생존함수와 위험함수¶
사건까지의 시간 자료와 중도절단의 구조를 이해했다면, 다음 단계는 사건시간이 어떻게 분포하는지 기술하는 수학량을 정의하는 것이다. 보통의 통계학에서는 분포를 확률밀도함수와 누적분포함수로 특징짓는다. 생존분석은 같은 정보를 쓰되 지속시간 자료에 더 자연스러운 두 함수, 곧 생존함수와 위험함수로 다시 포장한다.
이 절에서는 두 함수를 정의하고 누적위험을 유도하며, 네 양 사이를 잇는 관계를 세운다.
생존함수¶
\(T\)를 사건이 일어날 때까지의 시간을 나타내는 음이 아닌 연속확률변수라 하자. 생존함수는 시점 \(t\)까지 사건이 아직 일어나지 않았을 확률이다.
여기서 \(F(t) = P(T \leq t)\)는 통상의 누적분포함수다.
생존함수의 성질:
- \(S(0) = 1\) --- 시점 0에서는 모든 대상이 사건을 겪지 않은 상태다.
- \(\lim_{t \to \infty} S(t) = 0\) --- 결국 모두에게 사건이 일어난다.
- \(S(t)\)는 \(t\)에 대해 비증가다.
정상 생존함수와 비정상 생존함수
어떤 모형은 \(\lim_{t \to \infty} S(t) = p > 0\)을 허용하는데, 이는 모집단의 비율 \(p\)가 사건을 결코 겪지 않는다는 뜻이다("치유된" 비율). 이런 모형을 치유율 모형이라 하며 이 장의 범위를 벗어난다.
위험함수¶
생존함수가 "시점 \(t\)를 넘겨 생존하는 비율은 얼마인가?"에 답한다면, 위험함수는 더 국소적인 질문에 답한다. "어떤 대상이 시점 \(t\)까지 생존했다는 조건에서, 바로 다음 순간에 사건이 일어날 가능성은 얼마인가?"
위험함수는 다음과 같이 정의된다.
이것은 확률이 아니라(1을 넘을 수 있다) 순간적인 비율이다. 아직 위험에 있는 대상들 사이에서 시점 \(t\)의 사건 강도를 잰다.
밀도 및 생존함수와의 관계. 조건부확률의 정의를 쓰면
이고, 여기서 \(f(t) = F'(t) = -S'(t)\)는 확률밀도함수다.
위험함수 해석하기
\(t = 24\)개월에서 \(h(t) = 0.03\)(월 단위)이라 하자. 24개월까지 생존한 대상들 가운데 약 3%가 다음 한 달 안에 사건을 겪는다. 이 해석은 작은 시간 증분에서 성립한다. \(P(T \in [t, t + \Delta t) \mid T \geq t) \approx h(t) \cdot \Delta t\).
누적위험함수¶
누적위험함수는 순간위험을 시간에 걸쳐 누적한다.
누적위험에는 유용한 해석이 있다. 시점 \(t\)까지 축적된 위험의 총량을 잰다. 비율인 \(h(t)\)와 달리 \(H(t)\)는 0에서 \(\infty\)까지 값을 갖는 무차원 양이다.
네 함수 사이의 관계¶
생존함수, 위험함수, 누적위험, 밀도는 모두 서로의 결정론적 변환이다. 어느 하나를 지정하면 나머지 셋이 결정된다.
\(S(t)\)에서 \(H(t)\)로. \(h(t) = -S'(t)/S(t)\)에서 출발해 양변을 적분하면
\(H(t)\)에서 \(S(t)\)로. 위 식을 지수화하면
\(h(t)\)에서 \(f(t)\)로. \(f(t) = h(t) S(t)\)와 결합하면
변환을 정리하면 다음과 같다.
| 주어진 것 | \(S(t)\) | \(h(t)\) | \(H(t)\) | \(f(t)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(S(t)\) | --- | \(-S'(t)/S(t)\) | \(-\ln S(t)\) | \(-S'(t)\) |
| \(h(t)\) | \(e^{-\int_0^t h}\) | --- | \(\int_0^t h\) | \(h \cdot e^{-\int_0^t h}\) |
| \(H(t)\) | \(e^{-H(t)}\) | \(H'(t)\) | --- | \(H'(t) e^{-H(t)}\) |
| \(f(t)\) | \(1 - \int_0^t f\) | \(f/(1-\int_0^t f)\) | \(-\ln(1 - \int_0^t f)\) | --- |
위험함수의 모양¶
사건을 만드는 과정이 다르면 위험의 모양도 다르다. \(h(t)\)의 모양이 과학적 관심의 주된 대상인 경우가 많다.
