Jarque-Bera 검정¶

개요¶

Jarque-Bera 검정은 자료의 두 핵심 특징인 왜도와 첨도를 평가하여 자료가 정규분포를 따르는지 판정하는 통계검정이다. 정규성이 많은 통계 모형과 방법의 결정적 가정인 계량경제학과 금융 응용에서 널리 쓰인다.

가설¶

• 귀무가설 (\(H_0\)): 자료가 정규분포를 따른다.
• 대립가설 (\(H_1\)): 자료가 정규분포를 따르지 않는다.

Jarque-Bera 검정통계량의 계산¶

검정통계량 \(JB\)는 다음 공식으로 계산한다.

여기서

• \(n\)은 표본크기,
• \(S\)는 표본왜도,
• \(K\)는 표본첨도,
• 분모의 6은 왜도와 첨도의 기여를 표준화하는 척도 상수이다.

검정통계량 계산 단계¶

1. 표본평균 계산:

   \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

2. 표본왜도 \(S\) 계산:

   \[ S = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \bar{X}}{\sigma} \right)^3 \]

   여기서 \(\sigma^2\)은 표본분산이다.

   \[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 \]

3. 표본첨도 \(K\) 계산:

   \[ K = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{X_i - \bar{X}}{\sigma} \right)^4 \]

4. Jarque-Bera 통계량 \(JB\) 계산:

   \[ JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K - 3)^2}{4} \right) \]

   이 통계량은 왜도의 제곱과 첨도가 3(정규분포의 첨도)에서 벗어난 정도의 제곱을 표본크기 \(n\)으로 가중하여 결합한다.

p값 유도¶

Jarque-Bera 검정통계량 \(JB\)는 귀무가설 아래에서 자유도 2인 카이제곱(\(\chi^2\)) 분포를 따른다(왜도와 첨도라는 두 성분으로 계산하기 때문이다). \(p\)값을 얻으려면

1. 계산한 \(JB\) 통계량을 자유도 2인 카이제곱분포의 임계값과 비교한다.

2. \(p\)값은 귀무가설(\(H_0\))이 참이라는 가정 아래에서 검정통계량 \(JB\)가 관측값만큼 또는 그보다 더 극단적일 확률이다.

   • \(p\)값이 작으면(보통 유의수준 \(\alpha = 0.05\) 미만) 자료가 정규성에서 유의하게 벗어남을 시사하며 귀무가설을 기각한다.
   • \(p\)값이 크면 귀무가설을 기각할 증거가 부족하다는 뜻이며, 자료가 정규분포에서 왔을 수 있다.

판정 규칙¶

• \(p\)값이 유의수준 \(\alpha\)(예: 0.05)보다 작으면 \(H_0\)을 기각하고 자료가 정규분포를 따르지 않는다고 결론짓는다.
• \(p\)값이 \(\alpha\) 이상이면 \(H_0\)을 기각하지 못하며 자료가 정규분포를 따를 수 있다고 결론짓는다.

해석¶

• \(JB\) 통계량이 크면 자료의 왜도나 첨도(또는 둘 다)가 정규분포에서 유의하게 벗어났다는 뜻이다.
• \(JB\) 통계량이 작으면 표본자료의 왜도와 첨도가 정규분포와 일관된다는 뜻이다.

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(0)

n = 1000

# 주석을 바꿔 가며 정규와 지수를 견주어 볼 수 있다.
data = np.random.normal(0, 1, n)
# data = np.random.exponential(1, n)

# JB 통계량을 정의대로 구한다. 왜도의 제곱과 초과첨도의 제곱을 더하되
# 첨도 쪽에 1/4 을 곱한다. 정규라면 둘 다 0 이므로 JB 도 0 에 가깝다.
skewness_value = stats.skew(data)
kurtosis_value = stats.kurtosis(data)
JB = n / 6 * (skewness_value**2 + kurtosis_value**2 / 4)
print(f"{JB = }")

# scipy 의 결과와 맞는지 확인한다. JB 는 자유도 2 인 카이제곱을 따르지만,
# 그 근사는 표본이 아주 클 때라야 쓸 만하다.
stat, p_value = stats.jarque_bera(data)
print(f"Jarque-Bera Test: Statistic={stat}, p-value={p_value}")

alpha = 0.05
if p_value <= alpha:
    print("Reject H_0: The data is not normally distributed.")
else:
    print("Fail to reject H_0: The data is normally distributed.")

JB = 0.28220016508625234
Jarque-Bera Test: Statistic=0.28220016508625234, p-value=0.8684023954281485
Fail to reject H_0: The data is normally distributed.

