15장: 분산 검정¶

개요¶

분산 검정은 집단이나 모집단 사이에서 관찰된 변동성의 차이가 통계적으로 유의한지 평가한다. 이 검정들은 통계적 추론의 기본 도구이며, 분산분석이나 회귀분석 같은 다른 방법의 가정을 검증하는 데 결정적인 역할을 한다. 이 장은 고전적 모수적 접근(카이제곱, F 검정, Bartlett 검정)에서 로버스트 대안(Levene, Brown-Forsythe, Fligner-Killeen)을 거쳐 현대적 계산 방법과 Bayes 기법에 이르는 분산 검정 방법을 폭넓게 다룬다.

장의 구성¶

15.1 분산 검정 입문¶

동기와 분산 검정 지형의 개관.

왜 분산을 검정하는가 — 분산분석에서 등분산성을 확인하고, 회귀 가정을 검증하며, 금융 상품 간 변동성을 비교하는 데 분산 검정이 갖는 실무적 중요성을 설명한다.
분산 검정 개관 — 주요 분산 검정(카이제곱, F 검정, Bartlett, Levene, Brown-Forsythe, Fligner-Killeen)의 검정통계량, 분포 가정, 적절한 사용 상황을 훑는다.
분산 검정의 공통 가정 — 독립성, 확률표집, (모수적 검정의 경우) 정규성이라는 공통 요구조건과 이를 위반했을 때의 결과를 논한다.

15.2 분산에 대한 카이제곱 검정¶

모집단 분산이 지정된 값과 같은지 검정하는 일표본 검정.

일표본 카이제곱 분산 검정 — 통계량 \(\chi^2 = (n-1)s^2 / \sigma_0^2\)으로 \(H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\)을 검정한다. 단측과 양측 형태 및 보기를 다룬다.
유도와 분포이론 — 정규성 아래 표본분산의 분포에서 검정통계량이 어떻게 나오는지 보이고, 자유도 \(n-1\)인 카이제곱분포와 연결한다.
\(\sigma^2\)의 신뢰구간 — 카이제곱 검정을 뒤집어 모분산과 모표준편차의 신뢰구간을 구성한다.

15.3 두 분산 비교를 위한 F 검정¶

표본분산의 비에 기반한 이표본 검정.

이표본 F 검정 — 통계량 \(F = s_1^2 / s_2^2\)으로 \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\)을 검정한다. 두 모집단이 정규이면 귀무가설 아래에서 \(F\) 분포를 따른다.
F 분포와 자유도 — \(F\) 분포의 성질과 분자·분모 자유도가 어떻게 정해지는지 자세히 다룬다.
비정규성에 대한 민감도 — F 검정이 정규성 이탈에 매우 민감하며 비정규 자료에서 제1종 오류율을 크게 부풀리는 경우가 많음을 경고한다.

15.4 Bartlett 검정¶

분산의 동질성에 대한 다집단 모수적 검정.

분산의 동일성에 대한 Bartlett 검정 — 정규성 아래에서 \(\chi^2_{k-1}\) 분포를 따르는 합동분산 기반 통계량으로 \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \cdots = \sigma_k^2\)을 검정한다.
유도와 카이제곱 근사 — 합동분산과 개별분산의 비에서 Bartlett 통계량을 유도하고 작은 표본을 위한 보정인자를 다룬다.
비정규성 아래의 한계 — Bartlett 검정이 비정규성에 매우 민감하여 정규성 가정이 의심스러울 때 신뢰할 수 없음을 강조한다.

15.5 로버스트 검정¶

분산 비교를 위한 분포무관·이상점 저항 대안들.

Levene 검정 — 각 관측값과 집단평균의 절대편차에 일원분산분석을 수행하여 분산의 동일성을 검정한다. 중간 정도의 정규성 이탈에 로버스트하다.
Brown-Forsythe 검정 — 집단평균 대신 집단중앙값으로부터의 편차를 쓰는 Levene 검정의 변형으로, 치우친 분포와 이상점에 추가적인 로버스트성을 제공한다.
Fligner-Killeen 검정 — 집단중앙값으로부터의 절대편차의 순위를 쓰는 비모수 검정으로, 세 방법 중 가장 강한 로버스트성을 제공한다.
로버스트 방법의 비교 — 여러 분포 모양에 걸쳐 Levene, Brown-Forsythe, Fligner-Killeen을 제1종 오류 조절, 검정력, 로버스트성 측면에서 나란히 평가한다.

15.6 고급 방법¶

분산 비교를 위한 계산적·Bayes 접근.

붓스트랩 분산 검정 — 재표집으로 분산비나 분산차의 귀무분포를 구성하여 분포 가정 없이 타당한 추론을 제공한다.
Bayes 분산 검정 — 분산 모수에 사전분포(보통 역감마)를 두어 분산 가설에 대한 사후확률과 Bayes 인자를 계산한다.
분산에 대한 가능도비 검정 — 귀무가설과 대립가설 아래의 최대가능도를 비교하여 점근적으로 카이제곱을 따르는 검정통계량을 제공한다.

