σ²의 신뢰구간¶

(1) 추축량을 뒤집는다. 정규표본에서

이고 이 분포는 \(\mu\)에도 \(\sigma\)에도 의존하지 않는다. 자유도 \(n-1 = 11\)의 하위·상위 \(2.5\%\) 임계값을 \(\ell = \chi^2_{0.025,\,11}\), \(u = \chi^2_{0.975,\,11}\) 이라 하면

이다. 안쪽을 \(\sigma^2\)에 대해 푼다. 세 양이 모두 양수이므로 역수를 취할 수 있고, 역수를 취하면 부등호가 뒤집힌다.

그래서 큰 임계값 \(u\)가 아래끝의 분모로 간다. \(\sigma^2\)이 추축량의 분모에 있다는 것이 유일한 이유이며, 평균의 구간과 모양이 달라지는 지점이 바로 여기다.

비가 상수다. 상한을 하한으로 나누면 \(S^2\)이 통째로 약분된다.

\(n = 12\)에서 \(u/\ell = 21.92005/3.81575 = 5.74463\) 이다. 자료를 보기도 전에 정해지는 값이며 \(n\)에만 달렸다. 평균의 \(t\)-구간은 \(\bar x\)를 가운데 두고 차가 \(s\)에 비례했는데, 분산의 구간은 \(s^2\)에 곱해지는 구조라 비가 고정된다. 폭 자체는 \((n-1)s^2(1/\ell - 1/u)\) 로 \(s^2\)에 정비례한다.

(2) 표본 하나.

import numpy as np
from scipy.stats import chi2

n = 12
sigma = 2.0        # 참 모표준편차 (모의실험용이므로 답을 알고 있다)
alpha = 0.05

rng = np.random.default_rng(42)
x = rng.normal(loc=0, scale=sigma, size=n)

# ddof=1이 필수다. 베셀 보정을 빼면 s²이 아래로 편향되어
# 구간 전체가 왼쪽으로 밀린다.
s2 = x.var(ddof=1)
df = n - 1

chi2_lo = chi2(df=df).ppf(alpha / 2.0)
chi2_hi = chi2(df=df).ppf(1 - alpha / 2.0)

# 큰 임계값이 아래끝의 분모로 간다.
# (n-1)s²/σ² 이 두 임계값 사이에 있다는 부등식을 σ²에 대해 풀면
# σ²이 분모로 내려가 대소가 뒤집히기 때문이다.
ci_lower = df * s2 / chi2_hi
ci_upper = df * s2 / chi2_lo

print(f"s2 = {s2:.4f},  chi2_lo = {chi2_lo:.5f},  chi2_hi = {chi2_hi:.5f}")
print(f"95% CI for σ²: ({ci_lower:.4f}, {ci_upper:.4f})")
print(f"95% CI for σ:  ({np.sqrt(ci_lower):.4f}, {np.sqrt(ci_upper):.4f})")

# (1) 상한/하한의 비는 s2 와 무관하게 chi2_hi / chi2_lo 다.
print(f"\n구간의 비 = {ci_upper / ci_lower:.5f}   chi2_hi/chi2_lo = {chi2_hi / chi2_lo:.5f}")
print(f"σ 척도에서의 비 = {np.sqrt(ci_upper / ci_lower):.5f}")

출력:

s2 = 3.6752,  chi2_lo = 3.81575,  chi2_hi = 21.92005
95% CI for σ²: (1.8443, 10.5947)
95% CI for σ:  (1.3580, 3.2549)

구간의 비 = 5.74463   chi2_hi/chi2_lo = 5.74463
σ 척도에서의 비 = 2.39680

(1)의 비가 그대로 나온다. 구간의 상한/하한 \(10.5947/1.8443 = 5.74463\) 이 \(u/\ell = 21.92005/3.81575 = 5.74463\) 과 소수 다섯째 자리까지 같다. \(s^2 = 3.6752\) 가 무엇이든 이 비는 바뀌지 않는다.

