위험비 해석¶

콕스 모형은 회귀계수 $\boldsymbol{\beta}$를 추정하지만, 이 계수들은 자연스러운 척도에서 곧바로 해석되지 않는다. 표준적인 관행은 각 계수를 지수화하여 위험비(HR)를 얻는 것이다. 위험비는 공변량이 순간 사건율에 미치는 곱셈적 효과를 잰다.

이 절에서는 공변량 유형별로 위험비를 해석하는 방법, 신뢰구간을 구성하는 방법, 흔한 오해를 피하는 방법을 설명한다.

위험비의 정의¶

콕스 모형을 떠올리자.

\[ h(t \mid \mathbf{x}) = h_0(t) \exp(\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{x}) \]

다른 공변량을 모두 고정한 채 공변량 $x_j$가 한 단위 증가할 때의 위험비는

\[ \text{HR}_j = \frac{h(t \mid x_j + 1, \mathbf{x}_{-j})}{h(t \mid x_j, \mathbf{x}_{-j})} = \exp(\beta_j) \]

이다. 기저위험 $h_0(t)$가 소거되고 비가 $t$에 의존하지 않는다(비례위험 성질).

공변량 유형별 해석¶

이항 공변량¶

이항 공변량(예: 처리면 $x = 1$, 대조면 $x = 0$)에 대해,

\[ \text{HR} = \exp(\hat{\beta}) \]

$\text{HR} > 1$: 처리군의 위험이 더 높다(생존이 짧고 사건이 많다).
$\text{HR} < 1$: 처리군의 위험이 더 낮다(생존이 길고 사건이 적다).
$\text{HR} = 1$: 두 집단에 차이가 없다.

생존에 대한 처리 효과

수술 후 생존에 대한 콕스 모형이 신약(1로 부호화) 대 표준 치료(0)에 대해 $\hat{\beta} = -0.35$를 주었다. 위험비는 $\text{HR} = e^{-0.35} = 0.705$다. 다른 공변량을 고정할 때 신약을 받은 환자의 사망 위험이 임의의 시점에서 29.5% 낮다.

연속형 공변량¶

연속형 공변량(예: 나이(년))에 대해 $\exp(\hat{\beta})$는 한 단위 증가에 대한 위험비다. 실무적 해석에는 척도가 너무 미세할 수 있다.

$c$ 단위 증가에 대한 위험비는

\[ \text{HR}_c = \exp(c \cdot \hat{\beta}) \]

이다.

부도에 대한 나이 효과

대출 부도에 대한 콕스 모형이 연 단위로 $\hat{\beta}_{\text{age}} = 0.03$을 주었다. 연 단위 HR은 $e^{0.03} = 1.030$이다(연간 위험 3.0% 증가). 10년 단위 HR은 $e^{10 \times 0.03} = e^{0.3} = 1.350$이다(차입자 나이 10년 증가당 위험 35.0% 증가).

수준이 셋 이상인 범주형 공변량¶

수준이 $G$개인 범주형 변수는 기준범주에 대해 $G - 1$개의 가변수로 부호화된다. 각 위험비는 한 수준을 기준범주와 비교한다.

산업 효과

기업 부도에 대한 콕스 모형이 세 수준의 산업을 포함한다. 제조(기준), 소매 ($\hat{\beta}_1 = 0.45$), 기술($\hat{\beta}_2 = -0.20$).

소매 대 제조: $\text{HR} = e^{0.45} = 1.57$. 소매 기업이 제조 기업의 1.57배 비율로 부도를 낸다.
기술 대 제조: $\text{HR} = e^{-0.20} = 0.82$. 기술 기업이 제조 기업의 0.82배 비율로 부도를 낸다.

위험비의 신뢰구간¶

$\beta_j$의 $100(1 - \alpha)\%$ 신뢰구간은

\[ \hat{\beta}_j \pm z_{\alpha/2} \cdot \text{se}(\hat{\beta}_j) \]

이며 $\text{se}(\hat{\beta}_j) = \sqrt{[\mathcal{I}^{-1}]_{jj}}$는 관측 정보행렬의 역행렬에서 얻는다.

양 끝점을 지수화하면 위험비의 신뢰구간을 얻는다.

\[ \text{CI}_{\text{HR}} = \bigl(\exp(\hat{\beta}_j - z_{\alpha/2} \cdot \text{se}),\; \exp(\hat{\beta}_j + z_{\alpha/2} \cdot \text{se})\bigr) \]

구간이 1을 포함하지 않으면 그 공변량은 유의수준 $\alpha$에서 통계적으로 유의한 효과를 갖는다.

