중도절단의 유형¶

앞 절에서는 생존자료의 결정적 난제로 중도절단을 소개했다. 일부 대상의 참 사건시간이 부분적으로만 관측된다는 것이다. 그러나 모든 절단이 같지는 않다. 사건시간을 가리는 기제에 따라 남는 정보와 적절한 통계적 방법이 달라진다.

이 절에서는 주요 절단 유형 세 가지 --- 우측, 좌측, 구간 --- 를 분류하고, 타당한 추론의 바탕이 되는 독립 절단 가정을 논의한다.

우측절단¶

우측절단은 실무에서 가장 흔한 유형이다. 사건이 관측된 시점 이후에 일어난다는 것은 알지만 정확한 사건시간을 모를 때 그 대상은 우측절단되었다고 한다.

형식적으로 \(T\)를 참 사건시간, \(C\)를 절단시간이라 하면 대상 \(i\)에 대해 관측되는 자료는

이다. \(\delta_i = 0\)이면 그 대상은 절단되었고, 우리가 아는 것은 \(T_i > t_i\)뿐이다.

우측절단은 여러 방식으로 생긴다.

• 제1종 절단. 연구의 종료일이 정해져 있다. 그날까지 사건을 겪지 않은 모든 대상이 같은 달력 시점에 절단된다(연구에 들어온 시점이 다르면 관측된 지속시간은 서로 다를 수 있다).
• 제2종 절단. 미리 정한 사건 수 \(r\)개가 관측될 때까지 연구를 계속하고 그때 멈춘다. 남은 \(n - r\)명이 절단된다.
• 무작위 절단. 각 대상이 독립적인 절단시간 \(C_i\)를 갖는다(예: 추적 실패). 가장 일반적이고 가장 흔한 상황이다.

좌측절단¶

사건이 관측 시점 이전에 일어났다는 것은 알지만 정확한 사건시간을 모를 때 그 대상은 좌측절단되었다고 한다. 관측되는 정보는 \(T_i < t_i\)이다.

좌측절단은 우측절단보다 드물지만 특정 상황에서 나타난다.

• 지연된 발견. 시점 \(t\)의 검사에서 질병이 이미 존재함이 드러난다. 발병은 \(t\) 이전에 일어났지만 정확한 시점은 모른다.
• 검출 한계. 환경 측정값이 기기의 검출 문턱 아래로 내려가, 참 농도가 0과 문턱 사이 어딘가에 있음을 알려 준다.

구간절단¶

사건이 시간 구간 \((L_i, R_i]\) 안에서 일어났다는 것은 알지만 그 구간 안의 정확한 시점을 모를 때 그 대상은 구간절단되었다고 한다.

구간절단은 대상을 연속적으로 감시하는 대신 주기적으로 검사할 때 자연스럽게 발생한다.

우측절단과 좌측절단은 구간절단의 특수한 경우임에 유의하라.

• 우측절단: \(L_i = t_i\)이고 \(R_i = \infty\).
• 좌측절단: \(L_i = 0\)이고 \(R_i = t_i\).

절단(truncation)과 중도절단(censoring)¶

절단(truncation)은 중도절단과 혼동되기 쉽지만 다른 현상을 가리킨다. 어떤 조건이 충족되지 않으면 그 대상의 존재 자체를 분석자가 전혀 알 수 없을 때 그 대상은 절단되었다고 한다.

• 좌측절단(지연 진입). 대상이 시점 \(a_i\)에 연구에 들어오며 \(T_i > a_i\)일 때만 관측된다. 연구에 들어오기 전에 사건을 겪은 대상은 아예 기록되지 않는다.
• 우측절단. 이미 사건을 겪은 대상만 포함된다(예: 확진 사례 등록부).

핵심적인 구별은, 중도절단은 사건시간에 대한 부분적인 정보를 제공하지만 절단은 제외된 대상에 대해 아무 정보도 제공하지 않는다는 점이다.

왼쪽 그림에서 색칠된 구간이 각 절단 유형이 우리에게 남겨 주는 참 \(T\)의 가능 구간이다. 세 유형의 차이는 이 구간이 시간축의 어디에 놓이는가뿐이다. 우측은 \((6, \infty)\)처럼 오른쪽으로 열려 있고, 좌측은 \((0, 6)\)처럼 왼쪽으로 열려 있으며, 구간절단은 \((4, 8]\)처럼 양쪽이 다 닫혀 있다. 셋 다 관측치가 하나 있고 구간이 하나 붙어 있다. 이것이 앞에서 "우측과 좌측은 구간절단의 특수한 경우"라고 한 말의 그림이며, 연습문제 3에서 보듯 가능도 기여 \(S(L)-S(R)\) 하나로 세 경우가 모두 나온다.

맨 아래 줄만 성격이 다르다. 좌측 절단(truncation)에서는 점선 상자로 표시한 \(T \le 4\) 구간이 가능 구간이 아니라 빈자리다. 그 구간에서 사건을 겪은 대상은 구간을 남기기는커녕 관측치 자체를 남기지 않는다. 중도절단은 "이 사람에 대해 덜 안다"는 문제이고 절단은 "이 사람이 있었는지조차 모른다"는 문제다. 자료 파일의 행 수가 줄어드는 쪽은 뒤쪽뿐이다.

오른쪽 그림이 그 차이가 얼마나 비싼지 보여 준다. 평균 20인 지수분포 수명에서 \(T > 10\)인 대상만 명부에 오르게 하면 전체의 \(39.2\%\)가 사라진다. 남은 표본의 평균은 \(30.0\)으로, 참 평균 \(20.1\)보다 \(50\%\) 높다. 지수분포의 무기억성 때문에 \(T \mid T > 10\)이 \(10 + \text{Exp}(20)\)이 되어 정확히 문턱만큼 밀려 올라간 것이다. 사라진 39.2%는 절단된 관측치처럼 "적어도 얼마"라는 정보를 기여하지도 못하므로, 위험집합을 고쳐 잡기 전에는 어떤 추정량도 이 편향을 되돌릴 수 없다. 연금 수급자 사망률 표를 일반 인구에 그대로 쓰면 안 되는 이유가 이 그림 한 장에 들어 있다.

독립 절단 가정¶

생존분석에서 타당한 추론을 하려면 절단이 무정보여야 한다. 즉 절단 기제가 관측되지 않은 사건시간에 의존해서는 안 된다. 형식적으로,

이며 \(\mathbf{x}\)는 관측된 공변량 벡터다. 이는 공변량을 조건으로 할 때 임의의 시점 \(t\)에서 절단된 대상이 그 시점에 아직 위험에 있는 모든 대상을 대표한다는 뜻이다.

연습문제¶

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(3)
n = 200_000
T = rng.exponential(20.0, n)     # true lifetimes, mean 20
a = 10.0                          # entry threshold: observed only if T > 10

observed = T[T > a]
print(f"true mean lifetime      : {T.mean():.3f}")
print(f"naive mean of observed  : {observed.mean():.3f}")
print(f"fraction excluded       : {(T <= a).mean():.3f}")

true mean lifetime      : 20.053
naive mean of observed  : 30.019
fraction excluded       : 0.392

정리하며¶

실무에서는 우측 중도절단이 압도적으로 많으며, 이 장의 나머지에서 기본 가정으로 삼는다. 카플란-마이어 추정량(21.2절), 모수 모형(21.3절), 콕스 모형(21.4절)은 모두 달리 언급하지 않는 한 우측절단 자료를 가정한다.