참값 \(\sigma^2 = 4\)가 구간 안에 있다. 다만 구간 \((1.8443,\ 10.5947)\) 이 \(s^2 = 3.6752\) 를 가운데 두지 않는다. 왼쪽으로 \(1.83\), 오른쪽으로 \(6.92\) 다. 카이제곱분포가 오른쪽으로 늘어져 있으므로 \(S^2\)이 참값보다 크게 나오는 쪽의 여지를 더 많이 남겨야 하기 때문이다.

\(\sigma\)의 구간은 제곱근을 취하면 된다. \(\sigma > 0\)에서 \(\sigma \mapsto \sigma^2\) 이 순증가이므로

로 두 사건이 같다. 사건이 같으니 확률도 같고, 따라서 \((\sqrt{1.8443},\ \sqrt{10.5947}) = (1.3580,\ 3.2549)\) 가 \(\sigma\)의 \(95\%\) 구간이다. 비는 \(\sqrt{5.74463} = 2.3968\) 로 줄어든다. 단조변환은 신뢰구간을 그대로 옮긴다. 평균의 구간에서 보았던 아핀변환 불변성과 같은 이치이고, 거기서와 달리 여기서는 변환이 비선형이라 구간의 모양(비대칭의 정도)이 달라진다.

(1) 정규모집단에서는 정확히 \(0.95\)다. 구간이 \(\sigma^2\)을 담는 사건은 앞 보기의 유도에 의해

과 같은 사건이다. \(\ell\)과 \(u\)가 \(\chi^2_{n-1}\)의 \(2.5\)·\(97.5\) 백분위수이므로

이다. 근사가 아니라 정확한 값이고, \(n \ge 2\)인 모든 \(n\)과 모든 \(\mu\), \(\sigma\)에서 그렇다. \(W\)가 추축량이라서다. 평균의 \(t\)-구간과 같은 구조이며, 중심극한정리가 들어설 자리가 없다.

(2) 그림.

#!/usr/bin/env python3
"""분산 신뢰구간을 100번 만들어 참 분산을 몇 번이나 담는지 센다.

(n-1)S^2/sigma^2 이 카이제곱을 따른다는 사실에서 구간이 나온다. 평균의
구간과 달리 좌우가 대칭이 아니므로 양쪽 기각값을 따로 구해야 한다.
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chi2

rng_seed = 42        # 아래 그림을 재현하려면 고정한다
n_simulations = 100
n_samples = 12
mu = 0.0
sigma = 2.0
alpha = 0.05
report_sigma_not_sigma2 = False  # True로 두면 σ² 대신 σ의 구간을 그린다


def main():
    if rng_seed is not None:
        np.random.seed(rng_seed)

    true_var = sigma**2
    lowers = np.empty(n_simulations)
    uppers = np.empty(n_simulations)
    centers = np.empty(n_simulations)

    df = n_samples - 1
    chi2_lo = chi2(df=df).ppf(alpha / 2.0)
    chi2_hi = chi2(df=df).ppf(1 - alpha / 2.0)

    for i in range(n_simulations):
        x = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=n_samples)
        s2 = x.var(ddof=1)
        lowers[i] = df * s2 / chi2_hi
        uppers[i] = df * s2 / chi2_lo
        centers[i] = s2

    covered = (lowers <= true_var) & (true_var <= uppers)
    n_fail = int((~covered).sum())
    coverage_pct = 100.0 * covered.mean()

    if report_sigma_not_sigma2:
        lowers, uppers, centers = np.sqrt(lowers), np.sqrt(uppers), np.sqrt(centers)
        true_ref = np.sqrt(true_var)
        x_label = "Standard Deviation (σ)"
    else:
        true_ref = true_var
        x_label = "Variance (σ²)"

    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 12))
    for i in range(n_simulations):
        color = "k" if covered[i] else "r"
        ax.plot([lowers[i], uppers[i]], [i, i], lw=2, color=color)
        ax.plot(centers[i], i, marker="o", ms=3, color=color)

    ax.axvline(true_ref, linestyle="--", linewidth=1.5, color="r")
    ax.set_title(
        f"{n_simulations} Chi-square CIs | n={n_samples}, df={df}, "
        f"CL={int((1 - alpha) * 100)}% | Fail={n_fail} (Coverage ≈ {coverage_pct:.1f}%)")
    ax.set_yticks([])
    for sp in ["left", "right", "top"]:
        ax.spines[sp].set_visible(False)
    ax.set_xlabel(x_label)
    plt.tight_layout()
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

\(100\)개 가운데 \(95\)개가 담았다. (1)의 \(0.95\)와 맞는다. 되풀이 \(100\)회의 표준오차가 \(0.0218\)이므로 이 일치는 운이 좋은 것이고, \(93\)개나 \(97\)개가 나왔더라도 똑같이 (1)과 맞는다고 보아야 한다.

