콘텐츠로 이동

생존분석의 금융 응용

생존분석은 의학 연구와 신뢰성 공학에서 출발했지만, 결과가 중도절단을 겪는 지속시간이면 어디에나 그 도구를 쓸 수 있다. 금융에는 그런 결과가 풍부하다. 차입자가 부도를 낼 때까지의 시간, 고객이 이탈할 때까지의 시간, 거래의 지속시간, 보험금 청구가 접수될 때까지의 시간이 그렇다. 각 경우에 포트폴리오나 고객 기반에는 완결된 사건과 함께 활성 상태의(우측절단된) 관측치가 섞여 있다.

이 절에서는 통상적인 회귀로는 얻을 수 없는 통찰을 생존분석이 제공하는 네 가지 금융 응용을 살펴본다.

신용 부도 모형화

어떤 은행이 대출 \(n\)건으로 이루어진 포트폴리오를 보유하고 있다. 각 대출 \(i\)에서 관심 사건은 부도, 곧 차입자가 상환 의무를 이행하지 못하는 것이다. 생존시간 \(T_i\)는 실행에서 부도까지의 기간이다.

왜 생존분석인가. 어느 보고 시점에서든 대부분의 대출은 여전히 정상이다(우측절단). 로지스틱 회귀는 고정된 기간(예: 12개월) 안의 부도 확률을 모형화할 수 있지만, 시점 정보를 버리고 부도 시점의 완전한 분포를 만들지 못한다.

신용 부도의 위험함수 \(h(t)\)는 특징적인 모양을 보이는 경우가 많다.

  • 초기(0--12개월). 차입자가 최근에 심사와 승인을 거쳤으므로 위험이 낮다.
  • 숙성기(12--36개월). 재무적 충격이 누적되고 약한 차입자가 부도를 내기 시작하면서 위험이 올라간다.
  • 성숙기(36개월 이후). 살아남은 차입자는 신용도를 입증한 셈이므로 위험이 감소하거나 안정된다.

이 봉우리형 위험은 로그정규나 로그로지스틱 모형(21.3절), 또는 시간에 따라 변하는 공변량을 갖는 콕스 모형(21.4절)으로 잘 포착된다.

대출 포트폴리오의 생존곡선

카플란-마이어 추정이 \(\hat{S}(12) = 0.97\), \(\hat{S}(24) = 0.93\), \(\hat{S}(36) = 0.90\)을 주었다고 하자. 대출의 97%가 12개월을, 93%가 24개월을, 90%가 36개월을 넘겨 생존한다는 뜻이다. 24개월까지 생존했다는 조건에서 24개월과 36개월 사이의 조건부 부도확률은 \(1 - \hat{S}(36)/\hat{S}(24) = 1 - 0.90/0.93 \approx 0.032\)이다.

고객 이탈 분석

구독 기반 사업(은행, 통신사, SaaS 플랫폼)은 고객이 이탈할 때까지의 시간, 즉 서비스를 해지하거나 계좌를 닫을 때까지의 시간을 추적한다. 생존시간은 고객 관계의 지속기간이다.

이탈 자료의 주요 특징은 다음과 같다.

  • 우측절단이 만연하다. 활성 고객은 분석 시점에 절단된다.
  • 공변량이 시간에 따라 변한다. 사용 양상, 불만 접수 빈도, 결제 행태가 매달 바뀐다. 콕스 모형은 시간에 따라 변하는 공변량을 자연스럽게 수용한다.
  • 경쟁 위험. 고객이 자발적으로 떠날 수도(이탈) 회사가 계약을 종료할 수도(비자발적 해지) 있다. 이는 서로 다른 사건이며 엄밀한 분석에는 경쟁위험 모형이 필요하다.

이탈의 위험함수는 가입 기간이 길어질수록 감소하는 경우가 많다. 초기 몇 달을 버틴 고객은 더 오래 머무는 경향이 있다. 이는 형상모수 \(k < 1\)인 와이불 모형(감소 위험)을 시사한다.

이탈 요인의 위험비

이탈 자료에 적합한 콕스 모형이 분기당 고객지원 문의를 세 번 넘게 한 고객에 대해 위험비 \(\text{HR} = 1.45\)를 주었다고 하자. 다른 공변량을 고정할 때 그런 고객이 문의가 적은 고객의 1.45배 속도로 이탈한다는 뜻이다.

거래 지속시간 분석

시장미시구조에서는 연속된 거래 사이의 지속시간 자체가 관심 변수다. Engle과 Russell(1998)이 도입한 자기회귀 조건부 지속시간(ACD) 모형은 생존분석의 착상을 거래 간 시간 모형화에 적용한다.

