금융 자료에서의 정규성¶

동기¶

정규분포는 금융에서 중심적인 역할을 한다. 포트폴리오 이론, 옵션 가격결정, 위험 관리의 기초 모형들이 모두 자산 수익률이 정규분포를 따른다고 가정한다. 그러나 수십 년의 경험적 증거는 실제 금융 수익률이 체계적이고 중대한 방식으로 정규성에서 벗어난다는 것을 보여준다. 금융 자료에 통계 방법을 적용하는 사람이라면 이 이탈을 반드시 이해해야 한다.

금융에서의 정규성 가정¶

\(R_t\)를 시점 \(t\)에서 어떤 자산의 로그수익률이라 하면 정규 모형은 다음을 가정한다.

여기서 \(\mu\)는 기대수익률, \(\sigma\)는 변동성이다. 이 가정 아래에서 포트폴리오 수익률도 (정규들의 선형결합이므로) 정규이고, 위험가치(VaR) 같은 위험 측도를 닫힌 형태로 계산할 수 있다. 예를 들어 정규성 아래에서 \(\alpha\) 수준의 VaR는

여기서 \(z_\alpha\)는 표준정규분포의 \(\alpha\) 분위수이다(\(\alpha = 0.01\)이면 \(z_{0.01} = -2.326\)이므로 VaR는 양수가 된다).

금융 수익률의 정형화된 사실¶

금융 수익률 자료에 대한 경험적 연구는 정규성에서 벗어나는 몇 가지 특징을 일관되게 기록해 왔으며, 이를 흔히 정형화된 사실이라 부른다.

두꺼운 꼬리(초과첨도)¶

금융 수익률은 정규분포보다 두꺼운 꼬리를 보인다. 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)인 확률변수 \(X\)의 첨도는

정규분포에서는 \(\beta_2 = 3\)이다. 초과첨도는 \(\gamma_2 = \beta_2 - 3\)이므로 정규분포의 초과첨도는 0이다. 금융 수익률은 대체로 양의 초과첨도를 가지며, 이는 극단적 사건이 정규 모형의 예측보다 자주 일어난다는 뜻이다. 일간 주식 수익률의 초과첨도는 자산과 기간에 따라 흔히 3에서 50 사이의 값을 보인다.

왜도¶

분포의 왜도는

정규분포에서는 \(\gamma_1 = 0\)이다. 주식 수익률은 흔히 음의 왜도를 보이는데, 같은 크기의 큰 이익보다 큰 손실이 더 자주 일어난다는 뜻이다. 이 비대칭은 시장이 스트레스를 받을 때 특히 두드러진다.

변동성 군집¶

금융 수익률은 변동성 군집을 보인다. 변동성이 높은 기간 뒤에는 높은 변동성이, 낮은 기간 뒤에는 낮은 변동성이 이어지는 경향이 있다. 형식적으로 말하면 수익률 \(R_t\) 자체는 대체로 무상관인데 제곱수익률 \(R_t^2\)은 유의한 자기상관을 보인다. 분산이 시간에 따라 일정하지 않으므로 이는 독립동일분포 정규 모형의 독립성 가정을 위배한다.

집계에 따른 정규화¶

수익률의 기간이 일간에서 주간, 월간으로 길어질수록 수익률의 분포는 정규에 가까워진다. 이는 CLT와 일관된다. 일간 수익률이 약하게 종속되어 있지만 분산이 유한하다면 더 긴 기간의 합은 정규 쪽으로 수렴한다. 다만 수렴이 느려서 월간 수익률조차 초과첨도를 보일 수 있다.

"수렴이 느리다"가 얼마나 느린지는 숫자로 봐야 실감이 난다. 아래 그림은 \(t_7\) 혁신을 쓴 GARCH(1,1) 모형으로 4000년치 일간 수익률 100만 개를 만든 뒤, 이를 5일·21일·63일·252일 단위로 더해 본 결과이다. 두꺼운 꼬리와 변동성 군집을 둘 다 갖춘 인공 자료이므로 실제 시장 수익률의 축소판이라 할 만하다. 표본이 이렇게 커야 하는 이유는 첨도가 4차적률이라 추정이 몹시 불안정하기 때문이다. 연간 수익률 몇십 개로 첨도를 재면 숫자가 요동쳐 아무 말도 할 수 없다.

