21장: 생존 모형¶

개요¶

이 장에서는 중도절단이 있는 상황에서 사건까지의 시간 자료를 모형화하는 통계학의 한 분야인 생존분석을 소개한다. 생존함수와 위험함수라는 핵심 수학 틀을 세우고, 비모수 추정량(카플란-마이어, 넬슨-알렌)에서 시작해 완전 모수 모형(지수, 와이불, 로그정규, 로그로지스틱)을 거쳐 준모수적인 콕스 비례위험 모형까지 나아간다. 마지막으로 모형 비교 전략과 금융·의학·공학에서의 실제 응용을 다룬다.

장의 구성¶

21.1 생존분석 입문¶

사건까지의 시간 결과를 분석하기 위한 기초 개념을 다룬다.

사건까지의 시간 자료와 중도절단 --- 결과가 관심 사건까지의 지속시간인 생존자료의 구조를 정의하고, 불완전 관측(중도절단)이라는 근본적인 난제를 소개한다.
중도절단의 유형(우측, 좌측, 구간) --- 중도절단 기제를 분류한다. 우측절단(사건이 아직 관측되지 않음), 좌측절단(관측 시작 전에 사건이 이미 발생), 구간절단(사건이 어떤 시간 구간 안에서 일어났다는 것만 알려짐).
생존함수와 위험함수 --- 핵심 수학량을 전개한다. 생존함수 \(S(t) = P(T > t)\), 위험함수 \(h(t)\), 누적위험 \(H(t)\)와 그들 사이의 관계를 다룬다.
금융에서의 응용(부도, 이탈, 지속시간) --- 신용 부도 모형화, 고객 이탈 예측, 경제학과 금융에서의 지속시간 분석 등 실제 사례로 생존분석의 동기를 부여한다.

21.2 비모수적 방법¶

분포를 가정하지 않고 생존을 추정하는 접근을 다룬다.

카플란-마이어 추정량 --- 생존함수에 대한 곱-극한 추정량을 유도한다. 관측된 각 사건 시점에서 위험집합을 조정하여 절단된 관측치를 처리한다.
넬슨-알렌 누적위험 --- 누적위험함수를 직접 추정하는 또 다른 비모수 추정량을 제시하고 카플란-마이어 곡선과의 관계를 설명한다.
로그순위 검정 --- 관측 사건 수와 기대 사건 수를 비교하여 두 개 이상 집단의 생존분포를 비교하는, 가장 널리 쓰이는 가설검정을 소개한다.
생존곡선의 신뢰구간 --- 그린우드 공식과 로그 변환 구간을 이용해 카플란-마이어 추정치의 점별 신뢰띠를 구성한다.

21.3 모수적 생존 모형¶

생존시간에 대해 분포를 완전히 지정하는 모형을 다룬다.

지수 모형(상수 위험) --- 시간에 걸쳐 위험률이 일정하다고 가정하는 가장 단순한 모수적 생존 모형이며, 무기억성 및 푸아송 과정과 연결된다.
와이불 모형(단조 위험) --- 형상모수를 통해 위험이 시간에 따라 단조적으로 증가하거나 감소할 수 있게 하여 지수 모형을 일반화한다.
로그정규와 로그로지스틱 모형 --- 위험함수가 비단조(처음에 오르다가 내려감)일 수 있는 두 가속실패시간 모형을 다룬다. 초기에 위험이 정점을 이루는 과정에 적합하다.
절단자료의 최대가능도 --- 관측된 사건과 절단된 관측치를 모두 반영하는 가능도함수를 전개하고, 모수적 생존 모형의 MLE를 유도한다.

21.4 콕스 비례위험 모형¶

생존분석의 준모수적 주력 도구를 다룬다.