\(x_i\)를 거래 \(i-1\)과 거래 \(i\) 사이의 지속시간이라 하자. 과거 지속시간의 이력이 주어졌을 때 다음 거래가 도착할 조건부 위험이 거래 활동의 강도를 포착한다.

  • 위험이 높은 구간은 빠른 거래에 대응한다(높은 유동성, 변동성 큰 시장).
  • 위험이 낮은 구간은 느린 거래에 대응한다(낮은 유동성, 조용한 시장).

지수 모형이 기준선(일정한 도착률) 역할을 하고, 와이불 모형은 도착 강도가 마지막 거래 이후 경과시간에 의존하도록 허용한다.

점과정과의 연결

거래 도착 시각은 양의 실선 위의 점과정을 이룬다. 위험함수 \(h(t)\)가 이 과정의 조건부 강도이며, 이를 통해 생존분석이 계수과정과 마팅게일의 더 넓은 이론과 연결된다.

보험금 청구와 지속시간

보험사는 증권 발행 후 청구가 접수될 때까지의 시간을 모형화한다. 생존분석이 필수적인 이유는 다음과 같다.

  • 증권이 실효된다. 청구 전에 계약을 해지한 가입자는 우측절단된다.
  • 청구 빈도가 시간에 따라 변한다. 자동차보험 청구는 첫해(미숙)에 몰렸다가 감소하는 경우가 많다.
  • 손해액 적립. 보험계리사는 이미 발생했지만 아직 보고되지 않은(IBNR) 청구 건수를 추정하는 데 생존 모형을 쓴다.

청구의 위험함수는 보험 종목에 따라 다르다.

보험 종목 전형적인 위험 모양 모형 선택
자동차 배상책임 초기 정점 후 감소 로그로지스틱, 와이불(\(k < 1\))
생명보험 연령에 따라 증가 와이불(\(k > 1\)), 곰페르츠
재물(대재해) 사건 사이에 일정 지수

왜 로지스틱 회귀만으로는 안 되는가

로지스틱 회귀는 고정된 시간창 안의 이항 결과(사건 대 비사건)를 모형화한다. 생존분석은 이를 세 가지 방향으로 확장한다.

  1. 가용한 추적 기간을 모두 쓴다. 연구 창이 12개월이더라도 6개월간 관측된 대상은 6개월치 정보를 기여한다.
  2. 가변적인 추적 기간을 다룬다. 대상들이 서로 다른 시점에 연구에 들어오고 서로 다른 기간 동안 관측된다.
  3. 사건의 시점을 모형화한다. 생존함수와 위험함수는 사건이 일어나는지 여부만이 아니라 언제 일어나는지를 기술한다.

중도절단을 무시할 때의 편향

12개월 부도를 예측하는 로지스틱 회귀를 적합하면서 실행 후 6개월밖에 되지 않은 대출을 제외하면 유용한 자료를 버리는 것이다. 그렇다고 이들을 "부도 없음"으로 포함시키면 7--12개월에 부도를 낼 기회가 아직 없었으므로 부도확률이 아래로 편향된다. 생존분석은 절단 기제를 명시적으로 모형화하여 이 편향을 피한다.

대출 포트폴리오의 생존곡선, 구간별 위험의 봉우리, 절단을 무시한 로지스틱의 편향

왼쪽은 앞의 보기에 나온 세 수 \(\hat S(12) = 0.97\), \(\hat S(24) = 0.93\), \(\hat S(36) = 0.90\)을 그대로 이어 그린 생존곡선이다. 세로축을 \(0.86\)부터 잡아 크게 확대했는데도 완만하게 내려가는 한 줄로만 보인다. 위험도에 이 곡선을 붙여 놓고 "부도가 언제 몰리는가"를 물으면 답하기 어렵다. 눈이 곡선의 높이는 잘 읽지만 기울기의 변화는 잘 읽지 못하기 때문이다.

가운데는 똑같은 세 수를 구간 평균 위험으로 바꾼 것이다. 구간 \((a,b]\)에서 위험이 상수 \(\bar h\)라면 \(S(b)/S(a) = e^{-\bar h(b-a)}\)이므로 \(\bar h = -\ln(S(b)/S(a))/(b-a)\)인데, 이 값이 연 단위로 \(0.0305 \to 0.0421 \to 0.0328\)이다. 12--24개월 구간이 확실한 정점이고, 그 앞뒤보다 위험이 \(30\%\) 이상 높다. 본문에서 말한 숙성기가 바로 이 봉우리다. 자료는 하나도 바뀌지 않았고 표현만 \(S\)에서 \(h\)로 바꿨을 뿐인데 모양이 드러났다. 신용 심사 담당자가 "실행 후 두 해째에 집중 관리하라"는 결론을 얻는 것은 왼쪽이 아니라 가운데 그림에서다.