읽히는 것 하나 — 점이 가운데에 없다. 각 선의 점이 \(s^2\)인데, 구간의 왼쪽에 치우쳐 있다. 앞 보기에서 본 대로 하한까지가 \((n-1)s^2(1/u)\) 만큼, 상한까지가 \((n-1)s^2(1/\ell)\) 만큼이라 오른쪽이 \(u/\ell = 5.74\) 배 멀다.

읽히는 것 둘 — 실패가 양쪽으로 갈리되 모양이 다르다. 실패한 다섯 중 셋은 구간이 통째로 참값 오른쪽(하한 \(> 4\))에 있고 둘은 왼쪽(상한 \(< 4\))에 있다. 그런데 오른쪽으로 빠진 세 구간의 폭이

로, \(100\)개 전체의 폭 중앙값 \(9.01\)의 두 배를 넘는다(가장 좁은 구간은 \(2.51\)이다). 폭이 \(s^2\)에 정비례하므로 \(s^2\)이 우연히 크게 나오면 구간이 오른쪽으로 밀리는 동시에 길어진다. 왼쪽으로 빠진 구간은 반대로 짧다.

이것이 분산 구간의 고유한 성질이다. 평균의 \(t\)-구간에서는 중심과 폭이 독립이었다(\(\bar X \perp S\)). 분산 구간에서는 중심 노릇을 하는 \(s^2\)이 폭도 함께 정하므로 둘이 완전히 묶여 있다. 그래서 "크게 틀린 구간은 길고, 작게 틀린 구간은 짧다"는 비대칭이 생긴다.

(3) 정규성이 무너지면 포함률도 무너진다. 구간이 쓰는 유일한 사실은 \(W = (n-1)S^2/\sigma^2\)이 \(\chi^2_{n-1}\)을 따른다는 것인데, 이것은 정규모집단에서만 참이다. 비정규 모집단에서 \(S^2\)의 흔들림을 재는 양은 모집단의 첨도 \(\beta_2\)이고, 5장에서 유도한 대로

이다. \(r\)는 "카이제곱 모형이 예측하는 분산"에 대한 실제 분산의 배율이고, \(n \to \infty\)에서 명목 \(95\%\) 구간의 포함률은

로 수렴한다. 유도와 수치 확인은 분산의 표본분포 — 균등모집단의 보기 2에 있으므로 여기서는 결과만 쓴다.

표본을 키워도 낫지 않는다. 이 값들은 \(n \to \infty\)의 극한이다. 되풀이 \(5\)만 회로 확인하면 지수모집단에서 \(n = 25,\ 200,\ 2000\)의 포함률이 \(0.724,\ 0.686,\ 0.675\) 로 \(0.673\) 쪽으로 내려가고, 균등모집단에서는 \(0.997,\ 0.998,\ 0.998\) 로 \(0.998\)에 붙어 있다. 꼬리가 두꺼울수록 \(r\)가 커져 구간이 실제보다 좁아지고, 꼬리가 가벼우면 반대로 지나치게 넓어진다.

\(t_5\)는 수렴이 특히 느리다. 같은 모의에서 \(n = 2000\)일 때가 아직 \(0.724\)다. \(t_5\)의 \(4\)차 적률은 유한하지만 \(8\)차 적률이 발산해 \(S^2\)의 흔들림 자체가 잘 안정되지 않기 때문이다. 극한값이 \(0.673\)이라는 것과 그 값에 \(n = 2000\)에서도 닿지 못한다는 것이 둘 다 참이다.

