이산확률변수¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_pmf(values, probabilities, title="PMF"):
    """확률질량함수를 막대그림으로 그린다.

    이산확률변수에서는 각 값에 확률이 "덩어리"로 붙어 있으므로
    막대의 높이가 곧 그 값이 나올 확률이다.
    (연속확률변수의 밀도함수와 달리 높이를 그대로 확률로 읽을 수 있다.)
    """
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 3))
    # width=0.4 로 막대 사이를 띄운다. 값 사이에 아무것도 없음을 나타내기 위함이다.
    ax.bar(values, probabilities, width=0.4, alpha=0.7, edgecolor='black')
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('P(X = x)')
    ax.set_title(title)
    ax.spines['top'].set_visible(False)
    ax.spines['right'].set_visible(False)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 예 1: 공정한 주사위. 여섯 값의 확률이 모두 같은 균등 PMF다.
values = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
probs = [1/6] * 6
plot_pmf(values, probs, "PMF of a Fair Die")

# 예 2: 동전 3번 던져 앞면의 개수. 이항분포 B(3, 0.5)다.
# P(X=k) = C(3,k) * 0.5^k * 0.5^(3-k). 가운데(1, 2)가 높은 대칭 모양이 된다.
from math import comb
n = 3
values = list(range(n + 1))
probs = [comb(n, k) * (0.5**k) * (0.5**(n-k)) for k in values]
plot_pmf(values, probs, "PMF: Number of Heads in 3 Coin Flips")

# 예 3: 원하는 카드가 나올 때까지 산 팩 수. 균등하지도 대칭이지도 않다.
# 확률의 합이 0.2+0.16+0.128+0.512 = 1 이 되는지 확인해 보라.
# PMF가 되려면 (i) 모든 값이 0 이상, (ii) 합이 정확히 1 이어야 한다.
values = [1, 2, 3, 4]
probs = [0.2, 0.16, 0.128, 0.512]
plot_pmf(values, probs, "PMF: Baseball Card Packs Purchased")

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
r, p = 4, 0.3
X = rng.negative_binomial(r, p, 600_000) + r      # 실패 횟수 + r = 시행 횟수

print(f"음이항 (r={r}, p={p})")
print(f"  평균 {X.mean():.4f}   이론 {r / p:.4f}")
print(f"  분산 {X.var():.4f}   이론 {r * (1 - p) / p ** 2:.4f}")
print(f"\n분산/평균 = {X.var() / X.mean():.4f}   (1 보다 크다 → 과산포)")
print(f"기하분포는 r=1 인 특수한 경우: 평균 {1 / p:.4f}")

음이항 (r=4, p=0.3)
  평균 13.3286   이론 13.3333
  분산 31.0912   이론 31.1111

분산/평균 = 2.3327   (1 보다 크다 → 과산포)
기하분포는 r=1 인 특수한 경우: 평균 3.3333

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
lam, T = 3.0, 1000.0

gaps = rng.exponential(1 / lam, int(lam * T * 1.3))
times = np.cumsum(gaps)
times = times[times < T]
counts = np.histogram(times, bins=np.arange(0, T + 1, 1))[0]

print(f"간격이 Exp({lam}) 일 때 단위 구간의 사건 수")
print(f"  평균 {counts.mean():.4f}   분산 {counts.var():.4f}   (포아송이면 둘 다 {lam})")

u, c = np.unique(counts, return_counts=True)
print(f"\n{'k':>4}{'관측 비율':>12}{'Poisson pmf':>14}")
for k, cnt in zip(u[:7], c[:7]):
    print(f"{k:>4}{cnt / len(counts):>12.4f}{stats.poisson.pmf(k, lam):>14.4f}")

간격이 Exp(3.0) 일 때 단위 구간의 사건 수
  평균 2.9470   분산 2.9002   (포아송이면 둘 다 3.0)

   k       관측 비율   Poisson pmf
   0      0.0650        0.0498
   1      0.1480        0.1494
   2      0.1910        0.2240
   3      0.2510        0.2240
   4      0.1700        0.1680
   5      0.1050        0.1008
   6      0.0460        0.0504

import numpy as np

K_frac, n = 0.3, 20
print(f"성공 비율 {K_frac}, 표본 {n}개")
print(f"{'모집단 N':>10}{'n/N':>8}{'초기하 분산':>14}{'이항 분산':>12}{'FPC':>9}")
for N in (50, 200, 1000, 10_000):
    hv = n * K_frac * (1 - K_frac) * (N - n) / (N - 1)
    bv = n * K_frac * (1 - K_frac)
    print(f"{N:>10}{n/N:>8.3f}{hv:>14.4f}{bv:>12.4f}{np.sqrt((N-n)/(N-1)):>9.4f}")

성공 비율 0.3, 표본 20개
     모집단 N     n/N        초기하 분산       이항 분산      FPC
        50   0.400        2.5714      4.2000   0.7825
       200   0.100        3.7990      4.2000   0.9511
      1000   0.020        4.1201      4.2000   0.9904
     10000   0.002        4.1920      4.2000   0.9990

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(4)
n = 5000
lam = 2.0

datasets = {
    "포아송": rng.poisson(lam, n),
    "과산포(음이항)": rng.negative_binomial(2, 2 / (2 + lam), n),
    "영과잉": np.where(rng.random(n) < 0.3, 0, rng.poisson(lam / 0.7, n)),
    "과소산포(이항)": rng.binomial(4, lam / 4, n),
}

print(f"{'자료':>16}{'평균':>9}{'분산':>9}{'분산/평균':>11}{'0 의 비율':>11}{'포아송 예상':>13}")
for name, d in datasets.items():
    p0_obs = np.mean(d == 0)
    p0_pois = stats.poisson.pmf(0, d.mean())
    print(f"{name:>16}{d.mean():>9.4f}{d.var():>9.4f}"
          f"{d.var() / d.mean():>11.4f}{p0_obs:>11.4f}{p0_pois:>13.4f}")

              자료       평균       분산      분산/평균     0 의 비율       포아송 예상
             포아송   1.9900   2.0291     1.0196     0.1384       0.1367
        과산포(음이항)   1.9986   3.9982     2.0005     0.2522       0.1355
             영과잉   2.0148   3.7922     1.8822     0.3456       0.1333
        과소산포(이항)   1.9912   1.0015     0.5030     0.0640       0.1365