표본크기 계산¶

(1) \(p(1-p)\) 는 \(p = 1/2\) 에서 최대다. 완전제곱으로 정리하면 한 줄이다.

이고 등호는 \(p = 1/2\) 일 때뿐이다. \(\square\) 비율의 표본크기가

이므로, \(p^\ast = 1/2\) 를 넣으면 참 \(p\) 가 무엇이든 필요한 \(n\) 이상을 확보한다. 그 결과가 보수적 공식 \(n = \lceil z^2/(4E^2)\rceil\) 이다.

\(E = 0.03\), \(95\%\) 에서 \(z^2/E^2 = 3.84146/0.0009 = 4268.3\) 이므로

최대와 최소의 비가 \(1068/385 = 2.77\)배에 그친다. 게다가 포물선이 꼭짓점 근처에서 납작해 \(p^\ast\) 가 \(0.35\) 와 \(0.65\) 사이 어디든 손해가 \(9\%\) 미만이다. 모르면 \(0.5\) 를 넣으면 된다는 관행이 여기서 나온다.

(2) 비율은 위험이 막혀 있고 평균은 열려 있다. 비율의 미지 입력 \(p\) 는 \(p(1-p) \le 1/4\) 라는 상한을 갖는다. 최악을 쓰면 끝이다. \(\sigma\) 에는 그런 상한이 없다. 위로 열려 있으므로 "가장 안전한 \(\sigma\)" 라는 것이 존재하지 않는다.

게다가 어긋남이 그대로 넘어온다. \(n\) 은 \(\sigma^2\) 에 비례하지만, \(n\) 을 고정하고 나면 달성되는 오차한계

은 \(\sigma\) 에 정비례한다. \(\sigma = 15\) 로 \(n = 217\) 을 정했는데 참값이 \(18\)(\(20\%\) 과소평가)이었다면

로 목표 \(2\) 의 \(1.20\)배다. \(\sigma\) 의 \(20\%\) 오차가 \(E\) 의 \(20\%\) 초과로 그대로 옮아온다. 반대로 참값이 \(12\) 였다면 \(E_{\text{실제}} = 1.5966\) 으로 목표를 넘겨 달성하되 표본을 낭비한 것이다.

그래서 작업 순서가 다르다. 비율은 모르면 \(0.5\) 를 넣고 끝내지만, 평균은 \(\sigma\) 의 출처를 반드시 확보해야 한다(선행 연구, 예비조사, 또는 범위 규칙 \(\sigma \approx \text{범위}/4\)). 그리고 어느 쪽이든 불확실하면 큰 쪽으로 잡는다. 표본을 조금 더 모으는 비용이, 연구를 마친 뒤 구간이 목표보다 넓게 나온 것을 발견하는 비용보다 싸다.

(3) 확인.

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)

# --- 평균 추정을 위한 표본크기 ---
# 자료를 모으기 전이라 s가 없으므로 t가 아니라 z를 쓴다.
# sigma도 모르니 계획용 추정값을 넣는다. 이 값이 틀리면 계산 전체가 틀어지므로
# 표본크기 계산에서 가장 약한 고리는 언제나 sigma의 사전 추정이다.
sigma_est = 15
for E in [1, 2, 3, 5]:
    for conf in [0.90, 0.95, 0.99]:
        z = stats.norm.ppf(1 - (1 - conf) / 2)
        n_needed = int(np.ceil((z * sigma_est / E) ** 2))
        print(f"  E=+/-{E}, {conf*100:.0f}% conf -> n = {n_needed}")

# --- 비율 추정을 위한 표본크기 (보수적으로 p=0.5) ---
# p(1-p)가 p=0.5에서 최대 0.25이므로 sqrt(0.25) = 1/2이 되어
# 공식에 2E가 나타난다. 참 p가 무엇이든 안전한 크기다.
print("\nSample size for proportion (conservative p=0.5):")
for E in [0.01, 0.03, 0.05]:
    for conf in [0.95, 0.99]:
        z = stats.norm.ppf(1 - (1 - conf) / 2)
        n_needed = int(np.ceil((z / (2 * E)) ** 2))
        print(f"  E=+/-{E}, {conf*100:.0f}% conf -> n = {n_needed}")