오른쪽은 절단을 무시했을 때의 값이다. 참 12개월 부도확률이 \(0.1000\)인 포트폴리오에서 대출의 절반만 12개월을 채우고 나머지 절반은 6개월밖에 관측되지 않았다고 하자. 짧게 관측된 대출을 "부도 없음"으로 적으면 추정치가 \(0.0748\)로 내려간다. 참값의 4분의 1이 사라진 것이다. 그 대출들이 7--12개월에 부도를 낼 기회를 아직 갖지 못했는데도 분모와 분자에 모두 "무사히 넘김"으로 들어갔기 때문이다.

12개월을 채운 대출만 골라 쓰면 \(0.0990\)으로 편향은 사라진다. 다만 표본의 절반을 버리므로 표준오차가 \(\sqrt{2} = 1.41\)배로 커진다. 생존분석은 세 번째 길을 택한다. 6개월 대출을 "부도 없음"이 아니라 "6개월에 절단"으로 적어 위험집합에 6개월치만 기여하게 하면, 편향도 없고 자료도 버리지 않는다. 이것이 이 절의 첫머리에서 "가용한 추적 기간을 모두 쓴다"고 한 말의 정확한 뜻이다.

연습문제

연습문제 1. 위 대출 포트폴리오 보기에서 \(\hat{S}(12) = 0.97\), \(\hat{S}(24) = 0.93\), \(\hat{S}(36) = 0.90\)이 주어졌다.

(a) 0--12개월, 12--24개월, 24--36개월 각 구간의 조건부 부도확률을 계산하라.

(b) 각 구간의 평균 위험률(연 단위)을 근사하라.

(c) 이 결과가 본문에서 말한 "봉우리형" 위험과 일치하는가?

풀이

(a) 구간 \((a, b]\)의 조건부 부도확률은 \(1 - S(b)/S(a)\)이다(\(S(0) = 1\)).

구간 계산 조건부 부도확률
0--12 \(1 - 0.97/1.00\) \(0.0300\)
12--24 \(1 - 0.93/0.97\) \(0.0412\)
24--36 \(1 - 0.90/0.93\) \(0.0323\)

(b) 구간 \((a,b]\)에서 위험이 상수 \(\bar h\)라면 \(S(b)/S(a) = e^{-\bar h (b-a)}\)이므로

\[ \bar h = \frac{-\ln\bigl(S(b)/S(a)\bigr)}{b-a} \]

이다. 연 단위(구간 폭 1년)로 계산하면,

구간 \(\bar h\)(연)
0--12 \(-\ln(0.97) = 0.0305\)
12--24 \(-\ln(0.93/0.97) = 0.0421\)
24--36 \(-\ln(0.90/0.93) = 0.0328\)

(c) 그렇다. 위험이 \(0.0305 \to 0.0421 \to 0.0328\)로 올랐다가 내려오므로 봉우리형과 일치하며, 정점이 12--24개월 구간에 있다. 이는 본문에서 서술한 "숙성기" 양상과 부합한다.

다만 자료점이 세 개뿐이므로 모양을 확정할 수는 없다. 실제 자료라면 각 추정치의 표준오차를 함께 보아야 하고, 카플란-마이어 곡선을 더 촘촘한 격자로 그려 확인해야 한다. \(\square\)

연습문제 2. 어떤 분석가가 "12개월 부도" 로지스틱 회귀를 적합하면서, 실행 후 6개월밖에 되지 않은 대출을 "부도 없음"으로 포함시켰다. 부도확률 추정치의 편향 방향과 크기를 모의실험으로 확인하라.

풀이 
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(11)
n = 200_000
# 참 부도 시점은 지수분포를 따르며, 12개월 부도확률이 0.10 이 되도록 잡았다
lam = -np.log(0.90) / 12
T = rng.exponential(1 / lam, n)

# 대출의 절반은 12개월, 나머지 절반은 6개월만 관찰한다
followup = np.where(rng.random(n) < 0.5, 12.0, 6.0)

true_p12 = 1 - np.exp(-lam * 12)
# 순진한 방법: 관찰 기간 안에 부도가 나면 1, 아니면 0 으로 이름표를 붙인다.
# 관찰이 짧은 대출의 부도가 통째로 0 으로 묻힌다는 것이 이 방법의 문제다
naive_y = (T <= followup).astype(int)

print(f"true 12-month default prob : {true_p12:.4f}")
print(f"naive estimate             : {naive_y.mean():.4f}")
print(f"complete cases only (12m)  : {(T[followup == 12] <= 12).mean():.4f}")