평균의 구간과 결정적으로 다른 점이 여기다. \(\bar X\)는 중심극한정리가 모집단 모양을 지워 주므로 \(n\)을 키우면 \(t\)-구간이 어떤 모집단에서든 \(0.95\)로 간다. \(S^2\)에는 그런 보호가 없다. \(S^2\)의 분포 모양은 \(n\)이 커지면 정규로 가지만 그 폭은 끝까지 첨도에 매여 있다. 그래서 비정규가 의심되면 카이제곱 구간을 버리고 붓스트랩이나 보넷 구간을 써야 한다(연습문제 7).

(a) \(\chi^2_{14, 0.025} = 5.629\), \(\chi^2_{14, 0.975} = 26.119\).

\(\sigma^2\)의 신뢰구간: \((14 \cdot 0.0025/26.119, 14 \cdot 0.0025/5.629) = (0.00134, 0.00622)\).

(b) \(\sigma\)의 신뢰구간 = \((\sqrt{0.00134}, \sqrt{0.00622}) = (0.0366, 0.0789)\) mm.

유의: \(\sigma^2\)의 신뢰구간에 단조변환을 적용하면 \(\sigma\)에 대한 타당한 신뢰구간이 된다 — 포함확률이 같다.

추축량은 미지의 모수에 의존하지 않는 알려진 분포를 갖는다.

\((n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}\) — 이 카이제곱분포는 \(\sigma^2\)이나 \(\mu\)가 아니라 오직 \(n\)에만 의존한다.

따라서 \(P(\chi^2_{n-1, \alpha/2} \le (n-1)S^2/\sigma^2 \le \chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}) = 1 - \alpha\)라고 쓸 수 있다.

\(\sigma^2\)에 대해 뒤집으면 신뢰구간을 얻는다.

다른 추축량: 정규성 아래 평균의 신뢰구간에 쓰는 \((\bar X - \mu)/(s/\sqrt n) \sim t_{n-1}\).

카이제곱분포는 오른쪽으로 치우쳐 있어 평균을 중심으로 분위수가 비대칭이다.

\(\chi^2_{14}\)(연습문제 1)에서 하위 2.5% 분위수는 5.629, 상위 97.5% 분위수는 26.119이다. 평균은 14이다.

평균에서 아래쪽까지의 거리: \(14 - 5.6 \approx 8.4\). 평균에서 위쪽까지의 거리: \(26 - 14 = 12\). 위쪽 꼬리가 더 멀리 뻗는다.

\(\sigma^2\)의 신뢰구간으로 뒤집으면 하한은 \(S^2\)에 더 가깝고(더 큰 분모를 쓴다) 상한은 더 멀다(더 작은 분모를 쓴다).

\(n\)이 크면 카이제곱이 정규에 가까워져 비대칭성이 줄어든다. \(n = 100\)쯤이면 신뢰구간이 거의 대칭이다.

큰 \(n\)에서 델타 방법을 쓰면 \(S/\sigma \approx N(1, 1/(2(n-1)))\)이며, 따라서 \(\mathrm{SE}(\log S) \approx 1/\sqrt{2(n-1)}\)이다.

\(\sigma\)의 95% 신뢰구간의 상대 반너비는 \(\approx 1.96/\sqrt{2(n-1)}\)이다. 이를 0.10으로 놓으면:

\(\sqrt{2(n-1)} = 19.6 \Rightarrow n - 1 \approx 192 \Rightarrow n \approx 193\).

즉 상대 반너비 10%를 위해 대략 \(n = 200\)이 필요하다. 분산추정에는 놀랄 만큼 큰 표본이 필요하다 — 평균추정보다 훨씬 크다.

추축량 \((n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}\)은 바탕 자료의 정규성에 의존한다. 정규가 아닌 자료에서는 \(n\)이 커도 이것이 성립하지 않는다.

구체적으로 \(S^2\)의 표본분포는 모집단의 4차 적률(첨도)에 의존한다. 꼬리가 두꺼운 모집단에서는 \(S^2\)이 카이제곱 공식이 시사하는 것보다 훨씬 크게 변동한다.

결과: 정규가 아닌 자료에서 명목 95% 신뢰구간의 실제 포함확률이 70–80%일 수 있다. 꼬리가 두꺼운 자료가 특히 영향을 받는다.