출력:

  E=+/-1, 90% conf -> n = 609
  E=+/-1, 95% conf -> n = 865
  E=+/-1, 99% conf -> n = 1493
  E=+/-2, 90% conf -> n = 153
  E=+/-2, 95% conf -> n = 217
  E=+/-2, 99% conf -> n = 374
  E=+/-3, 90% conf -> n = 68
  E=+/-3, 95% conf -> n = 97
  E=+/-3, 99% conf -> n = 166
  E=+/-5, 90% conf -> n = 25
  E=+/-5, 95% conf -> n = 35
  E=+/-5, 99% conf -> n = 60

Sample size for proportion (conservative p=0.5):
  E=+/-0.01, 95% conf -> n = 9604
  E=+/-0.01, 99% conf -> n = 16588
  E=+/-0.03, 95% conf -> n = 1068
  E=+/-0.03, 99% conf -> n = 1844
  E=+/-0.05, 95% conf -> n = 385
  E=+/-0.05, 99% conf -> n = 664

이어서 (1)의 포물선과 (2)의 위험을 수로 확인한다.

import numpy as np
from scipy import stats

# (1) 계획값 p* 에 따른 표본크기. p* = 0.5 가 꼭짓점이다.
z95, E_p = stats.norm.ppf(0.975), 0.03
print(f"{'p*':>6}{'p*(1-p*)':>11}{'n':>7}{'0.5 대비':>10}")
for p_star in (0.1, 0.3, 0.35, 0.5, 0.65, 0.9):
    v = p_star * (1 - p_star)
    print(f"{p_star:>6.2f}{v:>11.4f}"
          f"{int(np.ceil(z95**2 * v / E_p**2)):>7d}{v / 0.25:>10.2f}")

# (2) sigma 를 잘못 잡으면 달성되는 오차한계가 그만큼 빗나간다.
print(f"\nn = 217 로 고정했을 때 실제 오차한계 (목표 2)")
for sigma_true in (12, 15, 18):
    print(f"  참 sigma = {sigma_true}:  E = {z95 * sigma_true / np.sqrt(217):.4f}")

출력:

    p*   p*(1-p*)      n    0.5 대비
  0.10     0.0900    385      0.36
  0.30     0.2100    897      0.84
  0.35     0.2275    972      0.91
  0.50     0.2500   1068      1.00
  0.65     0.2275    972      0.91
  0.90     0.0900    385      0.36

n = 217 로 고정했을 때 실제 오차한계 (목표 2)
  참 sigma = 12:  E = 1.5966
  참 sigma = 15:  E = 1.9958
  참 sigma = 18:  E = 2.3949

(1)과 맞는다. \(n\) 이 \(p^\ast = 0.5\) 에서 \(1068\) 로 최대이고 \(0.1\) 과 \(0.9\) 에서 \(385\) 로 최소다. \(p^\ast\) 와 \(1 - p^\ast\) 가 같은 값을 주는 것도 \(p(1-p)\) 가 \(1/2\) 에 대해 대칭이기 때문이다.

(2)도 맞는다. 참 \(\sigma\) 가 \(12,\ 15,\ 18\) 일 때 달성되는 오차한계가 \(1.5966,\ 1.9958,\ 2.3949\) 로 \(\sigma\) 에 정비례한다. \(\sigma\) 를 맞게 잡았을 때 \(1.9958\) 이 목표 \(2\) 를 조금 밑도는 것은 \(217\) 이 \(216.08\) 을 올림한 값이기 때문이다.

