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Mood 중앙값검정

Mood 중앙값검정은 독립인 두 집단 이상을 비교하는 가장 단순한 비모수 검정 중 하나이다. 각 관측값을 전체 중앙값보다 위인지 아래인지로 분류한 뒤 그 분할표에 카이제곱 독립성 검정을 적용하여 집단들이 같은 중앙값을 갖는지 검정한다.

개념이 명료하고 이상치에 극도로 로버스트하지만, 각 관측값이 중앙값에서 얼마나 떨어져 있는지에 대한 정보를 모두 버리므로 Kruskal-Wallis 검정보다 대체로 검정력이 낮다.

가설

\[ H_0 \colon k \text{개 집단의 중앙값이 모두 같다} \]
\[ H_a \colon \text{적어도 한 집단의 중앙값이 다르다} \]

절차

1단계. 크기 \(N = \sum_{i=1}^{k} n_i\)인 합친 표본의 전체 중앙값 \(\tilde{x}\)를 계산한다.

2단계. 각 집단에서 전체 중앙값보다 위인 관측값과 아래(또는 같은) 관측값의 개수를 센다. 이렇게 \(2 \times k\) 분할표가 만들어진다.

집단 1 집단 2 \(\cdots\) 집단 \(k\) 합계
\(\tilde{x}\) 위 \(a_1\) \(a_2\) \(\cdots\) \(a_k\) \(A\)
\(\tilde{x}\) 아래 \(b_1\) \(b_2\) \(\cdots\) \(b_k\) \(B\)
합계 \(n_1\) \(n_2\) \(\cdots\) \(n_k\) \(N\)

\(\tilde{x}\)와 정확히 같은 관측값은 보통 "아래 또는 같음" 범주에 넣지만 관례가 다양하다.

3단계. 분할표에 Pearson 카이제곱 검정을 적용한다.

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \left[\frac{(a_i - E_{a_i})^2}{E_{a_i}} + \frac{(b_i - E_{b_i})^2}{E_{b_i}}\right] \]

여기서 \(H_0\) 아래의 기대도수는

\[ E_{a_i} = \frac{n_i \times A}{N}, \qquad E_{b_i} = \frac{n_i \times B}{N} \]

이다.

4단계. \(H_0\) 아래에서 검정통계량은 근사적으로

\[ \chi^2 \sim \chi^2_{k-1} \]

을 따른다.

보기 1. 기대도수가 모두 3 이다. 세 가지 식단을 8주간의 체중 감량(kg)으로 비교한다.

식단 A (\(n_1 = 6\)): 3.2, 4.5, 2.8, 5.1, 3.9, 4.2

식단 B (\(n_2 = 6\)): 1.5, 2.0, 3.0, 2.5, 1.8, 2.2

식단 C (\(n_3 = 6\)): 4.0, 5.5, 3.5, 6.0, 4.8, 5.0

(1) 위 네 단계를 밟아 전체 중앙값, 분할표, \(\chi^2\), \(p\) 값을 손으로 구하시오.

(2) 기대도수가 모두 \(3\) 으로 "\(E \geq 5\)" 라는 흔한 규칙에 못 미친다. 주변합이 고정된 \(2 \times 3\) 표를 전부 열거해 정확 p-값을 구하고 \(\chi^2_2\) 근사와 견주시오.

풀이

(1) 네 단계.

1단계. 합친 표본을 정렬한다: 1.5, 1.8, 2.0, 2.2, 2.5, 2.8, 3.0, 3.2, 3.5, 3.9, 4.0, 4.2, 4.5, 4.8, 5.0, 5.1, 5.5, 6.0.

\(N = 18\)이므로 전체 중앙값은 9번째와 10번째 값의 평균이다.

\[ \tilde{x} = \frac{3.5 + 3.9}{2} = 3.7 \]

2단계. \(\tilde{x} = 3.7\) 위·아래를 센다.

