통계학에서 정규성 검정의 응용¶

(1) 먼저 코드를 그대로 돌린다.

import numpy as np
from scipy.stats import ttest_ind, shapiro

np.random.seed(0)

# 두 집단 모두 실제로 정규분포에서 나왔다.
group1 = np.random.normal(0, 1, 50)
group2 = np.random.normal(0.5, 1, 50)

# 집단마다 따로 검정한다. t 검정이 요구하는 것은 각 집단의 정규성이다.
_, p_value_group1 = shapiro(group1)
_, p_value_group2 = shapiro(group2)

# 검정 결과에 따라 다음 절차를 고르는 흐름이다. 다만 이렇게 자료를 보고
# 검정을 고르면 최종 p-값이 명목수준보다 커진다는 점은 알고 있어야 한다.
if p_value_group1 > 0.05 and p_value_group2 > 0.05:
    stat, p_value = ttest_ind(group1, group2)
    print(f"Two-sample t-test: p-value={p_value}")
else:
    print("One or both groups fail the normality test. Consider using a non-parametric alternative.")

출력:

Two-sample t-test: p-value=0.09856078338184512

두 집단의 샤피로–윌크 \(p\)값은 각각 \(0.877\)과 \(0.837\)로 정규성 확인을 가뿐히 통과하고, 이어진 \(t\) 검정의 \(p\)값은 \(0.0986\)이다. 정규성은 문제가 아니었다. 자료는 실제로 정규분포에서 나왔고 검정도 그렇게 말한다. 기각하지 못한 것은 전혀 다른 이유다.

이론 검정력을 계산해 보자. 참 효과크기는 \(d = (\mu_2 - \mu_1)/\sigma = 0.5\)이고, 등표본 이표본 \(t\) 검정의 표준오차는 \(\mathrm{SE} = \sigma\sqrt{2/n}\)이므로 대립가설 아래 통계량은 비중심모수

를 갖는 자유도 \(2n-2\)의 비중심 \(t\) 분포를 따른다. \(n = 50\), \(d = 0.5\)에서

이고, 양쪽 검정의 임계값은 \(t_{0.975,\,98} = 1.9845\)이다. 따라서 검정력은

이다. 곧 이 설계는 애초에 열 번 가운데 세 번은 놓치도록 되어 있었다. 이번 표본이 그 세 번 가운데 하나였을 뿐이다.

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(0)
group1 = np.random.normal(0, 1, 50)
group2 = np.random.normal(0.5, 1, 50)

W1, p1 = stats.shapiro(group1)
W2, p2 = stats.shapiro(group2)
print(f"Shapiro group1: W = {W1:.4f}, p = {p1:.4f}")
print(f"Shapiro group2: W = {W2:.4f}, p = {p2:.4f}")

t, p = stats.ttest_ind(group1, group2)
diff = group2.mean() - group1.mean()
sp = np.sqrt((group1.var(ddof=1) + group2.var(ddof=1)) / 2)
se = sp * np.sqrt(2 / 50)
print(f"표본 평균차 = {diff:.4f}  (참값 0.5),  SE = {se:.4f}")
print(f"t = {t:.4f},  p = {p:.4f}")

# 이론 검정력: 비중심 t 분포
d, n, df = 0.5, 50, 98
ncp = d * np.sqrt(n / 2)
tc = stats.t.ppf(0.975, df)
power = stats.nct.sf(tc, df, ncp) + stats.nct.cdf(-tc, df, ncp)
print(f"ncp = {ncp:.2f},  t_crit = {tc:.4f},  이론 검정력 = {power:.4f}")

for m in range(10, 300):
    nc, dd = d * np.sqrt(m / 2), 2 * m - 2
    q = stats.t.ppf(0.975, dd)
    if stats.nct.sf(q, dd, nc) + stats.nct.cdf(-q, dd, nc) >= 0.80:
        print(f"검정력 80% 에 필요한 집단당 표본 = {m}")
        break

출력:

Shapiro group1: W = 0.9876, p = 0.8766
Shapiro group2: W = 0.9866, p = 0.8366
표본 평균차 = 0.3385  (참값 0.5),  SE = 0.2030
t = -1.6677,  p = 0.0986
ncp = 2.50,  t_crit = 1.9845,  이론 검정력 = 0.6969
검정력 80% 에 필요한 집단당 표본 = 64

손으로 구한 \(\delta = 2.50\), \(t_{0.975,98} = 1.9845\), 검정력 \(0.6969\)가 코드와 그대로 맞는다. 표본에서 실제로 관측된 평균차는 \(0.3385\)로 참값 \(0.5\)보다 작게 나왔고, \(\mathrm{SE} = 0.2030\)으로 나누면 \(0.3385/0.2030 = 1.668\)이 되어 임계값 \(1.9845\)에 미치지 못한다. 검정력 80%를 원하면 집단당 64개가 필요하다.