임계값은 \(z_{0.025} = 1.96\)이다. 공식을 적용하면

적어도 관측값 62개가 필요하다. \(\square\)

\(E = 0.03\)이고 \(z_{0.005} = 2.576\)이면,

조사자에게 적어도 응답자 1844명이 필요하다. \(\square\)

\(f(p) = p(1-p) = p - p^2\)이라 하자. 미분하면 \(f'(p) = 1 - 2p\)이고 \(p = 1/2\)에서 0이 된다. \(f''(p) = -2 < 0\)이므로 \(p = 1/2\)은 \([0,1]\)에서의 전역 최댓값이며

표본크기 공식은 \(n = z_{\alpha/2}^2 \, p(1-p) / E^2\)이다. \(p(1-p)\)가 분자에 있으므로 \(p = 1/2\)에서의 최댓값이 가장 큰 \(n\)을 주며, 참 \(p\)가 무엇이든 충분한 정밀도를 보장한다. \(\square\)

표본크기 공식은 \(n = (z_{\alpha/2} \sigma / E)^2\)이다. 오차한계 \(E_1\)에 대응하는 것을 \(n_1\), \(E_2\)에 대응하는 것을 \(n_2\)라 하자. 그러면

오차한계를 절반으로 하면(\(E_2 = E_1/2\)) \(n_2 / n_1 = 4\)이다. 필요한 표본크기가 네 배가 된다. \(E_1 = 4, E_2 = 2\)인 구체적인 경우:

\(\square\)

\(z_{0.025} = 1.96\), \(E = 0.04\)일 때:

보수적인 경우 (\(p = 0.5\)):

계획용 추정값 (\(p_0 = 0.30\)):

계획용 추정값을 쓰면 관측값 \(601 - 505 = 96\)개를 아낀다. \(\square\)

문제. 필요한 \(n\)이

을 만족해야 하는데, 오른쪽에 \(n\)이 들어 있다.

해법 — 고정점 반복. \(z\) 공식의 답에서 출발해 수렴할 때까지 되풀이한다.

import numpy as np
from scipy import stats

def n_t(sigma, E, level=0.95):
    z = stats.norm.ppf(0.5 + level / 2)
    n = max(int(np.ceil((z * sigma / E)**2)), 2)
    for _ in range(100):
        nn = max(int(np.ceil((stats.t.ppf(0.5 + level / 2, n - 1)
                              * sigma / E)**2)), 2)
        if nn == n:
            return n
        n = nn
    return n

z = stats.norm.ppf(0.975)
print(f"{'σ':>5s} {'E':>5s} {'z 공식':>8s} {'t 반복':>8s} {'차이':>6s}")
for sigma, E in [(20, 5), (10, 2), (15, 10), (5, 4)]:
    n0 = int(np.ceil((z * sigma / E)**2))
    n1 = n_t(sigma, E)
    print(f"{sigma:5.0f} {E:5.0f} {n0:8d} {n1:8d} {n1 - n0:6d}")

    σ     E     z 공식     t 반복     차이
   20     5       62       64      2
   10     2       97       99      2
   15    10        9       11      2
    5     4        7        9      2

차이가 작다. \(n\)이 웬만큼만 되면 \(t\approx z\)이므로 두세 명 차이다.

\(n\)이 작을 때는 무시할 수 없다. \(\sigma=15\), \(E=10\)이면 9명이 아니라 11명으로 22% 늘고, \(\sigma=5\), \(E=4\)면 7명이 아니라 9명으로 29% 는다. 차이는 항상 두어 명이지만 \(n\)이 작을수록 비중이 커진다.

수렴은 보장되는가. \(n\mapsto\lceil (t_{n-1}\sigma/E)^2\rceil\)은 \(n\)에 대해 감소(약한 의미로)하고 아래로 유계이므로, 단조 수열이 되어 유한 번에 멈춘다. 위 예에서 모두 3~4회 안에 수렴했다.

더 중요한 것. 이 보정은 몇 명 수준이지만, 앞서 본 보증(assurance) 보정은 10~20% 수준이다. 어느 쪽이 실질적인지 분명하다. \(t\) 보정만 하고 \(S\)의 변동을 무시하면 일관성이 없다.

