두 표본분산의 비 S₁²/S₂²¶

(1) 역수 관계는 정의에서 바로 나온다. \(F = U/V\)(\(U, V\)는 각각 자유도로 나눈 독립 카이제곱)이면 \(1/F = V/U\)이므로

이다. 자유도의 순서가 바뀐다는 것이 핵심이다. 분위수로 옮기면

이고, \(d_1 = d_2 = d\)일 때만 오른쪽이 같은 분포 안으로 돌아와 \(F_{0.025}(d,d) = 1/F_{0.975}(d,d)\)가 된다. \(d = 19\)에서

이다. 같은 이유로 \(F(d,d)\)의 중앙값은 정확히 1이다. \(F\)와 \(1/F\)가 같은 분포를 따르니 \(P(F \le 1) = P(1/F \le 1) = P(F \ge 1)\)이기 때문이다. 평균은 \(d/(d-2) = 19/17 = 1.1176\)으로 1보다 큰데, 중앙값은 1이고 평균은 1보다 크다는 이 어긋남이 \(F\) 분포의 오른쪽 치우침을 한 줄로 말해 준다.

(2) 폭이 다른 것이 아니라 눈금이 다르다. \(1/F_{d_1,d_2} \overset{d}{=} F_{d_2,d_1}\)을 로그로 옮기면

이다. 곧 두 분포는 로그 척도에서 서로의 거울상이고 퍼진 정도가 같아야 한다. 실제로 로그 척도의 분산은 닫힌 꼴로 적히는데(5.2절 \(F\) 분포 보기 1)

로 두 자유도에 대칭이다. 더하기이므로 순서를 바꿔도 값이 변하지 않는다. \((9,29)\)와 \((29,9)\) 모두

이다. 그러므로 오른쪽 그림에서 보이는 "\(F(29,9)\)가 더 넓다"는 인상은 원래 눈금의 왜곡이다. 원래 눈금에서는 위쪽으로 뻗을 자리가 무한하고 아래쪽은 0에서 막히므로, 같은 로그 폭이라도 위로 밀린 분포가 더 넓어 보인다.

예측을 수로 적어 둔다. 두 분포의 \(2.5\%\) 분위수와 \(97.5\%\) 분위수의 비가 같아야 한다.

그려서 확인한다.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 3.5))

# 왼쪽: n1 = n2 = 20 일 때의 양측 5% 기각역.
# 기각역이 1을 중심으로 대칭이 아니다. F 분포가 오른쪽으로 치우쳐 있기 때문이다.
d = 19
lo, hi = stats.f(d, d).ppf([0.025, 0.975])
x = np.linspace(0.01, 5, 600)
ax1.plot(x, stats.f(d, d).pdf(x), lw=2)
xl, xr = x[x <= lo], x[x >= hi]
ax1.fill_between(xl, stats.f(d, d).pdf(xl), alpha=0.4, color='r')
ax1.fill_between(xr, stats.f(d, d).pdf(xr), alpha=0.4, color='r',
                 label="rejection region (5%)")
ax1.axvline(1, color='gray', ls=':', lw=1)
ax1.set_title(f"F(19, 19):  reject if F < {lo:.3f} or F > {hi:.3f}")
ax1.set_xlabel("F")
ax1.set_ylabel("density")
ax1.legend(fontsize=8)

# 오른쪽: 자유도의 순서가 바뀌면 완전히 다른 분포가 된다.
# F(9,29)와 F(29,9)를 견주어 보라. 어느 표본을 분자에 놓느냐가 중요하다.
for d1, d2 in [(19, 19), (9, 29), (29, 9)]:
    ax2.plot(x, stats.f(d1, d2).pdf(x), lw=2, label=f"F({d1}, {d2})")
ax2.axvline(1, color='gray', ls=':', lw=1)
ax2.set_xlabel("F")
ax2.set_title("Order of the two df matters")
ax2.legend(fontsize=8)

plt.tight_layout()
plt.show()

왼쪽 그림에서 양쪽 꼬리에 2.5%씩을 칠한 자리가 1을 중심으로 대칭이 아니다. 아래쪽 경계 0.396과 위쪽 경계 2.527은 서로 역수 관계(\(1/0.396 = 2.527\))인데, 이는 두 자유도가 같을 때만 성립한다. 오른쪽에서는 자유도의 순서만 뒤집어도 분포의 폭이 달라진다. 분모의 자유도가 작은 \(F(29,9)\)는 위쪽 2.5% 경계가 3.57까지 뻗는데, 두 자유도를 맞바꾼 \(F(9,29)\)에서는 2.59에 그친다. 분포의 폭을 주로 정하는 것은 분모의 자유도이며, 분모에 놓인 표본이 작을수록 비가 크게 흔들린다.