로버스트한 대안:

• \(\sigma^2\)에 대한 붓스트랩 신뢰구간: 재표본추출이 실제 표본분포를 포착한다.
• 중앙값 절대편차(MAD): 로버스트한 척도추정량. 붓스트랩으로 신뢰구간을 얻는다.
• 절사 표준편차: 극단 관측값에 로버스트하다.

분산에 카이제곱 신뢰구간을 쓰기 전에 항상 정규성을 확인하라(Q-Q 그림). 의심스러우면 붓스트랩을 쓰라.

두 가지로 답할 수 있다.

(a) 단조변환: \(\sqrt{\cdot}\)가 단조이므로 \(\sigma^2\) 신뢰구간의 끝점에 적용하면 (포함확률이 같은) \(\sigma\)의 타당한 신뢰구간이 된다. 그런 의미에서 하나가 다른 하나에서 얻어지므로 사실상 같다.

(b) \(S\)로 직접 구성: 대안으로 \(S\)에 직접 기반해 추론할 수도 있다. 그러나 \(S\)의 정확한 분포는 더 복잡하고(Chi 분포), \(S^2\)은 깔끔한 카이제곱분포를 갖는다. 그래서 표준적인 방법은 \(\sigma^2\)의 신뢰구간을 만들고 제곱근을 취해 \(\sigma\)의 신뢰구간을 얻는 것이다.

대칭성: \(\sigma\)의 신뢰구간은 \(\sigma^2\)의 신뢰구간보다 더 대칭적이다(제곱근이 비대칭성을 줄인다). 그래도 여전히 비대칭이다.

편향: \(S\)는 (Jensen 부등식에 의해) \(\sigma\)의 편향추정량이다. \(S^2\)은 \(\sigma^2\)에 대해 불편이다. \(\sigma\)에 대해서는 \(c_4\) 같은 편향 보정인자가 있지만 흔히 쓰이지는 않는다.

동기. 앞서 보았듯 카이제곱 구간은 정규성 위배에 취약하다. \(S^2\)의 점근분산이

로 초과첨도 \(\gamma_2\)에 의존하는데, 카이제곱 구간은 \(\gamma_2=0\)을 가정하기 때문이다.

보넷의 방법. 첨도를 자료에서 추정해 넣고, 로그 척도에서 구간을 만든 뒤 되돌린다. 첨도 추정에는 이상치의 영향을 줄이려고 절사평균을 중심으로 한 4차 적률을 쓴다.

import numpy as np
from scipy import stats

def bonett(x, alpha=0.05):
    n = len(x)
    z = stats.norm.ppf(1 - alpha / 2)
    trim = 1 / (2 * np.sqrt(max(n - 4, 1)))       # 절사 비율
    m = stats.trim_mean(x, min(trim, 0.49))       # 절사평균
    xb = x.mean()
    g4 = n * np.sum((x - m)**4) / np.sum((x - xb)**2)**2
    se = np.sqrt((g4 - (n - 3) / n) / (n - 1))
    c = n / (n - z)                               # 소표본 보정
    s2 = x.var(ddof=1)
    return c * s2 * np.exp(-z * se), c * s2 * np.exp(z * se)

rng = np.random.default_rng(3)
n, M = 25, 20_000
cases = [("정규", lambda: rng.normal(0, 1, n), 1.0),
         ("지수", lambda: rng.exponential(1.0, n), 1.0),
         ("t(5)", lambda: rng.standard_t(5, n), 5 / 3)]
for name, gen, var in cases:
    hc = hb = 0
    wc = wb = 0.0
    for _ in range(M):
        x = gen()
        s2 = x.var(ddof=1)
        lo = (n - 1) * s2 / stats.chi2.ppf(0.975, n - 1)
        hi = (n - 1) * s2 / stats.chi2.ppf(0.025, n - 1)
        hc += (lo <= var <= hi)
        wc += hi - lo
        lb, hb_ = bonett(x)
        hb += (lb <= var <= hb_)
        wb += hb_ - lb
    print(f"{name}: 카이제곱 {hc / M:.4f}/{wc / M:.3f}   "
          f"보넷 {hb / M:.4f}/{wb / M:.3f}")

정규: 카이제곱 0.9516/1.327   보넷 0.9232/1.266
지수: 카이제곱 0.7208/1.321   보넷 0.8482/2.384
t(5): 카이제곱 0.8286/2.215   보넷 0.8813/3.071

읽기.