실무. 통계 소프트웨어의 표본크기 함수는 대개 \(t\) 반복을 내부에서 수행한다. 직접 계산할 때는 \(z\) 공식에 2~3명을 더하는 어림으로 충분한 경우가 많다.

유도. 비복원추출에서 \(\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}\)이므로, 오차한계 조건은

\(N-1\approx N\)으로 두고 \(n\)에 대해 풀면

import numpy as np
from scipy import stats

z = stats.norm.ppf(0.975)
sigma, E = 15.0, 3.0
n0 = (z * sigma / E)**2
print(f"무한모집단 기준 n0 = {np.ceil(n0):.0f}")
print(f"{'N':>8s} {'필요 n':>8s} {'표집비율':>9s}")
for N in [200, 500, 1_000, 5_000, 100_000]:
    n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N)
    print(f"{N:8d} {np.ceil(n):8.0f} {np.ceil(n) / N:9.3f}")

무한모집단 기준 n0 = 97
       N     필요 n      표집비율
     200       66     0.330
     500       81     0.162
    1000       88     0.088
    5000       95     0.019
  100000       96     0.001

모집단이 작으면 표본이 줄어든다. \(N=200\)이면 97명이 아니라 66명으로 충분하다.

\(N\)이 커지면 빠르게 포화한다. \(N=5{,}000\)에서 이미 95명이고, \(N=10\)만에서도 96명이다. \(N\to\infty\)의 극한 97에 거의 도달한다.

중요한 오해 바로잡기. "모집단이 크면 표본도 커야 한다"는 직관은 틀렸다. 위 표가 보여 주듯 \(N\)이 \(n_0\)의 20배를 넘으면 \(N\)은 사실상 무관하다.

• 인구 5천만 명 나라와 인구 500만 명 나라에서 같은 정밀도를 얻는 데 같은 표본이면 된다.
• 여론조사의 "1,000명이면 충분한가"라는 질문의 답이 여기 있다. 충분하다.

\(n_0>N\)이면 어떻게 되는가. 공식이 \(n<N\)을 보장한다. 극단적으로 \(n_0\to\infty\)면 \(n\to N\), 즉 전수조사다.

주의할 점.

1. \(\sigma\)는 모집단 표준편차다. 작은 모집단에서는 이것도 추정하기 어렵다.
2. 명부(표본틀)가 있어야 비복원추출이 가능하다. 없으면 FPC를 적용할 근거가 약하다.
3. 비표집오차는 \(N\)과 무관하다. 작은 모집단에서 큰 표집비율을 쓰면 표집오차는 줄지만 측정오차는 그대로다.

문제. 왈드 공식 \(n=z^2p(1-p)/E^2\)는 왈드 구간의 폭을 기준으로 한다. 그런데 실제로 쓸 구간이 윌슨이라면, 윌슨의 반폭이 \(E\) 이하가 되는 \(n\)을 찾아야 한다.

import numpy as np
from scipy import stats

z = stats.norm.ppf(0.975)

def wilson_half(n, p):
    d = 1 + z**2 / n
    return z / d * np.sqrt(p * (1 - p) / n + z**2 / (4 * n**2))

print(f"{'p':>6s} {'E':>6s} {'왈드':>7s} {'윌슨':>7s} {'차이':>7s}")
for p, E in [(0.50, 0.03), (0.10, 0.03), (0.05, 0.02), (0.02, 0.01)]:
    nw = int(np.ceil(z**2 * p * (1 - p) / E**2))
    n = 1
    while wilson_half(n, p) > E:
        n += 1
    print(f"{p:6.2f} {E:6.2f} {nw:7d} {n:7d} {n - nw:+7d}")

     p      E      왈드      윌슨      차이
  0.50   0.03    1068    1064      -4
  0.10   0.03     385     388      +3
  0.05   0.02     457     469     +12
  0.02   0.01     753     792     +39

\(p\)가 0.5 근처면 왈드가 오히려 약간 크다. 윌슨 구간이 그 영역에서 왈드보다 좁기 때문이다.