카이제곱 근사는 얼마나 맞는가¶

"\(JB\)는 귀무가설 아래에서 \(\chi^2_2\)를 따른다"는 문장에는 보이지 않는 단서가 하나 붙어 있다. 점근적으로 그렇다는 것이다. \(n\)이 얼마나 커야 그 말을 믿을 수 있을까. 아래는 진짜 정규자료에서 \(n = 50\)짜리 표본을 240만 번 뽑아 \(JB\)를 계산한 결과이다.

왼쪽 칸을 보라. 주황 히스토그램(실제 분포)과 파란 곡선(\(\chi^2_2\))이 모양부터 다르다. \(\chi^2_2\)은 0에서 밀도가 가장 높은 지수분포인데, 실제 \(JB\)의 분포는 \(0.3\) 근처에 봉우리를 갖는다. 기각 판정에 쓰이는 95백분위는 \(4.97\)로, \(\chi^2_2\)이 말하는 \(5.991\)보다 한참 작다. 다시 말해 \(5.991\)을 임계값으로 쓰면 실제 유의수준이 \(0.0371\)이 된다. 5%라고 약속한 검정이 3.7%로 굴러가고, 그만큼 검정력을 잃는다.

오른쪽 칸은 같은 사실을 \(p\)값의 언어로 옮긴 것이다. 가로축은 scipy가 \(\chi^2_2\)에서 읽어 내놓는 \(p\)값이고, 세로축은 모의실험으로 잰 진짜 \(p\)값이다. 둘이 같다면 점들이 파선 위에 놓여야 한다. 실제로는 곡선이 파선을 가로지른다. \(p = 0.05\) 언저리에서는 곡선이 파선 아래에 있어 검정이 보수적이지만, 작은 \(p\)값 쪽으로 갈수록 곡선이 파선 위로 크게 벌어진다. \(\chi^2_2\)이 \(p = 0.001\)이라고 말할 때 실제 확률은 \(0.0080\), 곧 여덟 배다. \(p = 0.0005\)에서는 \(0.0066\)으로 열세 배가 된다.

실무적 교훈은 두 가지다. 첫째, 중간 크기 표본에서 \(JB\)가 내놓는 매우 작은 \(p\)값을 액면 그대로 읽지 말라. \(p = 10^{-6}\) 같은 숫자는 근사가 가장 못 미더운 영역에서 나온 것이다. 둘째, 기각 여부 자체가 중요한 상황이라면 \(n\)이 수백 이하일 때는 \(\chi^2_2\) 임계값 대신 모의실험으로 만든 임계값을 쓰거나, 유한표본 보정이 들어간 D'Agostino \(K^2\)을 쓰는 편이 낫다. 다음 절에서 두 검정의 차이를 자세히 본다.

Jarque-Bera 검정과 D'Agostino의 K 제곱 검정¶

Jarque-Bera 검정은 D'Agostino의 \(K^2\) 검정의 근사가 아니다. 두 검정 모두 왜도와 첨도를 살펴 정규성을 평가하지만 검정통계량을 계산하는 방식이 근본적으로 다르다.

핵심 차이¶

Jarque-Bera 검정:

• 표본의 왜도와 첨도를 직접 써서 검정통계량을 계산한다.

• 검정통계량은

  \[ JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K - 3)^2}{4} \right) \]

• 왜도와 첨도를 하나의 검정통계량으로 결합하며, 귀무가설 아래에서 자유도 2인 카이제곱분포를 따른다고 가정한다.

D'Agostino의 \(K^2\) 검정:

• 왜도와 첨도를 각각 독립적인 Z 점수로 변환한다.
  • \(Z_{\text{skewness}}\): 표본왜도를 정규화하는 변환.
  • \(Z_{\text{kurtosis}}\): 표본첨도를 정규화하는 변환.

• 검정통계량은

  \[ K^2 = Z_{\text{skewness}}^2 + Z_{\text{kurtosis}}^2 \]

• Jarque-Bera와 마찬가지로 \(K^2\)도 자유도 2인 카이제곱분포를 따르지만, D'Agostino 검정은 왜도와 첨도에 각각 별도의 변환을 적용하므로 정규성 이탈에 더 로버스트하고 민감하다.

왜 서로 다른가¶

• 접근 방식의 차이: Jarque-Bera 검정은 원래의 왜도와 첨도 값에 기초한 단순하고 직접적인 공식을 쓰는 반면, D'Agostino의 \(K^2\) 검정은 표본크기를 반영하고 왜도·첨도의 분포를 정규화하는 변환을 적용한다.

• 검정통계량의 구성: Jarque-Bera는 왜도와 첨도를 곧바로 하나의 통계량으로 결합하지만, D'Agostino 검정은 둘을 분리하여 각각을 개별 검정통계량으로 변환한 뒤 제곱하여 더한다.

