Levene 검정¶

import numpy as np
from scipy import stats

# 2번 집단만 퍼짐이 크다.
group1 = [10, 12, 14, 11, 13]
group2 = [20, 28, 22, 35, 25]
group3 = [15, 16, 14, 17, 15]
groups = [np.array(g, dtype=float) for g in (group1, group2, group3)]


def levene_by_hand(groups, center):
    """W 를 정의대로 조립하고 분자·분모를 따로 돌려준다."""
    Z = [np.abs(g - center(g)) for g in groups]
    n = np.array([len(z) for z in Z])
    zbar = np.array([z.mean() for z in Z])
    N, k = n.sum(), len(Z)
    grand = np.concatenate(Z).mean()
    ss_between = (n * (zbar - grand) ** 2).sum()
    ss_within = sum(((z - z.mean()) ** 2).sum() for z in Z)
    W = (N - k) * ss_between / ((k - 1) * ss_within)
    return W, zbar, grand, ss_between, ss_within


res = {}
for name, center in [("mean", np.mean), ("median", np.median)]:
    W, zbar, grand, sb, sw = levene_by_hand(groups, center)
    res[name] = (W, sb, sw)
    print(f"[{name:>6} 중심]")
    print(f"  Z 의 집단평균 = {np.round(zbar, 4)},  전체평균 = {grand:.6f}")
    print(f"  SS_between = {sb:.6f}   SS_within = {sw:.6f}")
    print(f"  W = 12 * {sb:.6f} / (2 * {sw:.6f}) = {W:.6f}")

# Levene 의 원래 형태는 평균을 중심으로 쓴다. 각 값에서 제 집단의 평균을
# 뺀 절대편차에 분산분석을 돌리는 것이다.
stat, p_value = stats.levene(group1, group2, group3, center='mean')
print(f"\nLevene's W statistic (mean-centered):   {stat:.4f}, p = {p_value:.4f}")

# 중앙값을 중심으로 쓰면 Brown-Forsythe 가 되고, 이것이 scipy 의 기본값이다.
# 이름이 levene 이라 평균 중심이 기본이라고 오해하기 쉽다.
stat_m, p_m = stats.levene(group1, group2, group3, center='median')
print(f"Brown-Forsythe (median-centered):       {stat_m:.4f}, p = {p_m:.4f}")

alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("Levene (mean): reject H0 - variances differ.")
else:
    print("Levene (mean): fail to reject H0.")

# 손 계산과 scipy 가 맞는지, 그리고 비를 분자·분모로 쪼갠다.
Wm, sbm, swm = res["mean"]
Wd, sbd, swd = res["median"]
print(f"\n손 계산과 scipy 의 차: 평균 {abs(Wm - stat):.2e},  중앙값 {abs(Wd - stat_m):.2e}")
print(f"W(평균)/W(중앙값) = {Wm / Wd:.6f}")
print(f"  분자 몫 SS_b(평균)/SS_b(중앙값) = {sbm / sbd:.6f}   (중앙값 쪽이 {100 * (1 - sbd / sbm):.1f}% 작다)")
print(f"  분모 몫 SS_w(중앙값)/SS_w(평균) = {swd / swm:.6f}   (중앙값 쪽이 {100 * (swd / swm - 1):.1f}% 크다)")
print(f"  두 몫의 곱 = {(sbm / sbd) * (swd / swm):.6f}")
crit = stats.f(2, 12).ppf(0.95)
print(f"\nF(0.95; 2, 12) = {crit:.4f}  ->  평균 {Wm:.4f} 는 넘고, 중앙값 {Wd:.4f} 는 못 넘는다")

# 집단 2 와 3 의 편차를 중심별로 나란히 본다.
print()
for i in (1, 2):
    g = groups[i]
    zm, zd = np.abs(g - g.mean()), np.abs(g - np.median(g))
    print(f"집단 {i + 1}: 평균 {g.mean():.2f} / 중앙값 {np.median(g):.2f}")
    print(f"   |x - 평균|   = {np.sort(zm)}  평균 {zm.mean():.3f}  SS {((zm - zm.mean()) ** 2).sum():.3f}")
    print(f"   |x - 중앙값| = {np.sort(zd)}  평균 {zd.mean():.3f}  SS {((zd - zd.mean()) ** 2).sum():.3f}")

[  mean 중심]
  Z 의 집단평균 = [1.2  4.4  0.88],  전체평균 = 2.160000
  SS_between = 37.888000   SS_within = 45.328000
  W = 12 * 37.888000 / (2 * 45.328000) = 5.015178
[median 중심]
  Z 의 집단평균 = [1.2 4.2 0.8],  전체평균 = 2.066667
  SS_between = 34.533333   SS_within = 60.400000
  W = 12 * 34.533333 / (2 * 60.400000) = 3.430464

Levene's W statistic (mean-centered):   5.0152, p = 0.0261
Brown-Forsythe (median-centered):       3.4305, p = 0.0663
Levene (mean): reject H0 - variances differ.

손 계산과 scipy 의 차: 평균 0.00e+00,  중앙값 0.00e+00
W(평균)/W(중앙값) = 1.461954
  분자 몫 SS_b(평균)/SS_b(중앙값) = 1.097143   (중앙값 쪽이 8.9% 작다)
  분모 몫 SS_w(중앙값)/SS_w(평균) = 1.332510   (중앙값 쪽이 33.3% 크다)
  두 몫의 곱 = 1.461954

F(0.95; 2, 12) = 3.8853  ->  평균 5.0152 는 넘고, 중앙값 3.4305 는 못 넘는다

집단 2: 평균 26.00 / 중앙값 25.00
   |x - 평균|   = [1. 2. 4. 6. 9.]  평균 4.400  SS 41.200
   |x - 중앙값| = [ 0.  3.  3.  5. 10.]  평균 4.200  SS 54.800
집단 3: 평균 15.40 / 중앙값 15.00
   |x - 평균|   = [0.4 0.4 0.6 1.4 1.6]  평균 0.880  SS 1.328
   |x - 중앙값| = [0. 0. 1. 1. 2.]  평균 0.800  SS 2.800

import numpy as np
from scipy.stats import levene, bartlett

group1 = [78, 82, 85, 90, 87]
group2 = [65, 70, 72, 68, 74]
group3 = [92, 88, 94, 89, 91]

print("variances:", [round(np.var(g, ddof=1), 2)
                     for g in (group1, group2, group3)])

s_med, p_med = levene(group1, group2, group3)                  # median
s_mean, p_mean = levene(group1, group2, group3, center='mean')
s_b, p_b = bartlett(group1, group2, group3)

print(f"Brown-Forsythe (default): W = {s_med:.4f}, p = {p_med:.4f}")
print(f"Levene (mean-centered):   W = {s_mean:.4f}, p = {p_mean:.4f}")
print(f"Bartlett:                 T = {s_b:.4f}, p = {p_b:.4f}")

variances: [21.3, 12.2, 5.7]
Brown-Forsythe (default): W = 0.7500, p = 0.4933
Levene (mean-centered):   W = 0.9837, p = 0.4022
Bartlett:                 T = 1.4745, p = 0.4784

import numpy as np
from scipy import stats

g2 = np.array([20, 28, 22, 35, 25])
print(f"mean = {g2.mean()}, median = {np.median(g2)}")
print(f"|x - mean| = {np.abs(g2 - g2.mean())}")
print(f"|x - median| = {np.abs(g2 - np.median(g2))}")

mean = 26.0, median = 25.0
|x - mean| = [6. 2. 4. 9. 1.]
|x - median| = [ 5.  3.  3. 10.  0.]