(2) 자료를 보고 검정을 고르면 최종 수준이 명목값에서 벗어난다. 보고되는 \(p\)값은 "\(t\) 검정을 쓰기로 미리 정했을 때"의 귀무분포에서 계산된 것인데, 실제로 수행된 절차는 "샤피로–윌크를 먼저 돌려 통과하면 \(t\) 검정, 아니면 만–휘트니"라는 두 단계 복합 절차다. 복합 절차의 귀무분포는 \(t\) 분포도 아니고 만–휘트니의 귀무분포도 아니다. 1단계의 선택이 같은 자료에 의존하므로 두 단계가 독립이 아니고, 그래서 최종 제1종 오류율이 \(0.05\)에서 비껴난다.

더 실용적인 문제도 있다. 1단계의 검정력은 \(n\)에 지배되므로 작은 표본에서는 무엇을 뽑아도 통과하고 큰 표본에서는 실무상 무해한 이탈도 걸러 낸다. 곧 이 분기 규칙은 "자료가 정규인가"가 아니라 "표본이 큰가"에 따라 갈라진다. 정작 비모수 대안이 절실한 작은 표본에서 가장 쓸모가 없는 셈이다.

실무에서는 ① 분석 방법을 자료를 보기 전에 정하거나, ② 두 결과를 모두 보고하거나, ③ 애초에 정규성에 덜 의존하는 절차(부트스트랩, 웰치 \(t\))를 기본값으로 두는 편이 낫다.

(1) 쪽의 코드를 그대로 돌린다.

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import shapiro

# 오차를 정규분포에서 만들었으므로 잔차도 정규여야 한다.
np.random.seed(0)
X = np.random.normal(0, 1, 100)
y = 2 * X + np.random.normal(0, 1, 100)

X = sm.add_constant(X)
model = sm.OLS(y, X).fit()

# 회귀에서 정규성을 요구받는 것은 반응변수 y 가 아니라 잔차다.
# y 자체는 X 에 따라 중심이 옮겨 다니므로 정규일 까닭이 없다.
residuals = model.resid
_, p_value = shapiro(residuals)

print(f"Shapiro-Wilk Test on Residuals: p-value={p_value}")

# 검정과 그림을 함께 본다.
plt.hist(residuals, bins=20)
plt.title('Residuals Histogram')
plt.show()

if p_value > 0.05:
    print("Residuals are normally distributed.")
else:
    print("Residuals are not normally distributed.")

출력:

Shapiro-Wilk Test on Residuals: p-value=0.11418410564039025
Residuals are normally distributed.

잔차는 \(p = 0.114\)로 정규성 확인을 통과한다. 오차를 정규분포에서 만들었으니 당연한 결과다. (엄밀히 말하면 "잔차가 정규분포를 따른다"가 아니라 "잔차가 정규성과 일관된다"가 옳은 표현이다. 기각하지 못한 것이 정규성을 증명하지는 않는다.)

그런데 같은 자료의 \(y\) 에 걸어도 통과한다. 해석적으로 당연하다. \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\)과 \(\varepsilon \sim \mathcal{N}(0,1)\)이 독립이므로 둘의 선형결합은 다시 정규이고

이다. 표준편차는 \(\sqrt{5} = 2.2361\)이다. 곧 이 설계에서는 \(y\) 도 엄밀히 정규이고, 샤피로–윌크가 통과시키는 것이 옳다.

(2) 그러므로 코드 주석의 "\(y\) 자체는 정규일 까닭이 없다"는 말은 이 자료로 확인되지 않는다. 주석이 겨냥한 요점 자체는 맞다. 회귀에서 정규성을 요구받는 것은 조건부 분포 \(y \mid X\)이고, 주변분포 \(y\)는 \(X\)의 분포가 섞여 들어간 것이라 일반적으로 정규가 아니다. 다만 \(X\)를 정규에서 뽑으면 그 섞임이 다시 정규가 되어 차이가 사라진다. 요점을 보이려면 \(X\)를 비정규로 두어야 한다.