• 민감도: D'Agostino의 \(K^2\) 검정이 특히 표본이 클 때 정규성 이탈에 더 민감하다. Z 변환 덕분에 표본크기가 커질수록 정확해지는 반면, Jarque-Bera는 작은 표본에서 성능이 나빠지거나 꼬리 이탈에 덜 민감할 수 있다.

결론¶

Jarque-Bera 검정은 D'Agostino의 \(K^2\) 검정을 근사하는 것이 아니다. 둘은 서로 다른 통계적 토대를 가진 별개의 정규성 검정 방법이다. 두 검정 모두 왜도와 첨도를 쓰지만, D'Agostino 검정은 변환 기반 접근 덕분에 더 로버스트한 것으로 평가되고 Jarque-Bera는 더 단순하며 계량경제학에서 흔히 쓰인다.

연습문제¶

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(1)

print("정규 자료에서의 1종 오류율 (명목 0.05)")
for n in (20, 50, 200, 1000, 5000):
    jb = np.mean([stats.jarque_bera(rng.normal(0, 1, n))[1] < 0.05 for _ in range(5000)])
    sw = np.mean([stats.shapiro(rng.normal(0, 1, n))[1] < 0.05 for _ in range(5000)])
    print(f"  n={n:>5}: JB {jb:.4f}   샤피로–윌크 {sw:.4f}")

print("\nt(10) 자료를 정규가 아니라고 판정할 확률 (검정력)")
for n in (20, 50, 200, 1000):
    jb = np.mean([stats.jarque_bera(rng.standard_t(10, n))[1] < 0.05 for _ in range(3000)])
    sw = np.mean([stats.shapiro(rng.standard_t(10, n))[1] < 0.05 for _ in range(3000)])
    print(f"  n={n:>5}: JB {jb:.4f}   샤피로–윌크 {sw:.4f}")

정규 자료에서의 1종 오류율 (명목 0.05)
  n=   20: JB 0.0228   샤피로–윌크 0.0478
  n=   50: JB 0.0408   샤피로–윌크 0.0458
  n=  200: JB 0.0400   샤피로–윌크 0.0484
  n= 1000: JB 0.0512   샤피로–윌크 0.0494
  n= 5000: JB 0.0524   샤피로–윌크 0.0468

t(10) 자료를 정규가 아니라고 판정할 확률 (검정력)
  n=   20: JB 0.0843   샤피로–윌크 0.1037
  n=   50: JB 0.1837   샤피로–윌크 0.1650
  n=  200: JB 0.4500   샤피로–윌크 0.3483
  n= 1000: JB 0.9350   샤피로–윌크 0.8967

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(1)

def tiny(n):
    """98% 는 N(0,1), 2% 는 N(0,2). 실질적으로는 정규와 다를 바 없다."""
    m = rng.random(n) < 0.02
    return np.where(m, rng.normal(0, 2.0, n), rng.normal(0, 1, n))

x = tiny(2_000_000)
print(f"이 분포: 왜도 {stats.skew(x):+.4f}   초과첨도 {stats.kurtosis(x):+.4f}")
print("\n표본이 커지면 이 정도 이탈도 반드시 기각된다")
for n in (100, 1000, 10_000, 100_000):
    r = np.mean([stats.jarque_bera(tiny(n))[1] < 0.05 for _ in range(400)])
    print(f"  n={n:>7}: 기각률 {r:.4f}")

이 분포: 왜도 +0.0016   초과첨도 +0.4599

표본이 커지면 이 정도 이탈도 반드시 기각된다
  n=    100: 기각률 0.1425
  n=   1000: 기각률 0.5525
  n=  10000: 기각률 1.0000
  n= 100000: 기각률 1.0000

정리하며¶

자크–베라도 왜도와 첨도 기반이지만 공식이 더 단순하다.

• 표본 왜도와 초과첨도를 직접 쓴다. 다고스티노처럼 정교한 표준화를 거치지 않아 계산이 간단하다.
• 대신 대표본에서만 잘 맞는다. 점근 분포가 \(\chi^2_2\) 이며, 소표본에서는 제1종 오류율이 명목값과 크게 다르다.
• 계량경제학과 금융의 기본 진단이다. 많은 소프트웨어의 회귀 출력에 기본 포함되며, 잔차의 정규성 확인에 쓰인다.
• \(n\) 에 비례하므로 표본이 크면 거의 언제나 기각한다. 금융 자료처럼 수천 개 관측이 있으면 사실상 항상 기각되므로, \(g_1\) 과 \(g_2\) 의 크기를 보는 편이 유용하다.
• 다고스티노와 비교하면 소표본에서는 다고스티노가, 대표본에서는 둘이 비슷하다.

다음 절부터 각 검정의 구현을 다룬다.