절대적인 넓이도 눈여겨볼 만하다. \(n_1 = n_2 = 20\)이라는 결코 작지 않은 표본에서도 두 꼬리 사이가 0.40에서 2.53까지 벌어져 있다. 등분산인 두 집단에서 관측된 비가 2를 넘는 일이 드물지 않다는 뜻이며, 분산비의 표본분포는 평균차의 표본분포보다 훨씬 넓다.

(1)이 그림에 그대로 있다. 왼쪽에서 칠한 두 꼬리의 경계가 \(0.396\)과 \(2.527\)이고 \(1/0.396 = 2.527\)이다. 두 경계가 1에서 같은 거리에 있지 않다. 아래쪽은 1에서 \(0.604\) 떨어져 있고 위쪽은 \(1.527\) 떨어져 있어 두 배 반 차이다. 그런데 로그를 취하면 \(\log 0.3958 = -0.9268\), \(\log 2.5265 = +0.9268\)로 정확히 대칭이다. 두 끝을 잇는 것이 덧셈이 아니라 곱셈이라는 말이 이것이다.

(2)의 판정은 "눈금 탓"이다. 오른쪽 그림에서 \(F(29,9)\)가 위쪽 \(2.5\%\) 경계를 \(3.57\)까지 뻗고 \(F(9,29)\)는 \(2.59\)에 그친다. 원래 눈금만 보면 앞의 것이 훨씬 넓다. 그러나 위아래 분위수의 비를 재면 둘 다 \(9.248\)이고, 로그 척도의 표준편차도 둘 다 \(0.5658\)이다.

두 줄의 차이는 폭이 아니라 위치다. \(E[\log F]\)가 \(-0.0803\)과 \(+0.0803\)으로 부호만 다르다. 분모의 자유도가 작은 쪽이 통째로 오른쪽으로 밀린 것이고, 원래 눈금에서는 그 밀림이 "더 넓다"로 보인다. \(F\) 분포를 견줄 때는 로그 척도에서 보는 것이 옳다.

그래도 실무에서 중요한 것은 원래 눈금이다. 분모에 작은 표본을 놓으면 \(3.57\)까지 넘어야 기각하게 되므로 어느 표본을 분자에 놓느냐가 임계값을 바꾼다. \(F(15,20)\)과 \(F(20,15)\)는 다른 분포이고, 표를 읽을 때 순서를 뒤집으면 분위수가 달라진다.

첫째 줄과 나머지 두 줄의 차이도 읽어 둘 만하다. 자유도 합이 \(38\)로 같은데도 균형 잡힌 \((19,19)\)의 로그 표준편차가 \(0.4712\)로 가장 작다. \(\psi'\)이 볼록함수이므로 두 자유도를 쪼개 한쪽을 작게 만들면 \(\psi'(d_1/2)+\psi'(d_2/2)\)가 커지기 때문이다. 같은 관측값 수라면 두 집단에 반씩 나누는 것이 분산비를 가장 정밀하게 잰다.

\(E[F] = d_2/(d_2-2)\)이며 4장에서 옌센 부등식으로 설명했다. \(1/x\)가 볼록함수이므로

이다. 분모가 흔들린다는 사실 자체가 비의 기댓값을 위로 밀어 올린다.

실무적 함의가 있다. 표본이 작을 때 \(s_1^2/s_2^2 = 1.3\)을 보고 "분산이 30% 다르다"고 말하는 것은 위험하다. \(n_2 = 10\)이면 등분산 아래에서도 평균적으로 그 정도가 나온다.

정리 1에서

이고 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\)을 넣으면 \(\sigma^2\)이 분자와 분모에서 약분되어

가 된다. 오른쪽 분포는 \(n_1, n_2\)만으로 정해지고 \(\sigma^2\)이나 \(\mu_1, \mu_2\)에 의존하지 않는다. \(\square\)

왜 중요한가. 표본분포를 안다는 것은 그릴 곡선을 하나로 특정할 수 있다는 뜻인데, 분포가 모르는 모수에 의존하면 어느 곡선을 그려야 할지조차 정해지지 않는다. \(\sigma\)가 약분되기 때문에 그 값을 몰라도 \(S_1^2/S_2^2\)의 분포가 \(F_{d_1,d_2}\) 하나로 정해진다.