\(p\)가 작아질수록 윌슨이 더 많은 표본을 요구한다. \(p=0.02\)에서 39명(5%) 더 필요하다.

왜 그런가. 윌슨 구간의 반폭에는 \(z^2/(4n^2)\) 항이 있는데, \(p(1-p)/n\)이 작아질수록 이 항의 비중이 커진다. 이것은 경계 근처에서 구간이 쪼그라들지 않게 막는 장치이고, 그만큼 폭이 넓어진다.

더 큰 문제 — 폭 기준 자체가 부적절할 수 있다. \(p=0.02\)처럼 작으면 절대 오차한계보다 상대 정밀도가 관심사인 경우가 많다.

# 상대 정밀도 20% (즉 E = 0.2p) 를 원한다면
for p in [0.50, 0.10, 0.05, 0.02, 0.005]:
    E = 0.2 * p
    n = 1
    while wilson_half(n, p) > E:
        n += 1
    print(f"p={p:5.3f}  상대오차 20%를 위한 n = {n:6d}")

p=0.500  상대오차 20%를 위한 n =     93
p=0.100  상대오차 20%를 위한 n =    868
p=0.050  상대오차 20%를 위한 n =   1838
p=0.020  상대오차 20%를 위한 n =   4747
p=0.005  상대오차 20%를 위한 n =  19295

희귀한 사건일수록 상대 정밀도를 얻기가 어렵다. \(p=0.005\)면 2만 명 가까이 필요하다. 왈드 공식으로 정리하면 \(n\approx z^2(1-p)/(0.2^2p)=96(1-p)/p\)이고, \(p\)가 작으면 \(96/p\) 로 간단해진다. \(p=0.005\)에서 19,200으로 위 표와 잘 맞는다.

권고. \(\min(np,\ n(1-p))<10\)이 예상되면 왈드 공식을 쓰지 말고 위처럼 실제 쓸 구간으로 직접 계산한다. 계산 비용이 0이므로 어림에 의존할 이유가 없다.

import numpy as np
from scipy import stats

sigma = 10.0
print(f"{'E':>6s} " + " ".join(f"{lv:>8.0%}" for lv in [0.80, 0.90, 0.95, 0.99]))
for E in [5.0, 3.0, 2.0, 1.5, 1.0, 0.5]:
    row = []
    for lv in [0.80, 0.90, 0.95, 0.99]:
        z = stats.norm.ppf(0.5 + lv / 2)
        row.append(f"{np.ceil((z * sigma / E)**2):8.0f}")
    print(f"{E:6.1f} " + " ".join(row))

     E      80%      90%      95%      99%
   5.0        7       11       16       27
   3.0       19       31       43       74
   2.0       42       68       97      166
   1.5       73      121      171      295
   1.0      165      271      385      664
   0.5      657     1083     1537     2654

두 방향의 비용.

• 정밀도: \(n\propto E^{-2}\). \(E\)를 반으로 줄이면 4배.
• 신뢰수준: \(n\propto z^2\). 95%에서 99%로 가면 1.73배.

정밀도가 훨씬 비싸다. 95%에서 \(E\)를 3에서 1.5로 줄이는 비용(43→171, 4배)이 \(E=3\)에서 신뢰수준을 80%에서 99%로 올리는 비용(19→74, 3.9배)과 비슷하다. 그런데 전자는 폭이 절반이 되는 실질적 개선이고, 후자는 문턱의 조정일 뿐이다.

실무 선택 지침.

1. 신뢰수준은 95%를 기본으로. 관례를 벗어나면 설명 부담이 생긴다. 규제나 안전이 걸린 경우에만 99%.

2. 정밀도는 의사결정에서 역산한다. "얼마나 정밀해야 결정이 달라지는가"를 묻는다. 무조건 좁은 구간이 좋은 것이 아니다.

