추정량으로서의 표본평균¶

(a) \(\mathrm{SE} = 0.18/\sqrt{10} \approx 0.057\). 점추정값 0.05보다 크다.

(b) \(|\mu|/\mathrm{SE} > 1.96\)이 필요하다: \(\sqrt n > 1.96 \cdot 0.18/0.05 \approx 7.06 \Rightarrow n \ge 50\)년.

(c) i.i.d. 가정 아래에서 월별 자료로 바꾸면 평균도 (\(1/12\)배로) 분산도 (\(1/12\)배로) 함께 축소된다. \(t\)-통계량은 그대로다 — 같은 달력 구간 안에서 더 자주 표본을 뽑아도 도움이 되지 않는다. 금융의 "추세 추정 문제"는 근본적으로 자료의 밀도가 아니라 시간 범위의 문제이다.

(불편성을 위해) \(\sum w_i = 1\)인 선형 불편추정량 \(\hat\mu = \sum w_i X_i\)를 생각하자.

\(\mathrm{Var}(\hat\mu) = \sum w_i^2 \sigma^2 = \sigma^2 \sum w_i^2\)이고, 제약은 \(\sum w_i = 1\)이다.

Cauchy-Schwarz 또는 Lagrange 승수법에 의해 \(\sum w_i^2\)은 \(w_i = 1/n\)(균등 가중)에서 최소가 된다. 따라서 \(\bar X = (1/n)\sum X_i\)는 선형 불편추정량 중 분산이 최소이다.

분산이 유한한 i.i.d. 표본에서 \(\bar X\)는 분포의 모양과 무관하게 BLUE이다. 정규성 아래에서는 \(\bar X\)가 UMVUE이기도 하다(선형에 한하지 않고 모든 불편추정량 중에서 균일하게 분산이 최소).

표본 \(\{X_1, \ldots, X_n, M\}\)에서 \(M\)이 이상점 하나라고 하자. 새 평균은 \((\sum X_i + M)/(n + 1)\)이다. \(M \to \infty\)이면 새 평균 \(\to \infty\)이다.

따라서 \(\bar X\)의 붕괴점은 \(1/(n+1) \to 0\)이다: 오염된 관측값 하나만으로도 \(\bar X\)를 얼마든지 멀리 옮길 수 있다. 점근 붕괴점이 0이다.

중앙값과 비교하면 붕괴점이 \(\approx 1/2\)이다 — 자료의 절반이 오염되어야 한다. 중앙값의 대가는 정규성 아래에서의 낮은 효율이다(평균 대비 약 64%).

이상점이 있을 수 있는 실제 자료에서는 \(\bar X\)보다 로버스트한 위치추정량(중앙값, 절사평균, M-추정량)을 택하라.

두 가지 관점이 있다:

대수적 관점: \(\sum(X_i - \bar X)^2 = \sum X_i^2 - n\bar X^2\). 기댓값을 취하면:

\(\mathbb{E}[\sum X_i^2] = n(\sigma^2 + \mu^2)\), \(\mathbb{E}[n\bar X^2] = \sigma^2 + n\mu^2\). 빼면 \((n-1)\sigma^2\).

\(n - 1\)로 나누면 \(\mathbb{E}[S^2] = \sigma^2\). 불편이다.

기하적 관점(자유도): 관측값 \(X_i\)는 제약이 없지만(\(n\) 자유도) 잔차 \(X_i - \bar X\)는 \(\sum(X_i - \bar X) = 0\)을 만족한다 — 선형 제약 하나. 따라서 유효 자유도는 \(n - 1\)이다. 분산추정은 유효 자유도로 나눈다.

\(\mu\)가 알려져 있으면(예: 중심화된 자료) \(\sum X_i^2/n\)을 쓴다 — 소모된 자유도가 없으므로 수정도 없다.

정상 AR(1)에서 \(X_t = \sum_{k=0}^\infty \rho^k \varepsilon_{t-k}\)이고, \(\mathrm{Var}(X_t) = \sigma^2_\varepsilon/(1 - \rho^2)\), \(\mathrm{Cov}(X_s, X_t) = \rho^{|s-t|} \sigma^2_\varepsilon/(1-\rho^2)\)이다.

