금융 수익률의 정규성¶

import numpy as np
from scipy import stats

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# 모의 수익률로 정규성 검정 — 그리고 그것이 위험 측정에 미치는 영향
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np.random.seed(42)

# 자유도 5 인 t 로 일별 수익률을 만든다. 실제 수익률처럼 꼬리가 두껍다.
n_days = 1000
df = 5
daily_returns = stats.t.rvs(df=df, size=n_days) * 0.01

# 먼저 요약통계로 훑는다. 정규라면 왜도 0, 초과첨도 0 이어야 한다.
skew = stats.skew(daily_returns)
kurt = stats.kurtosis(daily_returns)  # excess kurtosis

# 세 검정을 함께 돌린다. 셋의 결론이 갈리는 일은 드물지만, 무엇에
# 민감한지가 서로 달라 함께 보면 이탈의 성격을 짐작할 수 있다.
sw_stat, sw_p = stats.shapiro(daily_returns)
jb_stat, jb_p = stats.jarque_bera(daily_returns)
ad_result = stats.anderson(daily_returns, dist="norm")

# 정규성이 깨졌을 때 실무에서 치르는 대가를 숫자로 본다. 정규를 가정한
# VaR 은 꼬리 쪽 손실을 실제보다 작게 잡는다. 아래 비가 1 보다 크면
# 정규 가정이 위험을 그만큼 과소평가하고 있다는 뜻이다.
alpha = 0.01
var_normal = -(np.mean(daily_returns)
               + stats.norm.ppf(alpha) * np.std(daily_returns, ddof=1))
var_empirical = -np.quantile(daily_returns, alpha)

if __name__ == "__main__":
    print(f"Simulated daily returns (t-distribution, df={df})")
    print(f"  Skewness:        {skew:.4f}")
    print(f"  Excess kurtosis: {kurt:.4f}")
    print(f"\nNormality tests:")
    print(f"  Shapiro-Wilk:  W = {sw_stat:.4f}, p = {sw_p:.4f}")
    print(f"  Jarque-Bera:   JB = {jb_stat:.4f}, p = {jb_p:.4f}")
    print(f"  Anderson-Darling: A2 = {ad_result.statistic:.4f}")
    print(f"\n1% VaR comparison:")
    print(f"  Normal VaR:    {var_normal:.6f}")
    print(f"  Empirical VaR: {var_empirical:.6f}")
    print(f"  Ratio:         {var_empirical / var_normal:.2f}")

Simulated daily returns (t-distribution, df=5)
  Skewness:        1.4292
  Excess kurtosis: 17.3412

Normality tests:
  Shapiro-Wilk:  W = 0.9177, p = 0.0000
  Jarque-Bera:   JB = 12870.3735, p = 0.0000
  Anderson-Darling: A2 = 6.4988

1% VaR comparison:
  Normal VaR:    0.030028
  Empirical VaR: 0.030613
  Ratio:         1.02

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)
r = stats.t.rvs(df=5, size=1000) * 0.01
n, nu = 1000, 5
g1, g2 = stats.skew(r), stats.kurtosis(r)   # 둘 다 bias=True 기본값

print("(1) 모집단 대 표본")
print(f"  왜도      모집단 0        표본 g1 = {g1:+.4f}")
print(f"  초과첨도  모집단 {6/(nu-4):.1f}      표본 g2 = {g2:+.4f}")

print("\n(2) 자르크-베라")
print(f"  (n/6)(g1^2 + g2^2/4) = {(n/6)*(g1**2 + g2**2/4):.4f}")
print(f"  scipy.stats.jarque_bera = {stats.jarque_bera(r)[0]:.4f}")

print("\n(3) VaR 1% 분해")
sig, z = 0.01*np.sqrt(nu/(nu-2)), stats.norm.ppf(0.01)
s, m = r.std(ddof=1), r.mean()
print(f"  참 sigma = {sig:.6f},  표본 s = {s:.6f},  s/sigma = {s/sig:.4f}")
print(f"  정규 VaR (참 모수)  = {-(0 + z*sig):.6f}")
print(f"  정규 VaR (표본 모수) = {-(m + z*s):.6f}")
print(f"  참 t5 VaR           = {-0.01*stats.t.ppf(0.01, nu):.6f}")
print(f"  경험 VaR            = {-np.quantile(r, 0.01):.6f}")
print(f"  참 비 = {(-0.01*stats.t.ppf(0.01,nu))/(-(z*sig)):.4f}"
      f"   표본 비 = {(-np.quantile(r,0.01))/(-(m+z*s)):.4f}")
f0 = stats.t.pdf(stats.t.ppf(0.01, nu), nu) / 0.01
se = np.sqrt(0.01*0.99/n) / f0
print(f"  1% 경험분위수 점근 SE = {se:.6f}"
      f"  (부족분 {(-0.01*stats.t.ppf(0.01,nu)) - (-np.quantile(r,0.01)):.6f}"
      f" = {((-0.01*stats.t.ppf(0.01,nu)) - (-np.quantile(r,0.01)))/se:.2f} SE)")

print("\n(1) 보충 — g1, g2 의 표본분포 (t5, n=1000, 2000 회)")
rng = np.random.default_rng(1)
G1, G2 = [], []
for _ in range(2000):
    x = stats.t.rvs(df=nu, size=n, random_state=rng)
    G1.append(stats.skew(x)); G2.append(stats.kurtosis(x))
G1, G2 = np.array(G1), np.array(G2)
print(f"  g1: 중앙값 {np.median(G1):+.3f}  2.5~97.5% [{np.percentile(G1,2.5):+.2f},"
      f" {np.percentile(G1,97.5):+.2f}]  최대절대 {np.abs(G1).max():.2f}")
print(f"  g2: 중앙값 {np.median(G2):.2f}   2.5~97.5% [{np.percentile(G2,2.5):.2f},"
      f" {np.percentile(G2,97.5):.2f}]   최대 {G2.max():.1f}")
print(f"  관측 g1 의 백분위 {100*(G1<g1).mean():.1f}%,  g2 의 백분위 {100*(G2<g2).mean():.1f}%")

(1) 모집단 대 표본
  왜도      모집단 0        표본 g1 = +1.4292
  초과첨도  모집단 6.0      표본 g2 = +17.3412

(2) 자르크-베라
  (n/6)(g1^2 + g2^2/4) = 12870.3735
  scipy.stats.jarque_bera = 12870.3735

(3) VaR 1% 분해
  참 sigma = 0.012910,  표본 s = 0.012907,  s/sigma = 0.9998
  정규 VaR (참 모수)  = 0.030033
  정규 VaR (표본 모수) = 0.030028
  참 t5 VaR           = 0.033649
  경험 VaR            = 0.030613
  참 비 = 1.1204   표본 비 = 1.0195
  1% 경험분위수 점근 SE = 0.002884  (부족분 0.003036 = 1.05 SE)

(1) 보충 — g1, g2 의 표본분포 (t5, n=1000, 2000 회)
  g1: 중앙값 -0.006  2.5~97.5% [-0.89, +0.95]  최대절대 16.65
  g2: 중앙값 2.95   2.5~97.5% [1.18, 14.65]   최대 422.1
  관측 g1 의 백분위 99.0%,  g2 의 백분위 98.2%