식단 A 식단 B 식단 C 합계
3.7 위 4 0 5 9
3.7 아래 2 6 1 9
합계 6 6 6 18

3단계. 기대도수는 모두 \(E = 6 \times 9/18 = 3\)이다.

\[ \chi^2 = \frac{(4-3)^2}{3} + \frac{(0-3)^2}{3} + \frac{(5-3)^2}{3} + \frac{(2-3)^2}{3} + \frac{(6-3)^2}{3} + \frac{(1-3)^2}{3} \]
\[ = \frac{1 + 9 + 4 + 1 + 9 + 4}{3} = \frac{28}{3} \approx 9.33 \]

4단계. \(\chi^2_2\)와 비교한다: \(P(\chi^2_2 > 9.33) = 0.0094\).

from scipy import stats
A = [3.2, 4.5, 2.8, 5.1, 3.9, 4.2]
B = [1.5, 2.0, 3.0, 2.5, 1.8, 2.2]
C = [4.0, 5.5, 3.5, 6.0, 4.8, 5.0]
print(stats.median_test(A, B, C))
# statistic=9.3333, pvalue=0.0094036, median=3.7,
# table=[[4 0 5]
#        [2 6 1]]

출력:

MedianTestResult(statistic=9.333333333333334, pvalue=0.009403562551495204, median=3.7, table=array([[4, 0, 5],
       [2, 6, 1]]))

\(\alpha = 0.05\)에서 \(H_0\)을 기각한다. 식단들의 중앙값 체중 감량이 다르다는 유의한 증거가 있다. 식단 B가 가장 효과가 낮고(6개 중 0개가 전체 중앙값 위), 식단 C가 가장 효과가 높다(6개 중 5개).

(2) 표가 37 가지뿐이고 \(\chi^2\) 은 여섯 값만 갖는다. 주변합이 고정되어 있다 — 열합은 \(6, 6, 6\) 이고 행합은 \(9, 9\) 다. 그러므로 첫 행 \((a, b, c)\) 만 정하면 표가 결정되고, 조건은

\[ a + b + c = 9, \qquad 0 \leq a, b, c \leq 6 \]

뿐이다. 그런 \((a,b,c)\) 는 37 가지다. \(H_0\) 아래에서 "위" 아홉 개가 열여덟 자리 가운데 어디로 가는지는 모두 같은 확률이므로

\[ P(a, b, c) = \frac{\binom{6}{a}\binom{6}{b}\binom{6}{c}}{\binom{18}{9}}, \qquad \binom{18}{9} = 48{,}620 \]

이다(다변량 초기하분포). 기대도수가 모두 \(3\) 이고 둘째 행이 첫 행의 보수(\(6-a\) 등)이므로

\[ \chi^2 = \frac{1}{3}\sum\bigl[(a-3)^2 + (3-a)^2 + \cdots\bigr] = \frac{2}{3}\left[(a-3)^2 + (b-3)^2 + (c-3)^2\right] \]

로 간단해진다. 관측값 \((4, 0, 5)\) 에서 \(\tfrac23(1 + 9 + 4) = \tfrac{28}{3}\) 로 맞는다.

\(u = a-3\) 등으로 두면 \(u + v + w = 0\) 이고 \(-3 \leq u,v,w \leq 3\) 이다. 이 조건에서 \(u^2+v^2+w^2\) 가 가질 수 있는 값은 \(0, 2, 6, 8, 14, 18\) 여섯 개뿐이므로 \(\chi^2\) 도 여섯 값만 갖는다.

\(\chi^2\) 그 값을 주는 표 \((a,b,c)\) 의 예 정확 \(P(\chi^2 \geq \cdot)\) \(\chi^2_2\) 근사
\(0\) \((3,3,3)\) 1.000000 1.000000
\(4/3\) \((4,2,3)\) 0.835459 0.513417
\(4\) \((4,4,1)\) 0.280132 0.135335
\(16/3\) \((5,1,3)\) 0.113534 0.069483
\(28/3\) \((4,0,5)\) 0.024681 0.009404
\(12\) \((6,3,0)\) 0.002468 0.002479

관측값의 정확 p-값은 \(1200/48620 = 60/2431 = 0.024681\) 이고, \(\chi^2_2\) 근사의 \(0.009404\) 는 그 \(0.381\) 배 — 곧 참값이 근사의 2.6배다. 근사가 위험한 방향으로 틀렸다: p-값을 작게 보고하므로 유의성을 과장한다. 기대도수가 \(3\) 밖에 되지 않는 자리에서 "\(E \geq 5\)" 규칙을 무시한 대가다.