비정규에서 크게 개선된다. 지수분포에서 0.721 → 0.848, \(t_5\)에서 0.829 → 0.881.

정규에서 약간 손해다. 0.952 → 0.923. 첨도를 추정하느라 생긴 추가 변동의 대가다. 모형을 덜 가정하는 대가는 항상 있다.

폭을 보라. 지수분포에서 카이제곱 구간의 폭이 1.32로 정규일 때와 같다. 자료가 두꺼운 꼬리를 가졌는데도 구간이 넓어지지 않았다 — 그것이 포함확률이 무너진 이유다. 보넷은 2.38로 넓혀 잡는다. 정직한 구간은 넓어야 한다.

여전히 부족한 이유. \(\hat\gamma_4\)의 추정오차가 크다. 4차 적률을 안정적으로 추정하려면 8차 적률이 존재하고 \(n\)이 커야 하는데, \(n=25\)에서는 무리다.

더 나은 대안.

• 부트스트랩 BCa. 첨도를 명시적으로 추정하지 않고 자료가 말하게 한다.
• 분포를 바꾼다. 자료가 지수분포처럼 보이면 지수분포의 모수를 추정하는 편이 훨씬 효율적이다.
• 분산이 정말 필요한가. 치우친 자료에서 분산은 해석하기 어려운 양이다. 사분위범위나 MAD가 나을 수 있다.

왜 필요한가. CV는 단위가 없는 산포 측도라 척도가 다른 집단을 비교할 수 있다. 측정기기의 정밀도, 실험의 재현성, 자산의 위험도 평가에 쓰인다.

방법 1 — 델타법. \(\hat c=S/\bar X\)에 델타법을 적용하면 정규모집단에서

방법 2 — 로그 척도 델타법. \(\log\hat c\)의 분산이 \(\left(\frac12+c^2\right)/n\)이므로 로그 척도에서 대칭 구간을 만들고 지수를 취한다. 하한이 음수가 되는 일이 없다.

방법 3 — 맥케이 근사. 카이제곱 분포를 이용한 고전적 방법이다.

import numpy as np
from scipy import stats

n, xbar, s = 30, 50.0, 8.0
c = s / xbar
z = stats.norm.ppf(0.975)
nu = n - 1
print(f"CV 추정 {c:.4f}")

se = c * np.sqrt((0.5 + c**2) / n)                        # 델타법
print(f"델타법     ({c - z * se:.4f}, {c + z * se:.4f})   SE {se:.5f}")

se_log = np.sqrt((0.5 + c**2) / n)                        # 로그 척도
print(f"로그 델타  ({c * np.exp(-z * se_log):.4f}, {c * np.exp(z * se_log):.4f})")

def mckay(cv, n, q):
    return cv / np.sqrt(((q + 2) / n - 1) * cv**2 + q / (n - 1))

lo_m = mckay(c, n, stats.chi2.ppf(0.975, nu))
hi_m = mckay(c, n, stats.chi2.ppf(0.025, nu))
print(f"맥케이     ({lo_m:.4f}, {hi_m:.4f})")

# 정규모집단에서 세 방법의 포함확률
rng = np.random.default_rng(9)
M = 20_000
x = rng.normal(50, 8, (M, n))
ch = x.std(1, ddof=1) / x.mean(1)
d = ch * np.sqrt((0.5 + ch**2) / n)
dl = np.sqrt((0.5 + ch**2) / n)
lo_mm = mckay(ch, n, stats.chi2.ppf(0.975, nu))
hi_mm = mckay(ch, n, stats.chi2.ppf(0.025, nu))
print()
print(f"델타법 포함확률   {np.mean((ch - z * d <= 0.16) & (0.16 <= ch + z * d)):.4f}")
print(f"로그 델타 포함확률 "
      f"{np.mean((ch * np.exp(-z * dl) <= 0.16) & (0.16 <= ch * np.exp(z * dl))):.4f}")
print(f"맥케이 포함확률   {np.mean((lo_mm <= 0.16) & (0.16 <= hi_mm)):.4f}")

CV 추정 0.1600
델타법     (0.1185, 0.2015)   SE 0.02118
로그 델타  (0.1234, 0.2074)
맥케이     (0.1268, 0.2171)

델타법 포함확률   0.9303
로그 델타 포함확률 0.9421
맥케이 포함확률   0.9531

맥케이가 가장 낫다. 포함확률 0.953으로 명목에 가장 가깝고, 구간도 오른쪽으로 더 뻗어 CV 표집분포의 비대칭을 반영한다. 델타법은 0.930으로 부족하다.

