카플란-마이어 추정량¶

관측 자료로부터 생존함수 \(S(t)\)를 추정하는 일은 모든 생존분석의 첫 과제다. 사건시간에 대해 어떤 분포 가정도 하지 않을 때 쓰는 표준 도구가 카플란-마이어 추정량이며 곱-극한 추정량이라고도 한다. Kaplan과 Meier(1958)가 도입했으며, 우측절단된 관측치를 올바르게 처리하는 \(S(t)\)의 비모수 추정치를 만든다.

이 절에서는 추정량을 유도하고 그 성질을 논의하며 수치 보기를 따라간다.

설정과 표기¶

대상 \(n\)명을 관측하여 서로 다른 사건시간을 크기순으로 나열했다고 하자.

각 사건시간 \(t_{(j)}\)에서 다음을 정의한다.

• \(d_j\) = 시점 \(t_{(j)}\)에서의 사건 수(사망, 부도 등).
• \(n_j\) = 시점 \(t_{(j)}\) 직전에 위험에 있는 대상 수. 즉 \(t_{(j)}\) 이전에 사건을 겪지도 절단되지도 않은 대상의 수다.

정확히 \(t_{(j)}\)에 절단된 대상은 관례상 위험집합 \(n_j\)에 포함시킨다(사건시간 직전까지는 여전히 위험에 있었기 때문이다).

유도¶

핵심 착상은 생존확률을 조건부확률의 곱으로 분해하는 것이다. \(t_{(j)}\) 직전까지 생존했다는 조건에서 \(t_{(j)}\)를 넘겨 생존할 확률은 다음으로 추정된다.

임의의 시점 \(t\)에서의 생존함수는 \(t\)까지의 모든 사건시간에 걸친 이 조건부 생존확률들의 곱이다.

이것이 카플란-마이어 추정량이다. 관측된 사건시간에서만 감소하는 계단함수를 만든다.

성질¶

1. 비모수적. 어떤 분포 가정도 필요 없다.
2. 최대가능도. 카플란-마이어 추정량은 \(S(t)\)의 비모수 최대가능도 추정량이다.
3. 일치성. 독립 절단 아래에서 \(n \to \infty\)일 때 \(\hat{S}(t) \xrightarrow{P} S(t)\)이다.
4. 계단함수. \(\hat{S}(t)\)는 사건시간 사이에서 상수이고 각 사건시간에서 떨어진다.
5. 우연속. 관례상 \(\hat{S}(t)\)는 좌극한을 갖는 우연속 함수(cadlag)다.

동점 처리¶

같은 시점에 여러 사건과 절단이 함께 일어나면 다음 관례를 따른다.

1. 시점 \(t_{(j)}\)의 사건을 먼저 처리한다(\(d_j\)에 기여한다).
2. 시점 \(t_{(j)}\)의 절단은 그다음에 처리한다(이후 시점의 위험집합을 줄이지만 \(n_j\)에는 포함된다).

이 관례에 따라 시점 \(t_{(j)}\)에 절단된 대상은 그 시점에 위험에 있는 것으로 센다.

위쪽이 대상 여덟 명의 추적 기간이고 아래쪽이 그로부터 나온 계단이다. 두 그림의 시간축이 같으므로 눈으로 짝을 지어 볼 수 있다. 주황 점이 있는 자리에서만 계단이 내려간다. 파란 삼각형으로 표시한 \(t = 2, 4, 7\)은 절단 시점인데, 곡선이 꿈쩍도 하지 않는다. 절단은 "이 사람이 죽었다"는 정보가 아니라 "여기까지는 살아 있었다"는 정보이므로 하강의 근거가 되지 못한다.

그런데 절단이 아무 일도 하지 않는 것은 아니다. 다음 사건에서 곡선이 얼마나 떨어질지를 바꾼다. 하강 폭을 보면 \(t = 1\)에서 \(0.125\), \(t = 3\)에서 \(0.146\), \(t = 5\)에서 \(0.365\)다. 세 번 모두 사건이 한두 건인데 하강이 세 배 가까이 커졌다. 이유는 각 계단 위에 적어 둔 \(n_j\)에 있다. 위험집합이 \(8 \to 6 \to 4\)로 줄었기 때문이다. \(t = 2\)와 \(t = 4\)의 절단 두 건이 곡선을 건드리지 않은 채 분모만 갉아먹은 결과다.

이것이 앞의 상자에서 "절단된 관측치를 사건으로 취급하지 않으면서도 부분적 정보를 반영한다"고 한 말의 정확한 기제다. 한 사람이 \(t = 2\)에 사라지면 그 사람은 \(t = 3\)의 하강에 표를 던지지 못한다. 남은 여섯 명이 그 판단을 대신하므로, 한 명이 죽었다는 사실이 \(1/8\)이 아니라 \(1/6\)의 무게를 갖는다. 곡선을 직접 내리지 못하는 대신 남은 사람들의 발언권을 키우는 것, 이것이 카플란-마이어가 절단을 다루는 방식이다.

마지막 계단도 눈여겨보라. \(t = 9\)에는 한 명만 남았고(\(n_j = 1\)) 그 한 명이 사건을 겪으므로 \(1 - 1/1 = 0\)이 되어 곡선이 \(0.365\)에서 곧장 0으로 떨어진다. 사람 한 명의 운명이 생존율을 36.5%p나 움직인 것이다. 뒤에서 다룰 "꼬리에서 분산이 크다"는 말이 이 한 계단에 들어 있다.

중앙 생존시간¶

중앙 생존시간은 카플란-마이어 곡선이 처음으로 0.5에 도달하거나 그 아래로 내려가는 시점 \(\hat{t}_{0.5}\)이다.

위 보기에서 \(\hat{S}(5) = 0.365 < 0.5\)이고 \(\hat{S}(3) = 0.729 > 0.5\)이므로 \(\hat{t}_{0.5} = 5\)개월이다.

한계¶

• 카플란-마이어 추정량은 우측절단 자료만 다룬다. 구간절단과 좌측 절단에는 다른 방법이 필요하다.
• 일변량 방법이다. 공변량을 보정하지 않고 \(S(t)\)를 추정한다. 공변량 보정 생존곡선에는 콕스 모형(21.4절)이나 층화 카플란-마이어 추정이 필요하다.
• 위험에 있는 대상이 몇 명 남지 않은 후반부에서는 추정치의 분산이 크다. 신뢰구간(21.2절)이 이 불확실성을 정량화한다.

연습문제¶

정리하며¶

카플란–마이어는 분포 가정 없이 생존함수를 추정한다.

• 곱-극한 추정량이다. 각 사건시점에서 "그 시점을 넘길 조건부 확률"을 곱해 나가며, 3장의 곱셈 규칙이 그대로 쓰인다.
• 절단을 자연스럽게 다룬다. 절단된 관측은 그 시점까지 위험집합 \(n_i\) 에 기여하고 이후 빠진다. 정보를 버리지도 왜곡하지도 않는다.
• 계단함수다. 사건이 일어난 시점에서만 내려가며, 절단 시점에서는 내려가지 않는다.
• 마지막 관측이 절단이면 곡선이 \(0\) 에 닿지 않는다. 그 이후는 추정되지 않으며, 중앙생존시간이 정의되지 않을 수도 있다.
• 비모수라 유연하지만 공변량을 다루지 못한다. 집단별로 나눠 그릴 수는 있어도 연속 공변량은 콕스 모형이 필요하다.

다음 절 로그순위 검정으로 넘어간다.