명목수준별 실제 수준을 보면 이산성이 더 뚜렷하다.

명목 \(\alpha\) \(\chi^2_2\) 임계값 실제 수준 실제/명목
0.10 4.6052 0.113534 1.135
0.05 5.9915 0.024681 0.494
0.01 9.2103 0.024681 2.468

\(\alpha = 0.05\) 와 \(\alpha = 0.01\) 의 임계값 사이에 도달 가능한 \(\chi^2\) 값이 하나도 없으므로 두 검정의 기각역이 똑같고 실제 수준도 똑같이 \(0.0247\) 이다. 그래서 \(\alpha = 0.01\) 을 요구하면 실제로는 \(0.0247\) 짜리 검정, 곧 명목의 2.5배를 돌리게 된다.

결론. 이 자료에서 \(\alpha = 0.05\) 판정은 안전하지만(\(0.0247 < 0.05\)), 보고해야 할 p-값은 \(0.0094\) 가 아니라 \(0.0247\) 이다. \(2 \times k\) 표에서 기대도수가 작으면 위처럼 주변합을 고정해 직접 열거하거나 scipy.stats.permutation_test 로 정확 p-값을 구해야 한다.

import numpy as np
from fractions import Fraction
from math import comb

N, row_above = 18, 9
total = comb(N, row_above)
tables = []
for a in range(7):
    for b in range(7):
        c = row_above - a - b
        if 0 <= c <= 6:
            count = comb(6, a) * comb(6, b) * comb(6, c)
            T = np.array([[a, b, c], [6 - a, 6 - b, 6 - c]])
            E = np.outer(T.sum(1), T.sum(0)) / N
            tables.append((a, b, c, count, ((T - E) ** 2 / E).sum()))
print(f"가능한 표 {len(tables)} 가지,  가지수 합 {sum(t[3] for t in tables)}"
      f" = C(18,9) = {total}")

chi_vals = sorted({round(t[4], 6) for t in tables})
print(f"chi2 가 가질 수 있는 값 {chi_vals}")
print("\n  chi2      정확 p     chi2_2 근사")
for v in chi_vals:
    exact = sum(t[3] for t in tables if t[4] >= v - 1e-9) / total
    print(f"{v:>8.4f}  {exact:>10.6f}  {stats.chi2.sf(v, 2):>12.6f}")

obs = 28 / 3
hit = sum(t[3] for t in tables if t[4] >= obs - 1e-9)
print(f"\n관측 chi2 = 28/3 = {obs:.4f}")
print(f"  정확   p = {hit}/{total} = {Fraction(hit, total)} = {hit / total:.6f}")
print(f"  chi2_2 p = {stats.chi2.sf(obs, 2):.6f}"
      f"  ->  근사/정확 = {stats.chi2.sf(obs, 2) / (hit / total):.3f}")

print("\n명목     임계값   실제 수준   실제/명목")
for alpha in (0.10, 0.05, 0.01):
    crit = stats.chi2.isf(alpha, 2)
    size = sum(t[3] for t in tables if t[4] >= crit - 1e-9) / total
    print(f"{alpha:>6}  {crit:>8.4f}  {size:>10.6f}  {size / alpha:>9.3f}")

출력:

가능한 표 37 가지,  가지수 합 48620 = C(18,9) = 48620
chi2 가 가질 수 있는 값 [0.0, 1.333333, 4.0, 5.333333, 9.333333, 12.0]

  chi2      정확 p     chi2_2 근사
  0.0000    1.000000      1.000000
  1.3333    0.835459      0.513417
  4.0000    0.280132      0.135335
  5.3333    0.113534      0.069483
  9.3333    0.024681      0.009404
 12.0000    0.002468      0.002479