\(X \sim \text{Exponential}(1)\)로 바꾸면 갈라진다.

import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from scipy import stats

# --- 같은 자료에서 y 와 잔차를 모두 검정한다.
np.random.seed(0)
X = np.random.normal(0, 1, 100)
y = 2 * X + np.random.normal(0, 1, 100)
resid = sm.OLS(y, sm.add_constant(X)).fit().resid

print(f"X ~ N(0,1) 일 때")
print(f"  y    shapiro p = {stats.shapiro(y)[1]:.4f},  y 표준편차 = {y.std(ddof=1):.4f}"
      f"  (이론 sqrt(5) = {np.sqrt(5):.4f})")
print(f"  잔차 shapiro p = {stats.shapiro(resid)[1]:.4f}")
print(f"  잔차 g1 = {stats.skew(resid):+.4f}, g2 = {stats.kurtosis(resid):+.4f}"
      f"   (bias=True 기본값)")

# --- X 를 치우친 분포로 바꾸면 y 와 잔차가 갈라진다.
rng = np.random.default_rng(0)
Xs = rng.exponential(1.0, 100)
ys = 2 * Xs + rng.normal(0, 1, 100)
rs = sm.OLS(ys, sm.add_constant(Xs)).fit().resid

print(f"X ~ Exp(1) 일 때")
print(f"  y    shapiro p = {stats.shapiro(ys)[1]:.3g},  g1 = {stats.skew(ys):+.4f}")
print(f"  잔차 shapiro p = {stats.shapiro(rs)[1]:.4f},  g1 = {stats.skew(rs):+.4f}")

출력:

X ~ N(0,1) 일 때
  y    shapiro p = 0.7502,  y 표준편차 = 2.3783  (이론 sqrt(5) = 2.2361)
  잔차 shapiro p = 0.1142
  잔차 g1 = +0.2096, g2 = -0.7378   (bias=True 기본값)
X ~ Exp(1) 일 때
  y    shapiro p = 0.000578,  g1 = +0.9816
  잔차 shapiro p = 0.2509,  g1 = -0.3300

해석적으로 구한 \(y\)의 표준편차 \(\sqrt 5 = 2.236\)이 표본값 \(2.378\)과 맞는다(\(n = 100\)에서 표준편차 추정의 상대 표준오차가 약 \(1/\sqrt{2n} = 7\%\)이므로 \(6\%\) 차이는 그 안이다).

아래 두 줄이 요점이다. \(X\)를 지수분포에서 뽑으면 \(y\)의 표본왜도가 \(g_1 = +0.98\)이 되어 샤피로–윌크가 \(p = 0.00058\)로 기각하지만, 같은 적합의 잔차는 \(p = 0.251\)로 통과한다. 모형은 조금도 틀리지 않았다. 오차는 여전히 정규이고 선형성도 성립한다. \(y\) 에 정규성 검정을 걸었다면 멀쩡한 모형을 버렸을 것이다. 치우친 설명변수는 통계학에서 예외가 아니라 보통이다(소득, 거래량, 인구).

왜도·첨도는 판본을 밝혀야 수가 맞는다. 위 값은 모두 scipy.stats.skew·kurtosis의 기본값이므로 보정하지 않은 \(g_1\)과 초과첨도 \(g_2\)다. pandas .skew()를 쓰면 보정판 \(G_1\)이 나와 값이 조금 달라진다.

(3) 히스토그램은 이 판정에 거의 쓸모가 없다. \(n = 100\)에 구간을 20개 주었으니 구간마다 평균 5개다. 포아송 변동만으로도 높이가 \(\pm\sqrt5 \approx \pm 2.2\), 곧 \(\pm 45\%\)씩 흔들리므로 들쭉날쭉한 모양이 자료의 성질인지 구간 분할의 잡음인지 분간할 수 없다. 실제로 잔차의 초과첨도는 \(g_2 = -0.74\)로 정규보다 다소 납작한데, 이것이 참인 성질이 아니라 표본 변동임을 히스토그램만으로는 알 수 없다. 정규성 진단에는 Q-Q 그림이 낫다. 구간을 나누지 않으므로 분할 선택에 흔들리지 않고, 벗어남이 어느 분위수에서 생기는지도 함께 보여 준다.