3. 정책 문턱이 50%이고 추정값이 55% 근처로 예상된다면, \(E=3\)%p면 충분하다(\(52\sim58\)이 모두 문턱 위).

4. \(E=1\)%p를 위해 표본을 9배로 늘려도 결정은 바뀌지 않는다.

5. 수확체감 지점을 찾는다. 95%에서 \(E=2\to1.5\)는 \(+74\)명, \(E=1.5\to1\)은 \(+214\)명, \(E=1\to0.5\)는 \(+1{,}152\)명이다. 곡선이 급해지는 곳에서 멈추는 것이 합리적이다.

6. 비표집오차와 균형을 맞춘다. 무응답 편향이 2%포인트인데 표집오차를 0.5%포인트로 줄이는 것은 낭비다. 가장 큰 오차원을 먼저 줄인다.

의사결정이론적 관점. 엄밀하게는 표본 하나의 한계비용과 정보의 한계가치가 같아지는 곳이 최적이다. 정보의 가치를 계량할 수 있는 경우(품질검사, A/B 시험)에는 실제로 이렇게 푼다. 대부분의 학술연구에서는 그러기 어려워 관례와 예산으로 정한다.

고정 설계의 한계. \(n\)을 미리 정하면

• 효과가 예상보다 크면 필요 이상으로 오래 끌고,
• 효과가 없으면 무의미한 연구를 끝까지 하고,
• 가정(\(\sigma\), 기저율)이 틀리면 검정력이 어긋난다.

1 — 군순차 설계. 중간분석 시점을 미리 정하고, 각 시점의 임계값을 전체 \(\alpha\)가 유지되도록 조정한다.

• 이득: 효과가 크면 일찍 끝난다. 평균 표본크기가 고정 설계의 60~80%.
• 대가: 최대 표본크기는 오히려 크다(5~15%). 중간분석의 운영 비용, 독립 감시위원회 필요.

2 — 무익성 중단. 효과가 없을 것이 분명해지면 조기 종료한다. 윤리적·경제적으로 중요하다.

• 이득: 실패할 연구를 일찍 접는다.
• 대가: 검정력이 조금 준다. 경계를 너무 공격적으로 잡으면 참 효과를 놓친다.

3 — 표본크기 재추정. 중간에 관측된 \(\sigma\)나 기저율로 \(n\)을 다시 계산한다.

• 눈가림 방식(처리군 구분 없이 전체 분산만 봄): \(\alpha\) 팽창이 거의 없다. 안전하고 널리 쓰인다.
• 비눈가림 방식(관측된 효과크기 사용): \(\alpha\) 팽창이 크므로 보정이 필수다. 규제기관이 신중하게 본다.

4 — 적응설계 일반. 용량 선택, 집단 선택, 무작위배정 비율 변경 등.

• 이득: 자원을 유망한 팔에 집중. 학습과 확증을 한 연구에.
• 대가: 설계·분석이 복잡하고, 사전에 모든 규칙을 명시해야 한다. 해석이 어려워지고 검토자를 설득하기 힘들다.

5 — 베이즈 적응. 사후분포로 중단·배정을 결정한다. 가능도원리상 중지규칙이 사후분포에 영향을 주지 않는다는 점이 우아하다. 다만 빈도주의 성질(제1종 오류율)은 모의실험으로 확인해야 하며, 규제 제출에는 이것이 요구된다.

언제 고정 설계가 나은가.

• 연구 기간이 짧아 중간분석의 이득이 없을 때.
• 결과 관측이 오래 걸려(생존 등) 중간에 볼 자료가 적을 때.
• 운영 역량이 부족할 때. 잘못 운영된 적응설계는 고정 설계보다 나쁘다.
• 단순성과 투명성이 중요할 때.

공통 원칙. 어떤 설계든 모든 규칙을 자료를 보기 전에 문서로 고정해야 한다. 적응설계의 유연성은 "나중에 마음대로 바꿔도 된다"는 뜻이 아니라, 미리 정해 둔 규칙에 따라 자동으로 조정된다는 뜻이다.