관측 chi2 = 28/3 = 9.3333
  정확   p = 1200/48620 = 60/2431 = 0.024681
  chi2_2 p = 0.009404  ->  근사/정확 = 0.381

명목     임계값   실제 수준   실제/명목
   0.1    4.6052    0.113534      1.135
  0.05    5.9915    0.024681      0.494
  0.01    9.2103    0.024681      2.468

가지수의 합이 \(\binom{18}{9} = 48620\) 으로 정확히 떨어지는 것이 열거가 빠짐없다는 검산이다. 그리고 손으로 따진 여섯 개의 \(\chi^2\) 값과 정확 p-값이 모두 맞는다.

표의 맨 아래 줄 \(\chi^2 = 12\) 에서 정확 \(0.002468\) 과 근사 \(0.002479\) 가 거의 같은 것이 재미있다. 근사가 이 한 점에서만 잘 맞는다 — 꼬리의 끝에서 우연히 교차한 것이고, 그 바로 앞 \(\chi^2 = 28/3\) 에서는 2.6배 어긋난다. 이산분포를 연속곡선으로 덮을 때 두 곡선이 교차하는 지점이 있는 것은 당연하며, 거기서 잘 맞는 것을 근사가 쓸 만하다는 증거로 읽으면 안 된다.

\(2 \times k\) 표에는 Yates 보정을 쓰지 않는다

Yates 연속성 보정은 \(2 \times 2\) 표에만 적용된다. 여기서는 \(k = 3\)이라 \(2 \times 3\) 표이므로 보정 없이 계산하며, scipy.stats.median_test도 보정을 적용하지 않는다.

\(k = 2\)일 때는 이표본 비모수 검정에서 보았듯 보정 여부가 결과를 크게 바꿀 수 있으므로 주의해야 한다.

장점과 한계

장점 한계
계산이 매우 간단하다 검정력이 낮다(크기 정보를 버린다)
이상치에 극도로 로버스트하다 중앙값 차이만 탐지하고 산포는 보지 못한다
순서형 자료에도 쓸 수 있다 기대도수가 작으면 카이제곱 근사가 나쁘다
\(k > 2\)로 자연스럽게 확장된다 대체로 Kruskal-Wallis에 밀린다

식단 자료의 중앙값 분할과 두 검정의 검정력 비교

"검정력이 낮다"를 말로만 두지 말고 값을 붙여 보자.

(가)가 이 검정의 시야다. 속이 빈 점은 전체 중앙값 \(3.7\)보다 아래, 속이 찬 점은 위이다. Mood 검정이 아는 것은 이 색칠 여부가 전부다. 식단 C의 \(6.0\)과 \(3.9\)는 둘 다 그냥 "위 하나"이고, 식단 B의 \(1.5\)와 \(3.0\)은 둘 다 그냥 "아래 하나"이다. 그래도 식단 B가 \(0 : 6\)으로 완전히 한쪽에 몰려 있어 신호가 강하고, \(\chi^2 = 9.33\), \(p = 0.0094\)로 기각에 이른다. 같은 자료에서 Kruskal-Wallis는 \(H = 11.80\), \(p = 0.0027\)을 준다.

(나)가 그 격차를 일반화한 것이다. 평균이 \(0\), \(\delta\), \(2\delta\)인 정규 세 집단에서 집단당 \(n = 15\)를 뽑아 두 검정의 기각률을 쟀다. \(\delta = 0\)에서는 둘 다 \(0.045\) 근처로 크기가 맞지만, 효과가 생기면 파란 곡선이 줄곧 위에 있다. \(\delta = 0.4\)에서 \(0.406\) 대 \(0.283\), \(\delta = 0.6\)에서 \(0.786\) 대 \(0.596\)이다. 검정력 \(0.80\)에 이르는 지점으로 환산하면 Mood 검정은 같은 효과를 잡는 데 표본이 대략 \(1.5\)배 필요하다.