- 상수 위험: \(h(t) = \lambda\). 사건율이 시간에 따라 변하지 않는다. 지수분포에 대응하며 무기억성을 함의한다.
- 증가 위험: \(h(t)\)가 \(t\)에 따라 커진다. 부품이 시간이 지나며 마모된다(노화, 피로).
- 감소 위험: \(h(t)\)가 \(t\)에 따라 작아진다. 초기 고장이 가장 흔하고 살아남은 것은 더 견고해진다("번인" 효과).
- 욕조 곡선: \(h(t)\)가 처음에 감소하고(초기 고장), 대체로 일정하다가(유효 수명), 다시 증가한다(마모). 신뢰성 공학에서 흔하다.
- 봉우리형 위험: \(h(t)\)가 정점까지 올랐다가 내려온다. 진단 직후에 위험이 정점을 이루는 일부 질병 과정에서 나타난다.
21.3절의 모수 모형들이 이 모양들을 형식화한다. 지수 모형은 상수 위험을, 와이불 모형은 단조 위험을, 로그정규와 로그로지스틱 모형은 봉우리형 위험을 포착한다.
다섯 위험함수를 각각 상수배 해서 \(H(10) = \ln 2\)가 되도록 맞추었다. \(S(t) = e^{-H(t)}\)이므로 다섯 모두 \(S(10) = 0.5\)이고, 오른쪽 그림에서 곡선 다섯 개가 한 점 \((10, 0.5)\)에서 만나는 것이 그 결과다. 중앙 생존시간이라는 가장 흔한 요약값이 다섯 상황에서 똑같이 10개월로 보고된다는 뜻이다. 상수 위험도 10, 마모되는 부품도 10, 초기 고장이 몰린 부품도 10이다.
그런데 왼쪽을 보면 이 다섯이 같은 것은 그 한 점뿐이다. \(t = 4\)에서 위험은 봉우리형이 \(0.095\), 상수가 \(0.069\), 감소형이 \(0.053\), 증가형이 \(0.044\), 욕조형이 \(0.040\)이다. 가장 큰 값이 가장 작은 값의 두 배를 넘는다. 4개월 시점의 부품 하나를 앞에 두고 "다음 한 달 안에 고장 날 가능성"을 물으면 답이 두 배 이상 갈리는데, 중앙값만으로는 어느 쪽인지 알 길이 없다.
실무적 함의는 분명하다. 위험이 오르는 중인지 내리는 중인지가 의사결정을 바꾼다. 증가 위험이면 수명이 다한 부품을 예방 교체하는 것이 합리적이지만, 감소 위험이면 오래 버틴 부품이야말로 가장 안전한 부품이므로 교체가 오히려 손해다. \(S(t)\)는 "지금까지 얼마나 살아남았나"라는 누적된 질문에 답하고, \(h(t)\)는 "지금 이 순간 어느 쪽으로 가고 있나"라는 질문에 답한다. 두 번째 질문의 답이 보통 더 쓸모 있다.
한 가지 더 짚어 둘 것이 있다. 오른쪽의 다섯 곡선은 교차점 바깥에서는 서로 갈라진다. 예컨대 \(t = 4\)에서 증가형은 \(S(4) = 0.932\)로 아직 거의 아무도 사건을 겪지 않았지만 감소형은 \(S(4) = 0.644\)로 이미 셋 중 하나가 빠져나갔다. 그러니 생존곡선에서 모양을 읽어 내는 일이 불가능한 것은 아니다. 다만 눈으로 기울기의 변화를 읽는 것보다 \(-\ln \hat S(t)\)를 그려 직선에서 벗어나는지 보는 편이 훨씬 확실하다. 누적위험 \(H(t) = -\ln S(t)\)가 진단 도구로 쓰이는 이유가 그것이고, 21.2절의 넬슨-알렌 추정량이 바로 그 일을 한다.
보기 1. 지수분포의 생존함수와 위험함수. 비율모수가 \(\lambda > 0\)인 지수분포를 생각하자. 밀도는 \(t \geq 0\)에서 \(f(t) = \lambda e^{-\lambda t}\)다.
생존함수:
풀이
위험함수:
위험이 상수이며, 이는 무기억성을 확인해 준다.
누적위험:
검산: \(S(t) = e^{-H(t)} = e^{-\lambda t}\)로 일치한다.