부분가능도와 콕스 모형 --- 기저위험을 지정하지 않고 공변량이 위험에 미치는 효과를 모형화하는 콕스의 비례위험 정식화를 소개하고, 추정을 위한 부분가능도를 유도한다.
위험비 해석 --- 지수화한 콕스 계수가 위험비가 되어, 각 공변량이 순간 사건율에 미치는 곱셈적 효과를 나타냄을 설명한다.
비례위험 가정 --- 위험비가 시간에 걸쳐 일정하다는 결정적 가정을 논의하고, 그 가정이 성립하는지 평가하는 방법을 서술한다.
모형 진단(쇤펠트 잔차) --- 비례위험 가정의 위배와 여러 모형 오지정을 탐지하는 주된 진단 도구로 쇤펠트 잔차를 제시한다.

21.5 모형 비교와 선택¶

경쟁하는 생존 모형 중에서 고르는 방법을 다룬다.

비모수 대 모수 대 준모수 --- 가정, 유연성, 해석 가능성, 효율성 측면에서 세 가지 모형화 패러다임을 비교하고, 각 접근이 언제 가장 적절한지 안내한다.
AIC와 일치도 지수 --- 생존 모형 선택의 두 주요 도구를 소개한다. 내포된 모수 모형을 비교하는 AIC와, 모든 유형의 모형에서 판별력을 평가하는 일치도 지수(C-지수)다.

21.6 코드¶

완전한 파이썬 구현을 제공한다.

카플란-마이어 생존곡선과 로그순위 검정 --- 카플란-마이어 추정량을 적합하고, 신뢰구간과 함께 생존곡선을 그리며, 집단 비교를 위한 로그순위 검정을 수행한다.
모수적 생존 모형 --- 최대가능도로 절단자료에 지수, 와이불, 로그정규, 로그로지스틱 모형을 적합한다.
콕스 비례위험 --- 콕스 모형을 적합하고, 위험비를 해석하며, 비례위험 가정을 점검하고, 쇤펠트 잔차를 살펴본다.
생존 모형 비교 --- 같은 자료에서 비모수·모수·준모수 모형을 AIC와 일치도 지수로 비교한다.

21.7 연습문제¶

중도절단 개념, 카플란-마이어 추정, 모수적 모형 적합, 콕스 회귀 해석, 위험비 계산, 모형 비교 전략을 다루는 연습문제들.

선행 지식¶

이 장은 다음 내용 위에 세워진다.

6장(통계적 추정) --- 최대가능도 추정, 절단자료의 가능도함수, 신뢰구간 구성을 위한 피셔 정보.
4장(분포) --- 지수분포와 그 무기억성, 그 일반화인 와이불 분포, 로그정규분포와 로지스틱 분포.
9장(가설검정) --- 귀무가설과 대립가설, 검정통계량, p-값. 로그순위 검정과 비례위험 가정 검정의 바탕이 된다.
13장(선형회귀) --- 회귀 모형화의 틀, 계수 해석, 모형 진단. 콕스 모형의 선형예측자로 자연스럽게 확장된다.

핵심 요약¶

생존분석은 일부 관측치가 절단된 사건까지의 시간 자료를 모형화하는 원리적인 틀을 제공한다. 절단된 대상을 그냥 버리거나 사건으로 취급하면 편향된 결과가 나온다.
카플란-마이어 추정량은 생존함수를 추정하는 강건하고 분포에 의존하지 않는 방법이며, 로그순위 검정은 집단 간 생존곡선을 형식적으로 비교하게 해 준다.
모수 모형(지수, 와이불, 로그정규, 로그로지스틱)은 분포 가정이 맞을 때 더 높은 효율과 더 매끄러운 추정을 제공하며, 와이불 모형은 형상모수를 통해 유연한 기본 선택지가 된다.
콕스 비례위험 모형은 유연성과 해석 가능성 사이의 균형을 잡는다. 기저위험을 지정하지 않고 공변량 효과를 모형화하며, 지수화한 계수가 위험비로 곧바로 해석된다.
비례위험 가정은 반드시 점검해야 한다. 쇤펠트 잔차가 주된 진단 도구이며, 가정이 위배되면 콕스 모형 계수의 표준적 해석이 무효가 된다.
생존분석의 모형 선택은 모수 모형 비교에는 AIC를, 모든 유형에 걸친 판별 성능 평가에는 일치도 지수(C-지수)를 사용한다.