그렇다면 Mood 검정을 왜 배우는가. 이 검정이 요구하는 정보가 "각 관측값이 기준선 위인가 아래인가"뿐이기 때문이다. 순위를 매길 수 없는 자료 --- 검출한계 밖이라 "\(> 100\)"으로만 기록된 측정값, 구간으로만 보고된 소득 --- 에서도 그대로 작동한다. 검정력을 \(1.5\)배의 표본으로 사는 대신 순위를 매길 수 있다는 가정을 통째로 버리는 거래이다.

낮은 검정력

Mood 중앙값검정은 Kruskal-Wallis 검정보다 검정력이 상당히 낮다. 이상치 저항성이 무엇보다 중요하거나 자료가 의미 있는 임계값을 기준으로 자연스럽게 이분되는 경우에 주로 써야 한다. 일상적인 비교에는 Kruskal-Wallis 검정이 낫다.

언제 쓰는가

  • 극단적인 이상치가 있어 순위 기반 검정조차 영향을 받을 수 있을 때(실무에서는 드물다).
  • 빠른 탐색적 분석이 필요하고 뒤이어 형식적인 순위 기반 검정을 할 때.
  • 연구 질문이 구체적으로 중앙값에 관한 것이고 분할표 구조가 직관적인 요약이 될 때.

연습문제

연습문제 1. 본문의 식단 자료에 Kruskal-Wallis 검정을 적용하여 Mood 중앙값검정과 비교하라. 어느 쪽이 더 작은 \(p\)값을 주는가?

풀이 
from scipy import stats
A = [3.2, 4.5, 2.8, 5.1, 3.9, 4.2]
B = [1.5, 2.0, 3.0, 2.5, 1.8, 2.2]
C = [4.0, 5.5, 3.5, 6.0, 4.8, 5.0]
print(stats.median_test(A, B, C).pvalue)   # 0.009404
print(stats.kruskal(A, B, C).pvalue)       # 0.002738
print(stats.f_oneway(A, B, C).pvalue)      # 1.20e-04

출력:

0.009403562551495204
0.002737843272588475
0.00011973857254105124
검정 통계량 \(p\)값
Mood 중앙값 \(\chi^2 = 9.33\) \(0.00940\)
Kruskal-Wallis \(H = 11.80\) \(0.00274\)
일원분산분석 \(F = 17.5\) \(1.2 \times 10^{-4}\)

사용하는 정보량 순서대로 \(p\)값이 작아진다.

  • Mood는 각 관측값을 "위/아래"라는 이진값으로 뭉갠다. \(18\)개 자료점에서 남는 정보가 \(2 \times 3\) 표의 6개 숫자뿐이다.
  • Kruskal-Wallis는 \(18\)개의 순위를 모두 쓴다.
  • 분산분석은 원값을 쓴다. 이 자료는 각 집단이 거의 정규이고 등분산이라 분산분석에 매우 유리하다.

Mood 검정이 \(\chi^2\)의 자유도를 \(k-1 = 2\)로 유지하면서도 정보를 크게 잃으므로 Kruskal-Wallis보다 \(p\)값이 3.4배 커진다.

실무 결론: 세 검정 모두 \(\alpha = 0.05\)에서 기각하므로 이 자료에서는 어느 것을 써도 같다. 그러나 효과가 더 약했다면 Mood 검정만 놓쳤을 것이다.

연습문제 2. Mood 중앙값검정의 정규분포 아래 ARE는 얼마인가? 검정력을 모의실험으로 확인하고 Kruskal-Wallis와 비교하라.

풀이

Mood 중앙값검정은 각 집단에서 "전체 중앙값을 넘는 비율"을 비교하는 것이므로 본질적으로 부호검정의 다집단 확장이다. 따라서 정규분포 아래 일원분산분석 대비 ARE는 부호검정과 같은

\[ \text{ARE} = \frac{2}{\pi} \approx 0.637 \]

이다. Kruskal-Wallis의 \(3/\pi \approx 0.955\)보다 훨씬 낮다.