단일 계수의 가설검정¶

$H_0: \beta_j = 0$(동등하게 $\text{HR}_j = 1$)에 대한 왈드 검정은

\[ z = \frac{\hat{\beta}_j}{\text{se}(\hat{\beta}_j)} \;\xrightarrow{d}\; N(0, 1) \]

이다. p-값은 $2[1 - \Phi(|z|)]$이며, $\Phi$는 표준정규 누적분포함수다. 대안으로 가능도비 검정이 그 공변량을 넣은 경우와 뺀 경우의 부분 로그가능도를 비교한다.

19장에서 보았듯 왈드 검정은 효과가 매우 클 때 힘을 잃을 수 있으므로(하우크-도너 현상), 형식적 검정에는 가능도비 검정이 더 안전하다.

흔한 오해¶

위험비는 상대위험도가 아니다

$\text{HR} = 2$는 "사건을 겪을 가능성이 두 배"라는 뜻이 아니다. 모든 시점에서 순간율이 두 배라는 뜻이다. 사건의 누적확률은 위험비만이 아니라 위험 궤적 전체에 달려 있다.

HR가 중앙 생존시간의 단축을 뜻하지 않는다

$\text{HR} = 2$는 중앙 생존시간이 절반이 된다는 뜻이 아니다. 위험비와 중앙 생존시간의 관계는 기저위험의 모양에 달려 있다. 예컨대 기저가 지수분포이면 중앙값이 정확히 절반이 되지만, 형상 $k$인 와이불이면 $2^{-1/k}$배가 된다. $k = 2$이면 $0.707$배로 절반보다 훨씬 덜 줄어든다.

같은 위험비 2가 기저 모양에 따라 중앙 생존시간을 다르게 깎는다

왼쪽 그림에서 대조군 두 곡선은 기저의 모양만 다를 뿐 중앙 생존시간이 40개월로 똑같다. 각각에 $\text{HR} = 2$를 적용한 것이 점선이며, 비례위험 모형에서 이는 $S_1(t) = S_0(t)^2$을 뜻한다. 그런데 새 중앙값이 지수 기저에서는 $20.0$, 와이불 $k = 2$ 기저에서는 $28.3$이다. 같은 "위험이 두 배"인데 잃는 시간이 20개월과 11.7개월로 두 배 가까이 차이 난다.

붉은 세로선이 흔한 오해의 자리다. "위험비가 2면 생존시간이 절반"이라는 계산은 기저가 지수분포일 때만 맞는다. 그 경우에만 $S_0(t) = e^{-\lambda t}$이므로 $S_0(t)^2 = e^{-2\lambda t}$가 되어 시간 척도가 정확히 절반으로 압축되기 때문이다. 다른 기저에서는 이 압축이 균일하지 않다.

오른쪽이 그 관계를 한 줄로 정리한다. 기저가 형상 $k$인 와이불이면 중앙값의 비가 $\text{HR}^{-1/k}$이므로, $\text{HR} = 2$에서 $k = 0.6$이면 $0.315$배, $k = 1$이면 $0.500$배, $k = 2$이면 $0.707$배, $k = 3$이면 $0.794$배다. 위험이 빠르게 커지는 과정일수록 같은 위험비가 시간을 덜 깎는다. 직관적으로, 위험이 가파르게 오르는 과정에서는 곡선이 급하게 떨어지므로 위험을 두 배로 올려도 $0.5$에 닿는 시점이 조금밖에 앞당겨지지 않는다.

그래서 환자나 경영진에게 결과를 전할 때 $\text{HR}$을 "몇 배 빨리"로 옮겨 말하면 안 된다. 시간 척도의 해석이 필요하면 21.3절의 AFT 모형을 적합하거나, 제한 평균 생존시간의 차이를 "평균 몇 개월 손해"로 보고하는 편이 정직하다. 위험비는 순간율의 비이지 시계의 배율이 아니다.

그 밖의 함정:

조건부성. HR는 다른 모든 공변량을 고정한 조건부 값이다. 다른 공변량을 조건으로 하지 않은 주변 위험비는 교란 때문에 상당히 다를 수 있다.
비례위험 위배. 비례위험 가정이 위배되면 추정된 HR는 시간에 걸쳐 평균한 요약값이며, 어느 특정 시점의 공변량 효과도 대표하지 못할 수 있다.

요약표¶

공변량 유형	HR 공식	해석
이항(0/1)	$e^{\hat{\beta}}$	집단 0 대비 집단 1의 위험
연속형(1단위)	$e^{\hat{\beta}}$	한 단위 증가당 위험 변화
연속형($c$단위)	$e^{c\hat{\beta}}$	$c$단위 증가당 위험 변화
범주형($G$수준)	$e^{\hat{\beta}_g}$	수준 $g$ 대 기준수준

연습문제¶

연습문제 1. 콕스 모형의 해석

직원 이직에 대한 콕스 모형이 공변량 세 개를 포함한다. 추정된 계수와 표준오차는 다음과 같다.