같은 구조가 이 장 곳곳에 있다. \(t\) 통계량에서 \(\sigma\)가 약분되고, 카이제곱 적합도 검정에서 \(n\)이 상쇄된다. 추축량을 찾는다는 것이 곧 모르는 모수를 약분해 없애는 일이다.

\(d_1 = d_2 = 19\)이면 \(F_{0.025}(19,19) = 0.3958\)이고 \(F_{0.975}(19,19) = 2.5265\)다. 곱하면 \(0.3958 \times 2.5265 = 1.0000\)으로 역수 관계가 성립한다.

이유. 역수 관계 \(F_\alpha(d_1,d_2) = 1/F_{1-\alpha}(d_2,d_1)\)에서 \(d_1 = d_2 = d\)이면 오른쪽이 \(1/F_{1-\alpha}(d,d)\)가 되어 같은 분포의 분위수끼리 묶인다. 즉 \(F_{0.025}(d,d) = 1/F_{0.975}(d,d)\)다.

자유도가 다르면 \(F_{0.025}(d_1,d_2) = 1/F_{0.975}(d_2,d_1)\)이고 오른쪽의 분포가 \(F_{d_2,d_1}\)이라 원래 분포와 다르다. 실제로 \(F_{0.025}(15,20) = 0.3629\)이고 \(F_{0.975}(15,20) = 2.5731\)인데 곱이 \(0.9337\)로 1이 아니다. 대신 \(F_{0.975}(20,15) = 2.7559\)의 역수가 \(0.3629\)로 정확히 맞는다. 자유도를 맞바꾸어야 관계가 성립한다는 것이 이렇게 확인된다.

이 어긋남은 로그 척도에서도 그대로 남는다. \(\log F_{d_1,d_2}\)의 분포는 \(d_1 = d_2\)일 때만 0을 중심으로 대칭이고, 자유도가 다르면 두 꼬리가 0에서 같은 거리에 있지 않다.

그래서 자유도는 늘 순서를 함께 적어야 한다. \(F(15,20)\)과 \(F(20,15)\)는 다른 분포이고, 표를 읽을 때 순서를 바꾸면 분위수가 달라진다.

\(F_{d,d}\)의 분산은 4장에서 본 공식

에 \(d_1 = d_2 = d = n-1\)을 넣어 얻는다. 계산하면 다음과 같다.

\(n\)이 커질수록 폭이 줄어들고, 큰 \(n\)에서는 \(\sqrt{n}\)에 반비례하는 \(2/\sqrt{n}\)에 수렴한다. 이 극한은 로그 척도에서 바로 나온다. 5.6절의 결과로 \(\text{Var}(\log S_i^2) \approx (\beta_2-1)/n\)이고 정규모집단에서는 \(\beta_2 = 3\)이므로 \(\text{Var}(\log F) \approx 2(1/n + 1/n) = 4/n\), 즉 \(\text{SD}(\log F) \approx 2/\sqrt{n}\)이다. \(F\)가 1 근처에 모이면 \(\log F \approx F - 1\)이므로 두 척도의 표준편차가 같아진다.

작은 \(n\)에서 표가 극한값보다 훨씬 큰 것이 요점이다. \(n = 10\)에서 실제 표준편차 1.08은 \(2/\sqrt{10} = 0.63\)의 1.7배다. 등분산인 두 집단에서 관측된 비가 2나 3이 되는 일이 예사라는 뜻이며, 분산비가 평균차보다 훨씬 많은 자료를 요구하는 까닭이다.

\(F_{19,19}\)의 왜도는 \(1.772\)다. 오른쪽 꼬리가 길다는 것을 숫자가 말해 준다. 반면 정규모집단에서 뽑은 두 표본으로 \(\log(S_1^2/S_2^2)\)를 40만 번 만들어 왜도를 재면 \(-0.002\)로 사실상 0이고, 평균도 \(-0.001\)로 0 근처다.

이유는 대칭성이다. \(d_1 = d_2 = d\)이면 \(S_1^2/S_2^2\)과 \(S_2^2/S_1^2\)이 같은 분포를 따른다. 두 표본의 이름을 바꾸어도 상황이 달라지지 않기 때문이다. 로그를 씌우면 이 관계가

가 되어 0을 중심으로 정확히 대칭인 분포가 된다. 반면 원래 척도에서는 "역수를 취해도 같다"가 "0을 중심으로 대칭"으로 번역되지 않는다. 아래쪽은 0과 1 사이에 갇히고 위쪽은 1부터 무한대까지 뻗기 때문이다.