왼쪽 칸에서 초과첨도는 일간 \(5.75\)에서 주간 \(3.67\), 월간 \(2.40\), 분기 \(2.39\), 연간 \(1.22\)로 줄어든다. 방향은 분명히 CLT가 말하는 대로다. 그러나 속도를 보라. 기간을 21배로 늘린 월간 수익률조차 초과첨도가 \(2.40\)으로 정규분포의 \(0\)과는 거리가 멀고, 252배로 늘린 연간 수익률도 \(1.22\)에 머문다. 독립인 자료라면 \(h\) 기간 합의 초과첨도는 정확히 \(1/h\)배로 줄어야 하므로 일간 \(5.75\)에서 월간은 \(0.27\)이 되어야 한다. 실제로 얻은 \(2.40\)은 그 아홉 배다. 변동성 군집이 만드는 종속성이 CLT의 수렴을 크게 늦추는 것이다.

오른쪽 칸은 같은 이야기를 위험관리자의 언어로 옮긴 것이다. 평균에서 3 표준편차를 넘는 움직임의 비율은 일간 \(0.0118\)에서 연간 \(0.0047\)까지 줄지만, 정규분포가 예측하는 \(0.0027\)에는 끝내 닿지 못한다. 연간 수익률조차 극단적 움직임이 정규 모형의 \(1.7\)배로 일어나고, 일간 수익률에서는 \(4.4\)배다. 앞의 경고 상자가 말한 "63년에 한 번"의 산술이 실제 자료에서 왜 그렇게 빗나가는지가 이 비율에 들어 있다.

실무적 결론은 이렇다. 월간이나 분기 수익률로 집계했다는 사실만으로 정규성을 가정해도 좋다고 생각해서는 안 된다. 집계는 꼬리를 얇게 만들지만 지워 주지는 않으며, 정규성을 확인하는 일은 어느 주기의 자료를 쓰든 여전히 필요하다.

통계적 추론에 대한 함의¶

금융 자료의 비정규성은 통계 절차에 직접적인 영향을 준다.

평균 수익률의 신뢰구간. 수익률의 꼬리가 정규분포보다 두꺼우면 \(t\) 기반 신뢰구간이 참 불확실성을 과소평가할 수 있다. 극단적 관측값이 \(S\)를 부풀리면 표준오차 \(S / \sqrt{n}\)이 \(\bar{R}\)의 변동을 믿을 수 없게 추정한다.

가설검정. 수익률의 정규성에 기대는 시장 효율성 검정, CAPM 베타 검정, 포트폴리오 성과 검정은 왜곡된 \(p\)값을 낼 수 있다. 수익률 분포의 꼬리가 두껍고 \(n\)이 중간 정도이면 \(t\) 검정의 실제 크기가 명목 \(\alpha\)를 넘을 수 있다.

위험 측도. 정규 VaR 공식은 꼬리 위험을 과소평가한다. 참 수익률 분포의 초과첨도가 \(\gamma_2 > 0\)이면 Cornish-Fisher 전개가 보정을 제공한다.

여기서

이고 \(\gamma_1\)은 왜도, \(\gamma_2\)는 수익률 분포의 초과첨도다. 이 전개가 \(\gamma_1\)과 \(\gamma_2\)로 깔끔하게 적히는 것은 우연이 아니다. Cornish–Fisher는 에지워스 전개에서 나오고 에지워스 전개는 누율의 언어로 쓰이는데, \(\gamma_1 = \kappa_3/\kappa_2^{3/2}\)이고 \(\gamma_2 = \kappa_4/\kappa_2^2\)이기 때문이다(3.3절). 정규분포는 3차 이상 누율이 모두 0이라 두 보정항이 함께 사라지고 \(\tilde z_\alpha = z_\alpha\)로 돌아간다.

import numpy as np
from scipy import stats

# ===================================================================
# 수익률의 꼬리가 정규분포의 꼬리와 얼마나 다른가
#
# 정규분포를 가정하면 큰 손실이 일어날 확률을 실제보다 훨씬 작게 잡는다.
# 그 차이를 숫자 하나로 보이는 것이 이 코드의 목적이다.
# ===================================================================

np.random.seed(42)

# 자유도 5 인 t 로 수익률을 만든다. 실제 수익률과 비슷하게 꼬리가 두껍다.
n = 2000
df = 5
returns = stats.t.rvs(df=df, size=n) * 0.01  # scale to ~1% daily vol

mean_r = np.mean(returns)
std_r = np.std(returns, ddof=1)
skew_r = stats.skew(returns)
kurt_r = stats.kurtosis(returns)  # excess kurtosis