공변량	$\hat{\beta}$	$\text{se}(\hat{\beta})$
급여($10k 단위)	$-0.18$	$0.06$
재택근무(1 = 예)	$-0.42$	$0.15$
관리자(1 = 예)	$0.31$	$0.12$

(a) 각 공변량의 위험비를 계산하고 해석하라.

(b) 재택근무 위험비의 95% 신뢰구간을 계산하라.

(c) 5% 수준에서 유의한 공변량은 무엇인가?

풀이

(a)

급여: $\text{HR} = e^{-0.18} = 0.835$. 급여가 $10k 오를 때마다 이직 위험이 16.5% 낮아지는 것과 연관된다.
재택근무: $\text{HR} = e^{-0.42} = 0.657$. 재택근무자의 이직 위험이 출근자보다 34.3% 낮다.
관리자: $\text{HR} = e^{0.31} = 1.363$. 관리자의 이직 위험이 비관리자보다 36.3% 높다.

(b) $\beta$의 신뢰구간은 $-0.42 \pm 1.96 \times 0.15 = (-0.714,\ -0.126)$이고, HR의 신뢰구간은 $(e^{-0.714},\ e^{-0.126}) = (0.490,\ 0.882)$다. 구간이 1을 포함하지 않으므로 재택근무가 이직을 유의하게 줄인다.

(c) 왈드 검정에서 $|z| = |\hat{\beta}|/\text{se}$이므로 급여 $3.00$, 재택근무 $2.80$, 관리자 $2.58$이다. 셋 다 $z_{0.025} = 1.96$을 넘으므로 세 공변량 모두 5% 수준에서 유의하다.

\"연관\"이지 \"인과\"가 아니다

(a)의 급여 해석에서 "연관된다"라고 쓴 것에 주의하라. 이 자료는 관찰자료이므로 급여를 올리면 이직이 줄어든다는 인과적 결론을 뒷받침하지 않는다. 성과가 좋은 직원이 급여도 높고 이직도 적을 수 있으며(교란), 그 경우 급여 인상 자체는 효과가 없을 수 있다. 1장에서 다룬 관찰연구의 한계가 그대로 적용된다.

마찬가지로 관리자의 HR가 높은 것도 "승진시키면 이직한다"는 뜻이 아니다. 이직 의사가 있는 사람이 관리자 직책을 협상 카드로 쓸 수도 있고, 관리자 직무가 외부 시장에서 더 가치 있게 평가될 수도 있다.

정리하며¶

계수는 위험비로 읽는다.

\[ \text{HR}=e^{\beta_j} \]

$\text{HR}>1$ 이면 위험 증가, $<1$ 이면 감소다. 19장의 오즈비와 같은 구조이며, 지수변환해 해석한다.
위험비는 시간에 걸쳐 일정하다고 가정된다. 그것이 "비례위험"의 뜻이며, 이 가정이 깨지면 하나의 HR 로 요약하는 것 자체가 오도한다.
생존시간의 비가 아니다. HR 이 $2$ 라고 생존시간이 절반이 되는 것이 아니며, 순간 위험률의 배수다. AFT 모형이라야 시간 척도의 해석을 준다.
교란이 여기서도 문제다. 조정하지 않은 주변 위험비와 조정한 위험비가 크게 다를 수 있으며, 12장의 논의가 그대로 적용된다.
신뢰구간은 로그 척도에서 만들어 지수변환하며, $1$ 을 포함하는지가 유의성 판정이다.

다음 절 모형 진단으로 넘어간다.

공변량 유형	HR 공식	해석
이항(0/1)	\(e^{\hat{\beta}}\)	집단 0 대비 집단 1의 위험
연속형(1단위)	\(e^{\hat{\beta}}\)	한 단위 증가당 위험 변화
연속형(\(c\)단위)	\(e^{c\hat{\beta}}\)	\(c\)단위 증가당 위험 변화
범주형(\(G\)수준)	\(e^{\hat{\beta}_g}\)	수준 \(g\) 대 기준수준

공변량	\(\hat{\beta}\)	\(\text{se}(\hat{\beta})\)
급여($10k 단위)	\(-0.18\)	\(0.06\)
재택근무(1 = 예)	\(-0.42\)	\(0.15\)
관리자(1 = 예)	\(0.31\)	\(0.12\)