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(0)
B = 1500

for n in (10, 20, 40):
    pm, pk, pf = [], [], []
    for _ in range(B):
        g1 = rng.normal(0.0, 1, n)
        g2 = rng.normal(0.5, 1, n)
        g3 = rng.normal(1.0, 1, n)
        pm.append(stats.median_test(g1, g2, g3).pvalue)
        pk.append(stats.kruskal(g1, g2, g3).pvalue)
        pf.append(stats.f_oneway(g1, g2, g3).pvalue)
    f = lambda p: round(np.mean(np.array(p) < .05), 3)
    print(n, f(pm), f(pk), f(pf))

출력:

10 0.256 0.428 0.459
20 0.575 0.757 0.78
40 0.885 0.97 0.982

처리 효과가 \((0, 0.5, 1.0)\)인 세 정규집단의 검정력:

집단당 \(n\) Mood 중앙값 Kruskal-Wallis 일원분산분석
10 0.256 0.428 0.459
20 0.575 0.757 0.780
40 0.885 0.970 0.982

Kruskal-Wallis가 분산분석에 거의 붙어 있는 반면(\(0.757\) 대 \(0.780\), 3% 손실) Mood 중앙값검정은 뚜렷이 뒤처진다(\(0.575\), 26% 손실).

\(n = 20\)에서 Kruskal-Wallis가 도달한 검정력 \(0.757\)을 Mood 검정으로 얻으려면 \(n = 30\) 정도가 필요하다. ARE 비 \(0.637/0.955 = 0.667\)이 예측하는 배수 \(1.5\)와 대체로 부합한다.

연습문제 3. 전체 중앙값과 정확히 같은 관측값을 어떻게 처리하느냐가 결과를 바꿀 수 있다. scipy.stats.median_test의 ties 인자가 제공하는 세 가지 방식을 이산자료로 비교하라.

풀이 
import numpy as np
from scipy import stats
# 세 집단, 값이 1~5 인 Likert 자료
g1 = [3, 3, 3, 4, 4, 5]
g2 = [2, 3, 3, 3, 4, 4]
g3 = [1, 2, 3, 3, 3, 3]
print(np.median(g1 + g2 + g3))     # 3.0

for t in ("below", "above", "ignore"):
    r = stats.median_test(g1, g2, g3, ties=t)
    print(t, round(float(r.statistic), 4), round(float(r.pvalue), 4))
    print(r.table)

출력:

3.0
below 3.8769 0.1439
[[3 2 0]
 [3 4 6]]
above 2.4 0.3012
[[6 5 4]
 [0 1 2]]
ignore 5.1556 0.0759
[[3 2 0]
 [0 1 2]]
ties \(\chi^2\) \(p\) 분할표
"below" (기본값) 3.877 0.144 \(\begin{smallmatrix}3&2&0\\3&4&6\end{smallmatrix}\)
"above" 2.400 0.301 \(\begin{smallmatrix}6&5&4\\0&1&2\end{smallmatrix}\)
"ignore" 5.156 0.076 \(\begin{smallmatrix}3&2&0\\0&1&2\end{smallmatrix}\)

\(18\)개 관측값 중 \(10\)개가 전체 중앙값 \(3\)과 같다. 처리 방식에 따라 \(\chi^2\)이 \(2.4\)에서 \(5.16\)까지, \(p\)값이 \(0.301\)에서 \(0.076\)까지 4배 범위로 움직인다.

"ignore"의 분할표는 자료가 \(18\)개에서 \(8\)개로 줄어든 것임에 유의하라. 통계량이 가장 크게 나오지만 표본크기를 절반 이상 버린 결과라 신뢰하기 어렵다.

이것이 Mood 중앙값검정의 근본적 약점이다. 자료가 이산적일수록 중앙값과 같은 값이 많아지고, 임의의 규칙이 결론을 좌우한다.