(1) 쪽의 코드를 그대로 돌린다.

import numpy as np
from scipy.stats import f_oneway, shapiro

np.random.seed(0)

# 세 집단의 평균은 다르지만 분산은 같다.
group1 = np.random.normal(0, 1, 30)
group2 = np.random.normal(0.5, 1, 30)
group3 = np.random.normal(1, 1, 30)

# 분산분석에서도 정규성은 잔차에 요구된다. 집단마다 평균을 뺀 값이
# 곧 잔차이므로, 집단별로 검정하는 것이 그 일을 대신한다.
_, p_value_group1 = shapiro(group1)
_, p_value_group2 = shapiro(group2)
_, p_value_group3 = shapiro(group3)

# 자료가 정규인지 확인한다
if p_value_group1 > 0.05 and p_value_group2 > 0.05 and p_value_group3 > 0.05:
    # 분산분석 수행
    stat, p_value = f_oneway(group1, group2, group3)
    print(f"ANOVA test: p-value={p_value}")
else:
    print("One or more groups fail the normality test. Consider using a non-parametric alternative.")

출력:

ANOVA test: p-value=0.039981492411499175

(3) 닫힌 꼴 먼저. 세 집단의 평균이 \(-d\), \(0\), \(d\)이고(위치 이동은 첨도를 바꾸지 않으므로 간격만 중요하다) 각 성분이 분산 1인 정규라 하자. 집단을 고르는 확률변수를 \(M\)(\(\{-d,0,d\}\)에 각각 \(1/3\)), 집단 안 변동을 \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\)이라 두면 통합 자료는 \(X = M + Z\)이고 둘은 독립이다. \(E[M] = E[M^3] = 0\), \(E[M^2] = \tfrac23 d^2\), \(E[M^4] = \tfrac23 d^4\)이므로

이고, 홀수 적률이 사라지는 것을 쓰면

이다. 따라서 초과첨도는

\(d = 0\)이면 \(3/1 - 3 = 0\)으로 정규가 되고, \(d \to \infty\)이면 \(\tfrac23 d^4 / \tfrac49 d^4 - 3 = \tfrac32 - 3 = -\tfrac32\)로 간다. 상한이 \(-1.5\)라는 것이 요점이다. 평균을 벌려 통합하면 꼬리가 두꺼워지는 것이 아니라 가운데가 평평해진다. 비정규성이 납작한 쪽으로 생긴다.

(1)(2) 수치 확인.

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(0)
g1 = np.random.normal(0, 1, 30)
g2 = np.random.normal(0.5, 1, 30)
g3 = np.random.normal(1, 1, 30)

for name, g in [("group1", g1), ("group2", g2), ("group3", g3)]:
    W, p = stats.shapiro(g)
    print(f"{name}: W = {W:.4f}, p = {p:.4f},  평균 = {g.mean():+.4f},"
          f"  표준편차 = {g.std(ddof=1):.4f}")

F, p = stats.f_oneway(g1, g2, g3)
print(f"F = {F:.4f}, p = {p:.4f},  임계 F(2, 87) = {stats.f.ppf(0.95, 2, 87):.4f}")

# 분산분석이 요구하는 것은 집단평균을 뺀 잔차의 정규성이다.
resid = np.concatenate([g - g.mean() for g in (g1, g2, g3)])
print(f"집단중심화 잔차 (n = {resid.size}): shapiro p = {stats.shapiro(resid)[1]:.4f}")

# 중심화하지 않고 그냥 통합하면?
raw = np.concatenate([g1, g2, g3])
print(f"중심화 안 한 통합자료:   shapiro p = {stats.shapiro(raw)[1]:.4f}")

# 평균 간격을 d, 2d 로 벌려 가며 본다.
print("\n평균간격 d   통합자료 shapiro p   표본 g2    닫힌꼴 초과첨도")
for d in [0, 1, 2, 3, 4]:
    pooled = np.concatenate([resid[:30], resid[30:60] + d, resid[60:] + 2 * d])
    closed = ((2 / 3) * d**4 + 4 * d**2 + 3) / (1 + (2 / 3) * d**2) ** 2 - 3
    print(f"   {d}        {stats.shapiro(pooled)[1]:>10.2e}      "
          f"{stats.kurtosis(pooled):+.3f}      {closed:+.3f}")