\(\mathrm{Var}(\bar X) = (1/n^2)\sum_{s, t} \mathrm{Cov}(X_s, X_t)\). 계산을 정리하면:

\(\mathrm{Var}(\bar X) \approx \frac{\sigma^2_X}{n} \cdot \frac{1 + \rho}{1 - \rho}\) (큰 \(n\)에 대해, \(\sigma^2_X = \sigma^2_\varepsilon/(1-\rho^2)\)).

팽창인자 \((1+\rho)/(1-\rho)\)는 \(\rho > 0\)이면 1보다 크다. \(\rho = 0.5\)이면 인자가 3 — 독립 관측값 \(n/3\)개를 쓰는 것과 같다.

함의: 종속 자료는 명목 표본크기가 같은 i.i.d. 자료보다 정보량이 적다. AR(1)의 유효표본크기는 \(n_{\text{eff}} = n(1-\rho)/(1+\rho)\)이다.

이는 시계열 분석에서 결정적이다: 자기상관된 자료에 대해 \(\mathrm{SE} = \sigma/\sqrt n\)을 소박하게 계산하면 불확실성을 과소평가한다.

제약: 불편성을 위해 \(\sum w_i = 1\). 분산: \(\mathrm{Var}(\hat\mu) = \sum w_i^2 \sigma_i^2\).

\(\sum w_i = 1\) 아래에서 \(\sum w_i^2 \sigma_i^2\)을 최소화한다. Lagrangian: \(L = \sum w_i^2 \sigma_i^2 - \lambda(\sum w_i - 1)\).

\(\partial L/\partial w_i = 2 w_i \sigma_i^2 - \lambda = 0 \Rightarrow w_i = \lambda/(2\sigma_i^2)\).

정규화하면 \(\lambda = 2/\sum(1/\sigma_i^2)\)이므로 \(w_i^* = (1/\sigma_i^2)/\sum_j(1/\sigma_j^2)\)이다.

역분산 가중. 최적 추정량의 분산: \(\mathrm{Var}(\hat\mu^*) = 1/\sum(1/\sigma_i^2)\).

메타분석(정밀도가 다른 연구들의 결합), Kalman 필터링(센서 측정값의 결합), 가중최소제곱 회귀에서 쓰인다.

관계. 수익률 \(r_t\)의 기하평균은

이고, \(\ln(1+r) \approx r - r^2/2\)로 전개해 평균을 취하면

을 얻는다. 기하평균은 산술평균보다 분산의 절반만큼 작다.

수치. \(\bar r = 0.08\), \(s = 0.20\)이면

으로 6%다. 변동성만으로 2%포인트가 깎인다. 변동성이 40%라면 8%가 깎여 기하평균이 0이 된다. 산술평균이 양수인데 장기 자산가치가 제자리인 것이다.

어느 쪽을 쓰는가.

왜 다른가. 산술평균은 \(E[r]\)의 불편추정량이고 한 기간 예측에 옳다. 그러나 자산가치는 곱셈적으로 누적되므로 여러 기간의 성장은 \(E[\ln(1+r)]\)이 지배한다. 옌센 부등식에서 \(E[\ln(1+r)] < \ln(1+E[r])\)이므로 기하평균이 언제나 작다.

실무의 함정. 펀드 광고가 산술평균을 쓰고 실제 투자자 경험은 기하평균을 따른다. 변동성이 큰 전략일수록 이 격차가 커지므로, 변동성을 밝히지 않은 평균 수익률은 해석할 수 없다.

표준오차. 수익률이 독립이고 정규라 가정하면 델타 방법으로

이다(\(\hat\mu\)와 \(\hat\sigma\)의 불확실성이 모두 반영된 결과다).

수치. \(\text{SR}=0.5\), \(n=10\)(연 단위 관측)이면

이고 95% 신뢰구간이

이다.

구간이 0을 담는다. 10년 동안 샤프비율 0.5를 기록한 전략도 아무 실력이 없는 전략과 통계적으로 구별되지 않는다.

필요한 기간. \(\text{SR}\)이 0과 다르다고 말하려면 \(\text{SR}\sqrt n > 1.96\), 즉

이 필요하다. \(\text{SR}=0.5\)면 16년, \(\text{SR}=0.3\)이면 43년이다.