주의할 점.

1. \(\mu\)가 0 근처면 쓸 수 없다. \(\hat c=S/\bar X\)의 분모가 0에 가까우면 발산한다. CV는 비율척도(참 영점이 있고 값이 양수인) 자료에만 의미가 있다. 섭씨 온도의 CV는 무의미하다 — 화씨로 바꾸면 값이 달라진다.

2. \(c\)가 크면 근사가 나쁘다. \(c>0.33\)(\(\mu<3\sigma\))이면 \(\bar X\)가 음수가 될 확률이 무시할 수 없어, 위 공식들이 모두 무너진다. 부트스트랩을 쓴다.

3. 비정규성. 위 공식은 모두 정규를 가정한다. 로그정규라면 \(c=\sqrt{e^{\sigma_{\log}^2}-1}\)이라는 정확한 관계가 있어 훨씬 나은 구간을 만들 수 있다.

실무 지침. 측정 정밀도를 CV로 보고하는 관행이 임상검사실 표준에 있다. 이때 \(c\)가 작고(\(<0.2\)) \(n\)이 충분하므로 맥케이 근사로 충분하다.

역전의 원리. 카이제곱 검정통계량

이 \([\chi^2_{\nu,\alpha/2},\ \chi^2_{\nu,1-\alpha/2}]\) 안에 있으면 \(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\)을 기각하지 않는다. 기각되지 않는 \(\sigma_0^2\)의 집합이 곧 신뢰구간이다.

부등식을 뒤집을 때 방향이 바뀐다는 점이 비대칭의 근원이다. 상위 분위수가 하한을 만든다.

import numpy as np
from scipy import stats

n, s2 = 15, 0.0025
nu = n - 1
lo = nu * s2 / stats.chi2.ppf(0.975, nu)
hi = nu * s2 / stats.chi2.ppf(0.025, nu)
print(f"95% 구간 ({lo:.6f}, {hi:.6f})")
print(f"σ의 구간 ({np.sqrt(lo):.5f}, {np.sqrt(hi):.5f})")

print()
print("검정으로 확인")
for s0sq in [0.00130, 0.00140, 0.00250, 0.00615, 0.00630]:
    chi = nu * s2 / s0sq
    pv = 2 * min(stats.chi2.cdf(chi, nu), stats.chi2.sf(chi, nu))
    inside = lo <= s0sq <= hi
    print(f"  σ0² = {s0sq:.5f}  χ² = {chi:7.3f}  p = {pv:.4f}  "
          f"구간 {'안' if inside else '밖'}  {'기각 안 함' if pv > 0.05 else '기각'}")

95% 구간 (0.001340, 0.006218)
σ의 구간 (0.03661, 0.07885)

검정으로 확인
  σ0² = 0.00130  χ² =  26.923  p = 0.0394  구간 밖  기각
  σ0² = 0.00140  χ² =  25.000  p = 0.0691  구간 안  기각 안 함
  σ0² = 0.00250  χ² =  14.000  p = 0.8994  구간 안  기각 안 함
  σ0² = 0.00615  χ² =   5.691  p = 0.0526  구간 안  기각 안 함
  σ0² = 0.00630  χ² =   5.556  p = 0.0470  구간 밖  기각

완벽히 일치한다. 구간 안의 값은 모두 \(p>0.05\), 밖의 값은 모두 \(p<0.05\)다. 구간의 경계에서 \(p\)-값이 정확히 0.05를 지난다.

역전이 주는 것.

1. 일관성. 구간과 검정이 같은 결론을 준다. 서로 다른 근사를 쓰면 어긋나는데, 역전으로 만들면 그런 일이 없다.