출력:

group1: W = 0.9695, p = 0.5254,  평균 = +0.4429,  표준편차 = 1.1003
group2: W = 0.9835, p = 0.9085,  평균 = +0.2105,  표준편차 = 0.9142
group3: W = 0.9763, p = 0.7204,  평균 = +0.8663,  표준편차 = 0.9650
F = 3.3415, p = 0.0400,  임계 F(2, 87) = 3.1013
집단중심화 잔차 (n = 90): shapiro p = 0.9106
중심화 안 한 통합자료:   shapiro p = 0.8701

평균간격 d   통합자료 shapiro p   표본 g2    닫힌꼴 초과첨도
   0          9.11e-01      -0.023      +0.000
   1          9.00e-01      +0.281      -0.240
   2          8.11e-01      -0.549      -0.793
   3          6.25e-02      -0.989      -1.102
   4          2.49e-03      -1.194      -1.254

(1) 결론은 같다. 집단별 \(p\)값은 \(0.525\), \(0.909\), \(0.720\)이고 집단중심화 잔차 하나(\(n = 90\))의 \(p\)값은 \(0.911\)로, 모두 넉넉히 통과한다. 분산분석은 \(F = 3.3415\)로 임계값 \(F_{0.95}(2,87) = 3.1013\)을 겨우 넘어 \(p = 0.0400\)을 준다. 5% 수준에서 기각하지만 임계값과의 여유가 \(0.24\)뿐이라 결론이 단단하다고 말하기는 어렵다. 집단 표준편차도 \(1.100\), \(0.914\), \(0.965\)로 가장 큰 쪽이 가장 작은 쪽의 \(1.20\)배에 그쳐 등분산 가정에 무리가 없다.

집단별 세 번과 잔차 한 번 가운데 원칙에 맞는 것은 잔차 한 번이다. 분산분석 모형 \(y_{ij} = \mu + \alpha_i + \varepsilon_{ij}\)에서 정규성을 요구받는 것은 \(\varepsilon_{ij}\)뿐이다. 실무적 차이도 있다. 집단별로 세 번 검정하면 세 번 다 통과해야 하므로 전체 제1종 오류율이 부풀고(독립이라 가정하면 \(1 - 0.95^3 = 14.3\%\)), 집단 수가 늘면 더 나빠진다. 게다가 집단마다 \(n = 30\)으로 쪼개므로 검정력도 낮다. 잔차를 모아 한 번 검정하면 \(n = 90\)을 다 쓰고 검정도 한 번이다.

(2) 중심화하지 않아도 이 자료에서는 통과한다(\(p = 0.870\)). 집단 평균이 \(0.211\)부터 \(0.866\)까지, 곧 \(\sigma = 1\)에 비해 \(0.66\)만큼만 떨어져 있어서다. 성분이 이렇게 겹치면 혼합이 단봉인 정규와 거의 구별되지 않는다. (3)의 닫힌 꼴에 등간격 근사 \(d = (0.8663 - 0.2105)/2 = 0.328\)을 넣으면 \(\gamma_2 = -0.0067\)로, 정규에서 사실상 떨어져 있지 않다.

간격을 벌리면 깨진다. 표에서 \(d = 2\)까지는 \(p\)가 \(0.8\) 위에 머물다가 \(d = 3\)에서 \(0.0625\)로 내려오고 \(d = 4\)에서 \(0.0025\)로 기각된다. \(\sigma\)의 세 배쯤 떨어져야 비로소 샤피로–윌크가 알아챈다는 뜻이고, \(n = 90\)에서도 그렇다. 그런데 중심화한 잔차는 이 모든 경우에 똑같다 — 집단 평균을 어디로 옮기든 잔차는 변하지 않으므로 \(p = 0.9106\)이 그대로다. 이것이 중심화해야 하는 이유다. 중심화하지 않으면 집단 평균의 차이, 곧 분산분석이 찾으려는 바로 그 효과를 비정규성으로 오인한다.

(3) 닫힌 꼴과 모의값의 대조. 표의 마지막 두 열이다.

추세가 맞고 \(d \ge 2\)에서는 값도 가깝다. \(d = 1\)의 \(0.52\) 차이가 눈에 걸리지만 \(n = 90\)에서 초과첨도의 귀무 표준오차가 \(\sqrt{24/n} = \sqrt{24/90} = 0.516\)이므로 1 표준오차 안이다. 표본 하나로 첨도를 재면 이만큼 흔들린다. 추세를 보려면 표본 하나가 아니라 닫힌 꼴이 필요하다는 것이 이 대조의 교훈이다.