# 평균에서 3 표준편차 밖으로 나갈 확률을 견준다. 정규라면 0.0027,
# 곧 1000일에 세 번이다. 실제 자료에서는 이보다 몇 배 잦게 일어난다.
threshold = 3 * std_r
empirical_tail = np.mean(np.abs(returns - mean_r) > threshold)
normal_tail = 2 * (1 - stats.norm.cdf(3))

if __name__ == "__main__":
    print(f"Sample mean:           {mean_r:.6f}")
    print(f"Sample std dev:        {std_r:.6f}")
    print(f"Sample skewness:       {skew_r:.4f}")
    print(f"Sample excess kurtosis: {kurt_r:.4f}")
    print(f"\nP(|R - mean| > 3 std):")
    print(f"  Empirical:  {empirical_tail:.4f}")
    print(f"  Normal:     {normal_tail:.4f}")

Sample mean:           -0.000275
Sample std dev:        0.012886
Sample skewness:       0.8632
Sample excess kurtosis: 10.4205

P(|R - mean| > 3 std):
  Empirical:  0.0090
  Normal:     0.0027

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)
n, nu = 2000, 5
r = stats.t.rvs(df=nu, size=n) * 0.01
m, s = r.mean(), r.std(ddof=1)
sig = 0.01 * np.sqrt(nu / (nu - 2))        # 참 표준편차

print(f"표본 sd = {s:.6f},  참 sigma = {sig:.6f},  s/sigma = {s/sig:.4f}")
k = 3 * np.sqrt(nu / (nu - 2))             # 3 sigma 를 t 단위로 환산
p_true = 2 * stats.t.sf(k, nu)
p_norm = 2 * stats.norm.sf(3)
p_emp = np.mean(np.abs(r - m) > 3 * s)
print(f"3 sigma = {3*sig:.6f}  ->  t 단위 {k:.6f}")
print(f"참   P(|R| > 3 sigma) = {p_true:.6f}")
print(f"정규 P              = {p_norm:.6f}   (참/정규 = {p_true/p_norm:.3f})")
print(f"경험 P              = {p_emp:.6f}   ({int(round(p_emp*n))}/{n} 개,"
      f" 경험/정규 = {p_emp/p_norm:.3f})")
se = np.sqrt(p_true * (1 - p_true) / n)
print(f"경험값의 MC SE = {se:.5f};  경험 - 참 = {p_emp-p_true:+.5f}"
      f" = {(p_emp-p_true)/se:+.2f} SE")
print(f"t5 에서 꼬리확률 0.0027 을 주는 문턱 = "
      f"{stats.t.isf(p_norm/2, nu)/np.sqrt(nu/(nu-2)):.3f} sigma")
print(f"모집단 초과첨도 6/(nu-4) = {6/(nu-4):.1f},"
      f"  표본 g2 = {stats.kurtosis(r):.4f},  표본 g1 = {stats.skew(r):.4f}")

표본 sd = 0.012886,  참 sigma = 0.012910,  s/sigma = 0.9982
3 sigma = 0.038730  ->  t 단위 3.872983
참   P(|R| > 3 sigma) = 0.011725
정규 P              = 0.002700   (참/정규 = 4.343)
경험 P              = 0.009000   (18/2000 개, 경험/정규 = 3.334)
경험값의 MC SE = 0.00241;  경험 - 참 = -0.00272 = -1.13 SE
t5 에서 꼬리확률 0.0027 을 주는 문턱 = 4.266 sigma
모집단 초과첨도 6/(nu-4) = 6.0,  표본 g2 = 10.4205,  표본 g1 = 0.8632

경험적 꼬리 확률 \(0.0090\)이 정규분포의 예측 \(0.0027\)의 3.3배로, 금융 수익률의 두꺼운 꼬리와 일관된다. 초과첨도 \(10.42\)도 정규분포의 0에서 크게 벗어나 있다.

연습문제¶

정리하며¶

금융 수익률은 초과첨도, 음의 왜도, 변동성 군집을 통해 정규성 가정을 위배한다. 이 이탈은 사소한 통계적 호기심거리가 아니라 위험 측정, 가설검정, 신뢰구간 구성에 직접적인 영향을 준다. 금융 자료를 다룰 때는 정규성을 검정하고, 로버스트한 대안을 고려하며, 두꺼운 꼬리를 반영하는 위험 모형을 써야 한다.