자료 빈도를 높이면? 월별 자료를 쓰면 관측이 120개가 되지만, 월별 샤프비율이 \(\text{SR}/\sqrt{12}\)로 작아져 상쇄된다. \(\text{SR}\sqrt n\)이 결국 같은 값이므로 이득이 없다. 표준오차를 줄이는 것은 관측 수가 아니라 기간의 길이다.

덧붙일 주의. 위 공식은 독립·정규를 전제한다. 실제 수익률은 꼬리가 두껍고 자기상관이 있으므로 표준오차가 더 크다. 로의 보정식이 첨도와 자기상관을 반영한 식을 준다.

구조. 펀드 \(i\)의 수익률이 \(R_i \sim N(\mu,\sigma^2)\)이고, 성과가 나쁘면 청산되어 자료에서 사라진다고 하자. 단순화해 \(R_i > c\)인 펀드만 관측된다면

로 역밀스비만큼 위로 치우친다.

수치. \(\mu=6\%\), \(\sigma=15\%\), 하위 20%가 청산된다면 \(c\)가 20 분위수이므로 \(z=-0.842\)이고 \(\lambda(-0.842) = 0.35\)이므로

5%포인트 넘게 부풀려진다. 실증 연구들이 보고하는 생존 편향의 크기(연 1~3%포인트)보다 크지만, 청산 기준을 강하게 잡았기 때문이다.

깨진 가정. 표본평균이 불편이려면 관측값이 모집단의 무작위 표본이어야 한다. 여기서는 결과값 자체가 표본에 포함될지를 결정하므로 이 조건이 깨진다. 절단표본이며, 앞서 본 절단분포의 가능도 논의와 같은 구조다.

다른 이름들. 생존 편향은 선택 편향의 한 형태다. 같은 논리가

• 구인공고의 평균 연봉(성사된 것만 보임),
• 임상시험 결과의 출판 편향(유의한 것만 출판),
• 전쟁에서 돌아온 비행기의 탄흔(월드의 유명한 사례)

에 나타난다.

대처. 청산된 펀드를 포함한 자료를 쓰거나(생존 편향 없는 데이터베이스), 절단을 모형에 넣거나(헤크먼 보정, 토빗), 최소한 편향의 방향과 크기를 어림해 보고한다. "우리 자료는 생존 편향이 있다"고 밝히는 것만으로도 독자가 결과를 올바르게 할인할 수 있다.

설정. 연 변동성이 \(\sigma_a\)이고 수익률이 독립이라 하자. 빈도 \(k\)(연간 관측 수)로 관측하면 한 기간 변동성이 \(\sigma_a/\sqrt k\)이고 관측 수가 \(n = kT\)다(\(T\)는 연수).

연율화된 평균의 표준오차. 한 기간 평균의 표준오차가 \((\sigma_a/\sqrt k)/\sqrt{kT}\)이고, 연율화하려면 \(k\)를 곱하므로

빈도 \(k\)가 완전히 사라진다.

도움이 되지 않는다. 자료를 250배로 늘려도 평균 추정의 정밀도가 그대로다. 평균에 관한 정보는 관측 횟수가 아니라 기간의 길이에만 들어 있다.

직관적으로, \(\hat\mu_{\text{연율}} = (r_{\text{누적}})/T\)인데 누적 수익률은 어떤 빈도로 쪼개 보든 같은 값이다. 중간을 잘게 나누어도 시작과 끝은 변하지 않는다.

그럼에도 고빈도 자료가 유용한 곳. 변동성 추정이다. \(\hat\sigma^2\)의 상대 표준오차가 \(\sqrt{2/n}\)이므로 관측 수에 직접 의존한다. 일별 자료로 연 변동성을 추정하면 연별 자료보다 \(\sqrt{250}=15.8\)배 정밀하다. 실현변동성 개념이 여기서 나온다.

교훈. 평균은 기간이, 변동성은 빈도가 정한다. 이 비대칭이 금융 계량의 근본적인 제약이며, "기대수익률은 추정하기 어렵고 위험은 상대적으로 쉽다"는 실무의 통념을 정량적으로 설명한다.