위험함수가 중요한 이유
많은 응용에서 위험함수가 생존함수보다 더 큰 과학적 의미를 갖는다. 임상의는 재발 위험이 시간에 따라 커지는지 작아지는지 알고 싶어 한다. 신용 분석가는 부도 위험이 첫해에 정점을 이루는지 꾸준히 커지는지 알고 싶어 한다. 생존함수는 누적된 질문에 답하고, 위험함수는 위험 동학에 관한 순간적인 질문에 답한다.
연습문제¶
연습문제 1. 생존함수와 위험함수의 관계
연속확률변수 \(T\)의 위험함수가 모든 \(t \geq 0\)에 대해 \(h(t) = 0.05\)다.
(a) \(T\)의 분포를 밝히고 그 모수를 서술하라.
(b) 생존함수 \(S(t)\)를 구하고 \(S(10)\)을 계산하라.
(c) 누적위험 \(H(20)\)을 계산하라.
(d) 중앙 생존시간은 얼마인가?
풀이
(a) 상수 위험 \(h(t) = 0.05\)는 \(T \sim \text{Exp}(\lambda = 0.05)\)를 함의한다.
(b) \(S(t) = e^{-0.05t}\)이므로 \(S(10) = e^{-0.5} \approx 0.607\)이다.
(c) \(H(20) = 0.05 \times 20 = 1.0\)이다.
(d) \(S(t_{0.5}) = 0.5\)를 풀면 \(e^{-0.05 t_{0.5}} = 0.5\)이므로 \(t_{0.5} = \ln(2)/0.05 = 13.86\)이다.
중앙값과 평균은 다르다
지수분포의 평균은 \(1/\lambda = 20\)이지만 중앙값은 \(13.86\)이다. 분포가 오른쪽으로 크게 치우쳐 있기 때문이다. 생존분석에서 중앙 생존시간을 보고하는 것이 관례인 이유는 두 가지다. 첫째, 중앙값이 이 치우침에 강건하다. 둘째, 중앙값은 생존곡선이 \(0.5\)까지만 내려가면 추정할 수 있지만, 평균은 곡선의 꼬리 전체가 필요한데 절단 때문에 그 부분이 관측되지 않는 경우가 많다. 그래서 실무에서는 제한 평균 생존시간(RMST), 즉 \(\int_0^{\tau} S(t)\,dt\)를 쓰기도 한다.
연습문제 2. \(H(t) = -\ln S(t)\)를 유도하라. 이 항등식이 넬슨-알렌 추정량의 바탕이 되는 이유를 설명하라.
풀이
\(h(t) = f(t)/S(t)\)이고 \(f(t) = -S'(t)\)이므로
이다. 양변을 \(0\)에서 \(t\)까지 적분하면
이고 \(S(0) = 1\)이므로 \(\ln S(0) = 0\)이다. 따라서 \(H(t) = -\ln S(t)\)이다.
넬슨-알렌과의 연결. 이 항등식은 위험을 추정하는 두 가지 길을 열어 준다.
- 생존함수를 먼저 추정하고 로그를 취한다. 카플란-마이어 추정량 \(\hat S(t) = \prod_{t_j \le t}(1 - d_j/n_j)\)를 구한 뒤 \(-\ln \hat S(t)\)를 계산한다.
- 위험을 먼저 누적하고 지수화한다. 넬슨-알렌 추정량 \(\hat H(t) = \sum_{t_j \le t} d_j/n_j\)를 구한 뒤 \(\hat S(t) = e^{-\hat H(t)}\)를 얻는다.
두 방법은 점근적으로 동등하지만 유한표본에서는 다르다. \(\ln(1-x) \approx -x\)가 작은 \(x\)에서만 성립하기 때문이다. 위험집합 \(n_j\)가 작아지는 꼬리 부분에서 \(d_j/n_j\)가 커지면 차이가 벌어지며, 언제나 \(-\ln \hat S_{\text{KM}}(t) \ge \hat H_{\text{NA}}(t)\), 즉 \(\hat S_{\text{KM}}(t) \le e^{-\hat H_{\text{NA}}(t)}\)가 성립한다. \(\square\)
연습문제 3. 와이불 분포의 위험함수가 \(h(t) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{t}{\lambda}\right)^{k-1}\)임을 보이고, 형상모수 \(k\)의 값에 따라 위험의 모양이 어떻게 달라지는지 서술하라.