Kruskal-Wallis는 이 문제에서 훨씬 자유롭다. 중간순위라는 원칙적인 동점 처리 방식이 있고 보정계수로 분산을 조정하기 때문이다.

print(stats.kruskal(g1, g2, g3))   # H=4.9342, p=0.08483

출력:

KruskalResult(statistic=4.93421605716687, pvalue=0.0848298300499718)

이 자료에서는 어느 방법도 \(\alpha = 0.05\)에서 기각하지 않으므로 결론이 갈리지는 않는다. 그러나 \(p\)값의 요동 폭 자체가 경고 신호이다.

권고: 값의 종류가 적은 순서형 자료(Likert 척도, 등급)에는 Mood 중앙값검정을 쓰지 말라.

연습문제 4. 중앙값이 모두 같지만 산포가 크게 다른 세 집단에서 Mood 중앙값검정과 Kruskal-Wallis 검정의 제1종 오류율을 확인하라. 두 검정이 정말로 명목수준을 지키는가?

풀이 
import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(1)
B = 2000

for n in (20, 50, 100):
    rej_m = rej_k = 0
    for _ in range(B):
        g1 = rng.normal(0, 1, n)
        g2 = rng.normal(0, 3, n)
        g3 = rng.normal(0, 9, n)
        rej_m += stats.median_test(g1, g2, g3).pvalue < 0.05
        rej_k += stats.kruskal(g1, g2, g3).pvalue < 0.05
    print(n, rej_m / B, rej_k / B)

출력:

20 0.092 0.0745
50 0.102 0.0855
100 0.117 0.0785

세 집단의 중앙값이 모두 0이고 표준편차만 \(1, 3, 9\)로 다르다.

집단당 \(n\) Mood 중앙값 Kruskal-Wallis
20 0.092 0.075
50 0.102 0.086
100 0.117 0.079

두 검정 모두 명목수준을 넘는다. 중앙값이 정확히 0으로 같은데도 Mood 검정은 \(9\)--\(12\%\), Kruskal-Wallis는 \(8\)--\(9\%\)를 기각한다.

Mood 검정이 왜 무너지는지가 특히 의외이다. "중앙값만 본다"면 문제가 없어야 하지 않은가?

핵심은 전체 중앙값이 모수가 아니라 추정값이라는 데 있다. \(\chi^2\) 검정은 분할표의 행 합이 \(N/2\)로 고정되었을 때 열 도수가 초기하분포를 따른다고 가정한다. 이 가정은 세 집단이 같은 분포일 때만 성립한다. 분산이 다르면 표본 전체 중앙값의 변동이 각 집단의 도수와 다른 방식으로 상관되어 초기하 귀무분포가 깨진다.

구체적으로, 표본 전체 중앙값은 분산이 작은 집단(\(\sigma = 1\))의 관측값들에 의해 주로 결정된다. 그 집단의 표본이 우연히 오른쪽으로 치우치면 전체 중앙값이 올라가고, 그러면 분산이 큰 집단들의 "위" 도수가 함께 내려간다. 이 유도된 상관이 도수의 변동을 부풀린다.

Mood 검정이 Kruskal-Wallis보다 더 나쁘고 \(n\)이 커질수록 악화되는 것도 이 때문이다.

정리: "Mood 중앙값검정은 중앙값만 검정하므로 모양 차이에 안전하다"는 흔한 설명은 정확하지 않다. 등분산성이 크게 깨지면 두 검정 모두 신뢰할 수 없다. 이런 상황에서는 각 집단 중앙값의 붓스트랩 신뢰구간을 비교하는 편이 정직하다.

정리하며

Mood 중앙값검정은 전체 중앙값 위·아래 도수의 \(2 \times k\) 분할표를 만들고 카이제곱 독립성 검정을 적용하여 집단 중앙값을 비교한다. 극도의 단순함과 이상치 로버스트성이 낮은 통계적 검정력과 맞바꾸어진다. 대부분의 응용에서 Kruskal-Wallis 검정이 더 강력한 대안이며, Mood 중앙값검정은 이상치 저항성이 최우선인 상황에 아껴 두는 것이 좋다.