이것이 분산비를 다룰 때 로그 척도가 자연스러운 첫 번째 이유다. 두 번째 이유는 \(\log F = \log S_1^2 - \log S_2^2\)이라는 분해인데, 비정규 모집단에서 어긋남의 크기를 계산할 때 이 분해가 결정적으로 쓰인다.

쓰인 곳은 두 군데다. 각 표본에서 \(d_i S_i^2/\sigma_i^2 \sim \chi^2_{d_i}\)를 얻는 단계에 한 번씩이다. 이 관계는 5.6절에서 보았듯 정규모집단에서만 정확하고, 일반적으로는 \(\text{Var}(S^2)\)이 첨도에 의존해 카이제곱 예측과 배율 \((\beta_2-1)/2\)만큼 어긋난다.

(독립성은 두 표본이 서로 독립이라는 설계에서 오므로 정규성과 무관하다. 각 표본 안에서 \(\bar X\)와 \(S^2\)의 독립성은 여기서 쓰이지 않는다.)

왜 더 취약한가. 두 가지 이유를 예상할 수 있다.

첫째, 오차가 두 번 들어간다. 분자와 분모가 각각 어긋난 분포를 따르므로 비의 분포는 두 어긋남이 합쳐진 결과다. 로그를 씌워 보면 이유가 분명해지는데, \(\log F = \log S_1^2 - \log S_2^2\)이고 두 항의 분산이 각각 \((\beta_2-1)/n_i\)로 부풀어 있으므로 합이 \((\beta_2-1)(1/n_1 + 1/n_2)\)가 된다. 정규 가정은 이를 \(2(1/n_1+1/n_2)\)로 믿으므로 배율이 여전히 \((\beta_2-1)/2\)다.

둘째, 상쇄가 일어나지 않는다. 두 모집단이 같은 모양이면 분자와 분모의 왜곡이 같은 방향이라 비에서 일부 상쇄될 것 같지만, 로그 척도에서 보면 분산은 더해질 뿐 상쇄되지 않는다. 위치의 편향은 상쇄되고 산포의 왜곡은 누적된다.

다음 쪽에서 이 예상이 수치로 확인된다. 첨도 9인 지수모집단에서 명목 5% 검정의 실제 오류율이 26%까지 오른다.

독립이므로 기댓값이 쪼개진다. \(E[S_1/S_2] = E[S_1]\cdot E[1/S_2]\)이고, 앞 절 카이제곱 문서 연습문제 10에서 \(E[S] = c_4\sigma\)였다. 역수 쪽도 같은 방식으로

이 나온다.

import numpy as np
from scipy.special import gamma as G

rng = np.random.default_rng(0)
n1 = n2 = 20
X = rng.normal(0, 1, (300_000, n1))
Y = rng.normal(0, 1, (300_000, n2))
R = X.std(1, ddof=1) / Y.std(1, ddof=1)

c4   = lambda n: np.sqrt(2/(n-1)) * G(n/2) / G((n-1)/2)
Einv = lambda n: np.sqrt((n-1)/2) * G((n-2)/2) / G((n-1)/2)

print(f"  E[S1/S2] 모의 {R.mean():.5f}   이론 {c4(n1)*Einv(n2):.5f}")
print(f"  (E[S1/S2])^2 = {R.mean()**2:.5f}")
print(f"  E[S1^2/S2^2] = d2/(d2-2) = {(n2-1)/((n2-1)-2):.5f}")

출력:

  E[S1/S2] 모의 1.02851   이론 1.02815
  (E[S1/S2])^2 = 1.05782
  E[S1^2/S2^2] = d2/(d2-2) = 1.11765

두 값이 다르다(\(1.058\) 대 \(1.118\)). 제곱과 기댓값의 순서를 바꿀 수 없기 때문이며, 옌센 부등식에 의해 언제나

이다. 연습문제 1에서 \(E[F] > 1\)을 본 것과 같은 현상이 한 겹 더 쌓인 것이다.

실무적 함의 셋.