15.7 응용¶

분산 검정이 필수적인 실무 사례.

분산분석 등분산성 사전검정 — 분산분석을 수행하기 전에 Levene 검정이나 Bartlett 검정으로 등분산 가정을 확인하고, 분산이 다르면 Welch 분산분석을 대안으로 쓴다.
회귀에서의 분산 검정 — 회귀 잔차에 분산 검정(예: Breusch-Pagan)을 적용하여 이분산을 탐지하고, 가중최소제곱과 로버스트 표준오차 같은 처방을 다룬다.
금융 변동성 비교 — 서로 다른 자산, 포트폴리오, 기간의 변동성을 비교하여 위험 차이를 평가하고 포트폴리오 구성 결정에 활용한다.

15.8 코드¶

완전한 Python 구현.

분산에 대한 카이제곱 검정 — 임계값과 \(p\)값 계산을 포함한 일표본 분산 검정.
분산 동일성에 대한 F 검정 — 기각역 시각화를 포함한 이표본 F 검정 구현.
Bartlett 검정 — scipy와 직접 계산으로 수행하는 다집단 동질성 검정.
Levene 검정 — 평균 기반 편차를 쓰는 로버스트 분산 동일성 검정.
카이제곱분포 — 여러 자유도에 대한 카이제곱분포 시각화.
로버스트 분산 검정 비교 — 같은 자료에 대한 Levene, Brown-Forsythe, Fligner-Killeen의 나란한 비교.
F 검정 꼬리 영역 시각화 — 기각역을 음영으로 표시한 F 분포 그림.
F 검정의 정규성 민감도와 로버스트 대안 — 비정규성 아래에서 F 검정의 제1종 오류가 부풀려지고 로버스트 대안은 올바르게 작동함을 보이는 모의실험.
F 검정 검정력 모의실험 — 분산비와 표본크기의 함수로서 F 검정 검정력에 대한 몬테카를로 연구.
Bartlett 검정 비정규성 민감도 — 치우쳤거나 꼬리가 두꺼운 자료에서 Bartlett 검정의 나쁜 성능을 보이는 모의실험.
Levene 검정 정규 대 치우친 분포 모의실험 — 정규분포와 비정규분포에 걸친 Levene 검정의 성능 비교.
Brown-Forsythe 검정 (scipy) — scipy의 중앙값 기반 Levene 변형을 이용한 구현.
Fligner-Killeen 검정 (scipy) — 순위 기반 비모수 분산 검정.
붓스트랩 분산 검정 — 분포 가정 없이 분산을 비교하는 재표집 기반 접근.
Bayes 분산 검정 — 켤레 사전분포를 이용한 분산 모수의 사후추론.

15.9 연습문제¶

F 검정의 계산과 해석, Levene 검정의 적용, 고전적 검정과 로버스트 검정 결과의 비교, 분산에 대한 카이제곱 신뢰구간, 검정 결과가 상충할 때의 실무적 의사결정을 다루는 연습문제.

선행 지식¶

이 장은 다음 내용 위에 세워진다.

5장 (표집분포) — 카이제곱, \(F\), 정규분포와 분산에 관한 추론에서의 역할.
8장 (신뢰구간) — 신뢰구간 구성, 특히 카이제곱분포를 이용한 \(\sigma^2\)의 구간.
9장 (가설검정) — 귀무가설과 대립가설, 검정통계량, \(p\)값, 판정규칙이라는 일반적 틀.
14장 (정규성 검정) — 고전적 분산 검정이 요구하는 정규성 가정이 충족되는지 확인하는 방법.

핵심 요약¶

고전적 분산 검정(카이제곱, F 검정, Bartlett)은 정규성 아래에서 강력하지만 비정규 자료에 매우 민감하여, 정규성 가정이 위배되면 오도하는 결과를 내기 쉽다.
로버스트 대안(Levene, Brown-Forsythe, Fligner-Killeen)은 더 넓은 범위의 분포에서 제1종 오류율을 올바르게 유지하므로 정규성이 불확실할 때 선호해야 한다.
Brown-Forsythe 검정(중앙값 기반 Levene)은 대부분의 실무 응용에서 로버스트성과 검정력의 균형이 가장 좋고, Fligner-Killeen은 가장 강한 비모수적 보장을 제공한다.
붓스트랩과 Bayes 방법은 각각 분포 가정을 완전히 피하거나 사전정보를 반영하는 현대적 대안을 제공한다.
분산 검정은 그 자체가 목적이라기보다 분산분석(등분산성), 회귀(오차분산의 일정성), 금융 분석(변동성 비교)의 선행 확인 절차로서 여러 분석 흐름에서 필수적인 단계이다.