풀이
형상 \(k > 0\), 척도 \(\lambda > 0\)인 와이불 분포의 생존함수는
이다. 따라서 누적위험은
이고, 미분하면
이다.
형상모수에 따른 위험의 모양:
| \(k\) | \(h(t)\)의 거동 | 해석 |
|---|---|---|
| \(k < 1\) | 감소(그리고 \(t \to 0^+\)에서 \(\to \infty\)) | 초기 고장, 번인 |
| \(k = 1\) | 상수 \(= 1/\lambda\) | 지수분포, 무기억성 |
| \(k > 1\) | 증가 | 마모, 노화 |
| \(k = 2\) | 선형 증가 | 레일리 분포 |
핵심은 \(h(t) \propto t^{k-1}\)이라는 점이다. 지수 \(k-1\)의 부호가 단조성의 방향을 정한다.
와이불의 한계: \(h(t)\)가 \(t\)의 멱함수이므로 언제나 단조다. 욕조 곡선이나 봉우리형 위험은 표현할 수 없다. 그래서 21.3절에서 봉우리형을 위해 로그정규와 로그로지스틱을, 욕조 곡선을 위해서는 조각별 모형이나 여러 와이불의 혼합을 쓴다. \(\square\)
연습문제 4. \(h(t)\)가 확률이 아니라 비율이며 1을 넘을 수 있음을 구체적인 예로 보여라. 그럼에도 \(\int_0^\infty h(u)\,du = \infty\)가 성립해야 하는 이유는 무엇인가?
풀이
1을 넘는 예. \(\lambda = 5\)인 지수분포는 \(h(t) = 5\)로 모든 \(t\)에서 1을 넘는다. 이것이 모순이 아닌 이유는 \(h(t)\)가 단위 시간당 비율이기 때문이다. 시간 단위를 년에서 개월로 바꾸면 같은 과정의 위험이 \(5\)에서 \(5/12 = 0.417\)로 바뀐다. 확률이라면 단위를 바꿨다고 값이 달라질 수 없다.
올바른 확률 해석은 근사식 \(P(T \in [t, t+\Delta t) \mid T \ge t) \approx h(t)\Delta t\)이며, \(\Delta t\)가 충분히 작으면 우변이 항상 1보다 작다. \(h(t) = 5\)이면 \(\Delta t = 0.01\)에서 확률이 약 \(0.05\)다.
왜 \(\int_0^\infty h = \infty\)인가. 생존함수의 성질 2에서 \(\lim_{t\to\infty} S(t) = 0\)이었다. \(S(t) = e^{-H(t)}\)이므로
이다. 즉 누적위험이 발산해야 모든 대상이 결국 사건을 겪는다.
역도 성립한다. \(\int_0^\infty h(u)\,du = c < \infty\)이면 \(S(\infty) = e^{-c} > 0\)이 되어 비율 \(e^{-c}\)가 사건을 결코 겪지 않는다. 이것이 앞에서 언급한 치유율 모형이다. 따라서 "위험함수가 적분 발산한다"는 조건과 "정상 생존함수"라는 조건은 같은 말이다.
실무적 함의: 자료에서 카플란-마이어 곡선이 어떤 수준에서 평평해지고 내려오지 않는다면, 이는 절단 때문일 수도 있지만 치유된 부분모집단의 존재를 시사할 수도 있다. 두 설명을 구별하려면 추적 기간이 충분히 긴 자료가 필요하다. \(\square\)
정리하며¶
지속시간 자료에는 두 함수가 더 자연스럽다.
- 생존함수는 \(t\) 까지 살아남을 확률이다. 4장에서 본 생존함수 \(1-F\) 그대로이며, \(1\) 에서 시작해 감소한다.
- 위험함수는 조건부 순간 발생률이다. "\(t\) 까지 살아남았다는 조건 아래" 그 순간 사건이 일어날 비율이며, 확률이 아니라 비율이라 1 을 넘을 수 있다.
- 위험함수가 모양을 드러낸다. 밀도만 보아서는 노화하는지 알 수 없지만 \(h(t)\) 는 그것을 직접 보여 준다. 증가하면 마모, 감소하면 초기 고장이다.
- 셋이 서로를 결정한다. \(S(t)=\exp\left(-\int_0^t h(u)du\right)\) 이므로 어느 하나를 알면 나머지가 정해진다.
- 누적위험 \(H(t)=-\log S(t)\) 가 진단에 유용하며, 다음 절들에서 쓰인다.
다음 절 카플란-마이어 추정량으로 넘어간다.