• "분산비의 제곱근"과 "표준편차비"는 다른 양이다. \(\sqrt{E[F]} = 1.057\)과 \(E[S_1/S_2] = 1.029\)가 다르다. 어느 쪽을 보고하는지 밝혀야 한다.
• 표준편차비도 여전히 위로 편향되어 있다(\(1.029 > 1\)). 두 모표준편차가 같은데도 그렇다. 편향이 분산비보다 작을 뿐이다.
• 구간은 분산비에서 만들고 마지막에 제곱근을 취하는 것이 안전하다. 제곱근은 단조함수라 끝점을 그대로 옮기면 되고(앞 절 \(F\) 문서 연습문제 10), 포함확률이 보존된다. 표준편차비의 표본분포를 새로 유도할 필요가 없다.

카이제곱의 가법성이 그대로 쓰인다(앞 절 카이제곱 문서 연습문제 8). \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\)이면

이고 두 표본이 독립이므로 합이 \(\chi^2_{n_1+n_2-2}\)다. 따라서

이다. \(\square\)

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
n1, n2, s = 12, 8, 2.0
X = rng.normal(0, s, (300_000, n1))
Y = rng.normal(0, s, (300_000, n2))
sp2 = ((n1-1)*X.var(1, ddof=1) + (n2-1)*Y.var(1, ddof=1)) / (n1+n2-2)
df = n1 + n2 - 2
Q = df * sp2 / s**2

print(f"  KS p (chi2({df})) = {stats.kstest(Q, 'chi2', args=(df,)).pvalue:.4f}")
print(f"  E[Sp^2] = {sp2.mean():.4f}  (참 {s**2})")
print(f"  Var     = {sp2.var():.5f}   이론 2*sigma^4/df = {2*s**4/df:.5f}")

출력:

  KS p (chi2(18)) = 0.7483
  E[Sp^2] = 3.9994  (참 4.0)
  Var     = 1.78119   이론 2*sigma^4/df = 1.77778

자유도가 \(n_1+n_2-2\)인 이유. 관측이 \(n_1+n_2\)개인데 평균을 두 개(\(\bar X_1\), \(\bar X_2\)) 추정했으므로 둘을 잃는다. 한 표본에서 \(n-1\)이었던 것의 자연스러운 확장이며, 일반적으로 자유도 = 관측 수 \(-\) 추정한 평균의 수다. 11장의 분산분석에서 집단 내 자유도가 \(N-k\)인 것이 같은 규칙이다.

왜 합치는가 — 자유도를 벌기 위해서다. \(S_1^2\)만 쓰면 자유도가 \(11\)이고 \(S_2^2\)만 쓰면 \(7\)인데, 합치면 \(18\)이다. 자유도가 클수록 \(\sigma^2\) 추정이 정밀해지고, 그 결과 두 표본 \(t\) 검정의 임계값이 작아져 검정력이 오른다.

그러나 \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\)이 틀리면 대가가 크다. 합동분산은 두 분산의 가중평균이라, 실제로 다르면 어느 쪽도 아닌 값을 추정한다. 게다가 표본크기가 불균형하면 큰 표본 쪽으로 치우쳐, 작은 표본 집단의 분산을 심하게 잘못 잡는다. 이것이 웰치 방법이 기본값이 된 이유이며 5.7절과 15장에서 다룬다.

이 쪽의 \(F\) 검정과의 관계. \(S_1^2/S_2^2\)이 \(1\)에서 멀면 합동분산을 쓰면 안 된다는 신호다. 다만 앞 절 \(F\) 문서 연습문제 10에서 본 대로 이 검정의 검정력이 낮아 "유의하지 않았으니 합쳐도 된다"는 논법은 위험하다.

상수배가 전부다. \(E[F] = d_2/(d_2-2)\)이므로

로 두면 기댓값이 정확히 \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\)가 된다(\(d_2 > 2\)).

import numpy as np
from scipy import stats

print(f"{'d2':>5}{'E[F]':>10}{'(d2-2)/d2':>12}{'보정 후':>10}")
for d2 in (5, 10, 19, 50):
    F = stats.f.rvs(19, d2, size=300_000, random_state=1)
    print(f"{d2:>5}{F.mean():>10.4f}{(d2-2)/d2:>12.4f}{(F*(d2-2)/d2).mean():>10.4f}")

출력:

   d2      E[F]   (d2-2)/d2      보정 후
    5    1.6677      0.6000    1.0006
   10    1.2533      0.8000    1.0026
   19    1.1183      0.8947    1.0006
   50    1.0428      0.9600    1.0011

보정이 정확히 듣는다. 네 경우 모두 \(1.00\)으로 맞는다. \(d_2=5\)에서는 \(40\%\)나 줄여야 한다는 점이 인상적이다.

