9장: 가설검정¶

개요¶

가설검정은 표본자료에 근거하여 모수에 관한 결정을 내리는 형식적인 틀을 제공한다. 이 장은 가설검정의 전 과정을 다룬다: 귀무가설과 대립가설의 설정, 검정통계량과 p-값의 계산, 평균·비율·분산에 대한 일표본·이표본·대응표본 검정의 수행, 오류와 검정력의 분석, 그리고 많은 가설을 동시에 검정할 때의 다중검정 보정.

장의 구성¶

9.1 기초¶

모든 가설검정의 바탕이 되는 개념적·수학적 틀:

귀무가설과 대립가설 -- 법정 비유로 가설검정의 틀을 소개하고, 단순가설과 복합가설을 정의하며, 단측 대립가설과 양측 대립가설을 구분한다.
검정통계량과 p-값 -- 검정통계량(z, t, 카이제곱, F)을 정의하고, p-값이 귀무가설에 반하는 증거의 강도를 어떻게 정량화하는지 설명하며, 계산과 해석을 다룬다.
유의수준과 판정 규칙 -- 유의수준 alpha를 제1종 오류의 문턱으로 기술하고, 기각 결정을 내리는 p-값 접근과 임계값 접근을 비교한다.

9.2 일표본 검정¶

단일 모수를 가설의 값과 견주는 검정:

평균에 대한 Z-검정 (sigma를 아는 경우) -- 모표준편차를 알 때 표준정규분포로 모평균이 특정 값과 같은지 검정한다.
평균에 대한 t-검정 (sigma를 모르는 경우) -- sigma를 모를 때 자유도 n-1인 t-분포로 모평균을 검정하며 비정규성에 대한 로버스트성을 논한다.
비율에 대한 Z-검정 -- 정규근사로 모비율이 가설의 값과 같은지 검정하며, 최소 기대도수 조건을 다룬다.
분산에 대한 카이제곱 검정 -- 카이제곱분포로 모분산이 가설의 값과 같은지 검정하며, 비정규성에 민감하다는 경고를 덧붙인다.
일표본 검정 개관 -- 모든 일표본 검정 절차를 자세한 유도와 풀이 보기와 함께 한데 모은 종합 참고 페이지.

9.3 이표본 검정¶

독립인 두 모집단의 모수를 비교하는 검정:

평균 차이에 대한 이표본 Z-검정 -- 두 모분산을 모두 알 때 두 모평균이 다른지 검정한다.
이표본 t-검정 (합동과 Welch) -- 합동 t-검정(등분산 가정) 또는 Welch t-검정(분산이 다른 경우)으로 독립인 두 표본의 평균을 비교하며, 합동 표준편차와 Welch-Satterthwaite 자유도의 공식을 제시한다.
비율 차이에 대한 이표본 Z-검정 -- 귀무가설 아래의 합동 비율을 써서 두 모비율이 다른지 검정한다.
두 분산비에 대한 F-검정 -- F-분포로 두 모분산의 동일성을 검정하며, 비정규성에 매우 민감하다는 주의를 덧붙인다.
이표본 검정 개관 -- 모든 이표본 검정 절차를 자세한 유도, 판정 규칙, 풀이 보기와 함께 한데 모은 종합 참고 페이지.

9.4 대응표본 검정¶

관측값이 자연스럽게 짝을 이루는 자료의 검정:

평균 차이(mu_D)에 대한 대응 t-검정 -- 대응된 차이에 일표본 t-검정을 적용하여 평균 차이가 0인지 검정하며, 검정통계량과 자유도의 공식을 제시한다.
대응 검정과 이표본 검정 중 무엇을 쓸 것인가 -- 연구 설계, 자연스러운 짝짓기의 존재, 피험자 내 변동성 감소라는 목표에 따라 대응 설계와 독립 설계 중 무엇을 고를지 지침을 준다.

