  1.05: E-value   1.28   (확인: B(E,E) = 1.0500)
  RR   1.2: E-value   1.69   (확인: B(E,E) = 1.2000)
  RR   1.5: E-value   2.37   (확인: B(E,E) = 1.5000)
  RR   2.0: E-value   3.41   (확인: B(E,E) = 2.0000)
  RR   4.0: E-value   7.46   (확인: B(E,E) = 4.0000)
  RR  10.0: E-value  19.49   (확인: B(E,E) = 10.0000)

RR = 2 를 없애는 비대칭 조합들
  RR_TU =  3.414 이면  RR_UY = 3.414 이 필요하다
  RR_TU =  4.000 이면  RR_UY = 3.000 이 필요하다
  RR_TU =  6.000 이면  RR_UY = 2.500 이 필요하다
  RR_TU = 10.000 이면  RR_UY = 2.250 이 필요하다
  RR_TU = 20.000 이면  RR_UY = 2.111 이 필요하다

확인 열이 보여 주듯 \(B(\text{E}, \text{E})\)가 정확히 원래 \(\mathrm{RR}\)을 되돌려 준다.

어떻게 읽는가. 관측된 \(\mathrm{RR} = 2.0\)의 E-value는 \(3.41\)이다. 이 결과를 교란만으로 지우려면, 미측정 교란요인이 처리와도 \(3.41\)배, 결과와도 \(3.41\)배 연관되어 있어야 한다. 이미 보정한 어떤 변수도 그만큼 강하지 않다면 결과는 견고한 편이다.

핵심은 관측된 효과가 클수록 지우기 어렵다는 것이다.

이것이 흡연–폐암 논쟁의 결정적 논거였다. 관측된 위험비가 \(10\)을 넘었으므로, 이를 지우려면 흡연과도 폐암과도 \(20\)배 가까이 연관된 미지의 요인이 있어야 한다. 그런 요인은 이미 알려진 어떤 위험인자보다도 강력하며, 그러면서도 아무에게도 발견되지 않았어야 한다. 피셔가 제기한 "유전적 소인" 가설이 무너진 자리가 여기다.

비대칭 조합도 유의미하다. 한쪽 연관이 강하면 다른 쪽은 약해도 된다. \(\mathrm{RR}_{TU} = 20\)이면 \(\mathrm{RR}_{UY} = 2.11\)로 충분하다. E-value는 두 연관이 같다고 놓았을 때의 최솟값이므로 가장 보수적인 하나의 요약값이다.

한계를 분명히 하라. E-value는 미측정 교란요인이 하나이고 이진변수이며 측정오차가 없다는 등의 가정 위에 있다. 또한 "교란요인이 실제로 그만큼 강한가"에는 답하지 않는다. 얼마나 강해야 하는지를 계산해 줄 뿐, 그런 것이 있는지는 여전히 영역 지식의 문제다. 그럼에도 "미측정 교란이 있을 수 있다"는 막연한 경고를 하나의 숫자로 바꾸어 놓았다는 점에서 값지다. \(\square\)