2. 일반성. 검정만 있으면 구간을 만들 수 있다. 분산에 대한 정확한 추축량이 없는 상황(비정규, 혼합모형의 분산성분)에서도 우도비 검정을 역전할 수 있다.

3. 비대칭의 자동 처리. 위 예에서 하한까지 거리 \(0.0025-0.00134=0.00116\), 상한까지 \(0.00622-0.0025=0.00372\)로 상한 쪽이 3배 멀다. \(S^2\)을 중심으로 대칭인 구간을 만들면 잘못이다.

주의. 이 일치는 동등꼬리 검정을 역전했을 때다. 최단 구간이나 우도비 구간을 만들면 다른 검정에 대응하며, 그것도 각각 타당하다.

보고할 것.

1. \(\sigma\) 척도로. 분산은 단위가 제곱(\(\text{mm}^2\))이라 직관적이지 않다. 표준편차로 바꿔 보고하는 것이 낫다. 구간의 양끝에 제곱근을 취하면 되며, 단조변환이라 신뢰수준이 보존된다.

2. 정규성 확인 결과. 카이제곱 구간을 썼다면 Q-Q 그림이나 첨도 추정값을 함께 제시한다. 정규성이 의심되면 그 구간을 보고하면 안 된다.

3. 표본크기. 분산 구간은 \(n\)에 매우 민감하다.

4. 비대칭 그대로. "\(s^2\pm\)"로 적지 않는다. 양끝을 그대로 적는다.

폭의 감각.

import numpy as np
from scipy import stats

print(f"{'n':>5s} {'하한/s²':>9s} {'상한/s²':>9s} {'상한/하한':>10s}")
for n in [5, 10, 20, 30, 50, 100, 500]:
    nu = n - 1
    lo = nu / stats.chi2.ppf(0.975, nu)
    hi = nu / stats.chi2.ppf(0.025, nu)
    print(f"{n:5d} {lo:9.4f} {hi:9.4f} {hi / lo:10.2f}")

    n     하한/s²     상한/s²      상한/하한
    5    0.3590    8.2573      23.00
   10    0.4731    3.3329       7.04
   20    0.5783    2.1333       3.69
   30    0.6343    1.8072       2.85
   50    0.6978    1.5528       2.23
  100    0.7709    1.3495       1.75
  500    0.8867    1.1367       1.28

\(n=10\)이면 상한이 하한의 7배다. 분산을 정밀하게 추정하려면 평균보다 훨씬 큰 표본이 필요하다. \(n=500\)에서야 비로소 1.3배로 좁아진다.

흔한 오용.

1. 평균 구간과 같은 감각으로 읽기. "분산이 4.2에서 18.5 사이"를 보고 "대략 10쯤"이라고 생각하기 쉽지만, 로그 척도에서 중심은 \(\sqrt{4.2\times18.5}=8.81\)이다. 기하평균이 맞는 중심이다.

2. 비정규 자료에 카이제곱 구간 쓰기. 가장 흔하고 가장 심각한 잘못이다. 앞서 보았듯 포함확률이 72%까지 떨어진다.

3. 두 분산의 비교를 각각의 구간 겹침으로 판단. 평균에서와 같은 오류다. 분산비 \(F\) 구간을 따로 계산해야 한다.

4. 분산을 비교하려는 것이 아닌데 분산 구간을 쓰기. 공정능력지수(\(C_p\))나 측정 불확실성이 목적이라면 그 양에 대한 구간을 직접 만드는 것이 낫다.

5. 표본표준편차의 편향과 혼동하기. \(E[S]<\sigma\)이지만, 구간 자체는 \(S\)의 편향과 무관하게 타당하다. 점추정에 \(c_4\) 보정을 쓰더라도 구간에는 적용하지 않는다.

좋은 보고의 예.

15개 볼베어링의 지름 표준편차는 0.050 mm였다(95% 신뢰구간 0.037~0.079 mm, 카이제곱 방법). 샤피로-윌크 검정에서 정규성 위배의 증거는 없었다(\(p=0.62\)). 구간이 비대칭이며, 상한이 규격 한계 0.06 mm를 넘으므로 공정 개선이 필요할 수 있다.