그런데 실무에서는 거의 쓰지 않는다. 이유가 셋이다.

• 검정에는 필요 없다. 가설검정은 \(F\)의 분포를 쓰지 기댓값을 쓰지 않는다. 임계값이 이미 편향을 포함해 계산되어 있으므로 통계량을 보정하면 오히려 틀린다.
• 구간에도 필요 없다. 앞 절 \(F\) 문서 연습문제 10의 구간은 분위수를 뒤집어 만든 것이라 편향과 무관하게 정확한 포함확률을 갖는다.
• 보정해도 다른 편향이 남는다. \(E[F]\)를 맞춰도 \(E[\log F] \ne \log(\sigma_1^2/\sigma_2^2)\)이고, \(E[1/F]\)는 또 다른 값이다. 어느 척도에서 불편으로 만들지 고를 수 없다.

그래서 점추정을 보고해야 할 때만 의미가 있다. 메타분석처럼 여러 연구의 분산비를 모아 평균낼 때는 자유도가 작은 연구가 평균을 끌어올리므로 보정이 실질적인 차이를 만든다. 앞 절 \(F\) 문서 연습문제 9에서 "\(\log F\)를 쓰라"고 한 것이 더 나은 대안이며, 로그 척도에서는 편향이 훨씬 작고 대칭적이다.

일반 교훈. 불편성은 척도에 딸린 성질이다. \(\sigma^2\)에 대해 불편인 \(S^2\)이 \(\sigma\)에 대해서는 불편이 아니었고(카이제곱 문서 연습문제 10), 여기서도 \(F\)를 보정하면 \(\log F\)가 어긋난다. 어느 양을 보고할지 정한 다음에 그 척도에서 따져야 한다.

from scipy import stats

N, r = 40, 4.0          # r = sigma1^2/sigma2^2 = 2^2
for n1 in (8, 12, 20, 28, 32):
    n2 = N - n1
    d1, d2 = n1 - 1, n2 - 1
    lo, hi = stats.f.ppf(0.025, d1, d2), stats.f.ppf(0.975, d1, d2)
    pw = stats.f.sf(hi / r, d1, d2) + stats.f.cdf(lo / r, d1, d2)
    print(f"    n1={n1:>3} n2={n2:>3}  검정력 {pw:.4f}")

출력:

    n1=  8 n2= 32  검정력 0.6860
    n1= 12 n2= 28  검정력 0.7888
    n1= 20 n2= 20  검정력 0.8375
    n1= 28 n2= 12  검정력 0.7087
    n1= 32 n2=  8  검정력 0.4942

균등 배분이 최적이다(\(0.8375\)). 불균형해질수록 검정력이 떨어진다.

그런데 대칭이 아니다. \((8,32)\)는 \(0.686\)인데 \((32,8)\)은 \(0.494\)다. 같은 크기의 불균형인데 방향에 따라 검정력이 \(0.19\)나 차이 난다.

이유는 어느 쪽 분산이 큰가에 있다. 여기서는 \(\sigma_1 > \sigma_2\)로 1번 집단의 분산이 크다. \(F = S_1^2/S_2^2\)에서

• \(n_2\)가 크면 분모가 안정된다. 분모는 작은 분산을 재는 쪽이고, 그 추정이 정확하면 비가 또렷해진다.
• \(n_1\)이 크면 분자만 안정되는데, 분모가 요동치면 비 전체가 요동친다. 앞 절 \(F\) 문서 연습문제 9에서 본 분모의 불안정이 비를 지배한다는 성질 그대로다.

실무 지침.

두 번째 줄이 직관과 어긋난다. "변동이 큰 집단을 더 많이 재야 한다"는 것이 평균 비교에서의 상식인데(5.7절의 최적 배분은 \(n_i \propto \sigma_i\)), 분산 비교에서는 반대다. 재는 대상이 분산 자체이고 분모의 안정성이 비를 좌우하기 때문이다.

다만 이득이 크지 않다. 최적 \(0.8375\)와 균등에서 조금 벗어난 \((12,28)\)의 \(0.7888\) 차이는 \(0.05\) 수준이다. 반면 방향을 잘못 잡으면(\(32,8\)) \(0.34\)를 잃는다. 얻을 것은 적고 잃을 것은 크므로, 확신이 없으면 균등 배분이 안전하다. \(\square\)