출력:

true 12-month default prob : 0.1000
naive estimate             : 0.0748
complete cases only (12m)  : 0.0990
방법 추정치
참 12개월 부도확률 \(0.1000\)
순진한 방법(6개월 대출을 "부도 없음"으로 포함) \(0.0748\)
12개월 완전 관측만 사용 \(0.0990\)

순진한 방법은 참값을 약 \(25\%\) 과소추정한다. 절반의 대출이 7--12개월에 부도를 낼 기회를 갖지 못한 채 "부도 없음"으로 세어졌기 때문이다.

완전 사례만 쓰면 편향이 없다. 이 모의실험에서는 추적 기간이 사건시간과 독립이므로 12개월 관측만 골라도 편향이 생기지 않는다. 그러나 표본의 절반을 버리는 대가를 치른다. 표준오차가 \(\sqrt{2} = 1.41\)배 커진다.

생존분석이 하는 일: 6개월 대출을 "부도 없음"이 아니라 "6개월에 절단"으로 취급하여, 편향 없이 모든 자료를 쓴다. 이것이 이 절에서 말한 "가용한 추적 기간을 모두 쓴다"의 구체적인 의미다.

추적 기간이 위험과 상관되면 완전 사례도 편향된다

위 모의실험은 추적 기간을 무작위로 배정했다. 실제 포트폴리오에서는 오래된 대출이 다른 시기, 다른 심사 기준으로 실행되었을 수 있다. 그러면 완전 사례만 쓰는 것도 편향되며, 실행 연도(vintage)를 공변량으로 넣어 보정해야 한다. \(\square\)

연습문제 3. 이탈 자료의 위험이 감소한다는 것(\(k < 1\)인 와이불)이 실무적으로 무엇을 뜻하는지 설명하라. 이것이 고객 유지 전략에 주는 함의는?

풀이

감소 위험의 의미. \(h(t)\)가 감소한다는 것은 고객이 오래 머물수록 다음 달에 이탈할 조건부 확률이 낮아진다는 뜻이다. 무기억성(상수 위험)과 달리, 여기서는 가입 기간 자체가 정보다.

두 가지 설명이 가능하며 구별이 중요하다.

  1. 참된 상태 의존. 시간이 지나면서 고객이 서비스에 익숙해지고 전환비용(자료 이전, 습관, 통합)이 쌓여 실제로 이탈 성향이 낮아진다.
  2. 집단 이질성(선택). 개별 고객의 위험은 상수이지만 고객마다 값이 다르다. 위험이 높은 고객이 먼저 떠나므로, 시간이 지날수록 남은 집단이 위험이 낮은 쪽으로 선택된다. 개인 수준에서는 아무 변화가 없어도 집단 수준의 위험은 반드시 감소한다.

이를 약함(frailty) 문제라 하며, 관측 자료만으로는 두 설명을 구별할 수 없다.

유지 전략에 주는 함의가 정반대다.

  • 설명 1이 맞다면 초기 개입이 효과적이다. 신규 고객을 첫 3개월만 붙잡아 두면 이후에는 스스로 머문다. 온보딩 투자가 정당화된다.
  • 설명 2가 맞다면 초기 개입은 헛수고에 가깝다. 일찍 떠나는 고객은 애초에 위험이 높은 집단이며, 붙잡아도 곧 떠난다. 자원은 고위험 고객을 식별해 선별적으로 쓰는 편이 낫다.

구별하는 방법: 무작위 실험이다. 신규 고객 일부에게 온보딩 개입을 무작위로 배정하고 이탈 곡선을 비교한다. 관측 자료의 위험 모양만으로는 인과적 결론을 내릴 수 없다. 1장에서 다룬 관찰연구와 통제실험의 구별이 여기에서 그대로 되풀이된다. \(\square\)

정리하며

응용 사건 절단의 원천 전형적인 위험 모양
신용 부도 대출 부도 정상 대출 봉우리형
고객 이탈 서비스 해지 활성 고객 감소
거래 지속시간 다음 거래 도착 거래일 종료 시장 국면에 따라 다름
보험금 청구 청구 접수 증권 실효 종목에 따라 다름

생존분석은 이 응용들을 하나의 수학 틀로 통합한다. 이 장의 나머지에서 전개하는 도구 --- 카플란-마이어 추정, 모수 모형, 콕스 비례위험 모형 --- 는 네 상황 모두에 그대로 적용된다.