(닫힌 꼴은 몬테카를로로도 확인했다. \(4\times10^6\)개를 뽑으면 \(d = 1,2,3,4\)에서 각각 \(-0.2388\), \(-0.7946\), \(-1.1023\), \(-1.2536\)이 나와 닫힌 꼴 \(-0.2400\), \(-0.7934\), \(-1.1020\), \(-1.2539\)와 소수 둘째 자리까지 맞는다.) 표본 \(g_2\)는 scipy.stats.kurtosis의 기본값이므로 보정하지 않은 초과첨도다.

일표본 t 검정은 자료가 정규분포에서 온다고 가정한다(또는 \(n\)이 중심극한정리를 쓸 만큼 크다고 가정한다). \(n = 15\)이면 자료가 심하게 치우쳐 있을 때 중심극한정리가 충분한 근사를 제공하지 못할 수 있다.

자료가 오른쪽으로 치우쳐 있으면 \(\bar{X}\)의 표집분포도 치우치며 t 분포가 나쁜 근사가 된다. 그러면 (1) p값이 틀리고(실제 제1종 오류율이 명목 \(\alpha\)와 다르다), (2) 신뢰구간의 포함확률이 틀리며, (3) 실제 효과를 탐지할 검정력이 떨어진다. 치우침이 심하고 \(n = 15\)라면 비모수 검정(Wilcoxon 부호순위)이나 붓스트랩 검정이 더 믿을 만하다.

1. 평균에 대한 t 검정: 중간 정도로 로버스트하다. \(n \geq 30\)이고 치우침이 중간 정도이면 중심극한정리가 근사적 타당성을 보장한다. 작은 표본에서 두꺼운 꼬리나 극단적 이상점에는 로버스트하지 않다.

2. 분산의 동일성에 대한 F 검정: 로버스트하지 않다. F 검정은 비정규성에 매우 민감하여 가벼운 이탈만으로도 제1종 오류율이 심각하게 부풀려질 수 있다. Levene 검정이나 Brown-Forsythe 검정이 선호되는 대안이다.

3. 선형회귀(OLS): OLS 추정값 자체는 정규성 없이도 타당하다(불편, BLUE). 그러나 추론(t 검정, F 검정, 신뢰구간)에는 오차의 정규성이나 큰 \(n\)이 필요하다. 예측구간은 비정규성에 특히 민감하다.

권장 절차:

1. 먼저 시각적으로 점검한다: 자료(회귀에서는 잔차)의 히스토그램이나 밀도 그림과 Q-Q 그림을 만든다. 치우침, 두꺼운 꼬리, 이상점, 다봉성을 살핀다.

2. 형식적 검정: 시각적 방법을 보완하기 위해 정규성 검정을 적용한다(\(n < 50\)이면 Shapiro-Wilk, 더 큰 표본에는 Anderson-Darling이나 D'Agostino).

3. 결과를 함께 해석한다: Q-Q 그림이 대략 선형이고 형식적 검정이 합리적인 수준에서 기각하지 않으면 정규론 방법으로 진행한다. 둘 다 비정규성을 시사하면 대안을 고려한다.

4. 필요하면 대책을 고른다: 변환(로그, Box-Cox), 비모수 검정, 붓스트랩 방법을 적용한다.

5. 평가를 보고한다: 정규성이 뒷받침되더라도 어떤 정규성 확인을 수행했고 그 결과가 무엇이었는지 서술한다.

\(n = 5000\)이면 형식적 검정의 검정력이 극도로 높아, 추론에 실질적 영향이 없는 사소한 이탈까지 탐지한다. Shapiro-Wilk \(p < 0.001\)은 자료가 정규에서 "멀다"는 뜻이 아니라 그 이탈이 통계적으로 탐지 가능하다는 뜻이다.

Q-Q 그림이 거의 선형이므로 이탈은 작을 가능성이 높다. 다음과 같이 진행한다.

1. 정규론 방법으로 진행한다: \(n = 5000\)이면 중심극한정리의 보호가 강력하여 약간의 비정규성이 있어도 t 검정, 분산분석, 회귀 추론이 매우 정확하다.
2. 두 결과를 모두 보고한다: 형식적 검정은 정규성을 기각했지만 시각적 점검은 근사적 정규성을 시사한다고 밝힌다.
3. 효과 크기를 고려한다: 이분법적 기각/비기각 판정에 기대는 대신 왜도와 첨도 계수로 비정규성의 정도를 수량화한다.