9.5 오류와 검정력¶

잘못된 결정의 결과와 충분한 민감도를 갖춘 연구를 설계하는 법:

제1종 오류와 제2종 오류 -- 거짓 양성(참인 귀무가설을 기각)과 거짓 음성(거짓인 귀무가설을 기각하지 못함)을 정의하고, 판정 요약표와 실무 예시를 제시한다.
검정력 분석 -- 통계적 검정력을 1 빼기 beta로 정의하고, 검정력을 결정하는 네 요인(alpha, 표본크기, 효과크기, 모집단 변동성)을 짚으며, 사전 검정력 계산을 설명한다.
신뢰구간과 검정의 쌍대성 -- 수준 alpha의 양측 가설검정과 (1 빼기 alpha) 신뢰구간의 동등성을 확립하고, 서로에게서 유도할 수 있음을 보인다.

9.6 다중검정¶

여러 가설을 한꺼번에 검정할 때 부풀려지는 거짓 양성을 보정하는 방법:

가족단위 오류율 (FWER) -- FWER을 \(m\)개의 검정 중 적어도 하나를 잘못 기각할 확률로 정의하고, 검정 수가 늘면 얼마나 빨리 커지는지 보인다.
Bonferroni와 Holm 보정 -- Bonferroni 보정(alpha/m에서 기각)과 균일하게 더 강력한 Holm의 단계적 하강 절차를 제시한다.
거짓발견율 (Benjamini-Hochberg) -- FDR을 거짓 발견의 기대 비율로 소개하고 이를 통제하는 Benjamini-Hochberg 절차를 기술한다.

9.7 코드¶

완전한 Python 구현:

hypothesis_tests.py -- 여러 상황에서의 가설검정을 두루 시연한다.
power_analysis.py -- 검정력 분석과 표본크기 결정 도구.
multiple_testing.py -- Bonferroni, Holm, Benjamini-Hochberg 보정의 구현.
test_mean.py -- 일표본 평균 검정(z-검정과 t-검정).
test_proportion.py -- 일표본 비율 z-검정.
test_variance.py -- 일표본 카이제곱 분산 검정.
test_var_ratio.py -- 두 분산 비교를 위한 F-검정.
test_paired.py -- 대응표본 t-검정.
test_two_means.py -- 이표본 t-검정(합동과 Welch).
test_two_props.py -- 이표본 비율 z-검정.

9.8 연습문제¶

가설 설정, 제1종·제2종 오류의 식별, 검정통계량의 계산, p-값의 해석, 검정력 분석, 다중검정 상황을 다루는 연습문제들.

선수 지식¶

이 장은 다음 내용을 바탕으로 한다:

5장 (표본분포) -- 검정통계량의 기준분포로 쓰이는 normal, t, 카이제곱, F 분포.
7장 (mu와 sigma squared의 추정) -- 추정량으로서 표본평균과 표본분산의 성질.
8장 (신뢰구간) -- 신뢰구간의 구성. 신뢰구간과 검정은 쌍대성으로 이어져 있다.

핵심 요약¶

가설검정은 귀무가설을 기본 가정으로 삼아, 표본자료가 모수에 관한 주장을 기각할 만큼 충분한 증거를 주는지 판단하는 체계적인 절차이다.
p-값은 귀무가설이 참이라는 가정 아래 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 자료를 볼 확률을 잰다. 귀무가설이 참일 확률이 아니다.
일표본, 이표본, 대응표본 검정은 논리 구조가 같고 다만 쓰는 검정통계량과 기준분포가 다르다.
제1종 오류와 제2종 오류는 검정이 틀릴 수 있는 두 가지 방식이다. 표본크기나 효과크기를 키우면 제1종 오류율을 부풀리지 않으면서 검정력이 커진다(제2종 오류가 줄어든다).
여러 가설을 동시에 검정할 때는 Bonferroni, Holm, Benjamini-Hochberg 같은 보정이 전체 오류율을 통제하고 거짓 발견을 피하는 데 필수적이다.