금융위기와 중심극한정리의 실패¶

(1) 해석적으로. 주변 PMF가 \(d\)의 일차식이라 꼬리 합이 등차수열의 합으로 끝난다. \(n = 100\)이므로 \((n+1)(n+2) = 101 \times 102 = 10302\)이고

이다. 약분하면 \(965/5151 = 0.187342\)다. PMF 자체의 유도는 아래 연습문제 2에 있으므로 여기서는 쓰기만 했다.

견줄 두 값도 손으로 적을 수 있다. 독립 모형은 이항 꼬리라

이고, 정규근사는 \(E[D] = 200/3\), \(\operatorname{sd}(D) = \sqrt{200/9} = 4.7140\)이므로

이다. 세 값이 \(10^{-8}\), \(10^{-7}\), \(10^{-1}\)로 일곱 자릿수에 걸쳐 흩어진다.

(2) 수치적으로.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats

np.random.seed(42)

n = 100          # 대출 100건
p = 2 / 3        # 각 건의 부도확률
n_sims = 500_000

# 경우 1: 부도가 서로 독립. 이항분포 그대로다.
d_indep = np.random.binomial(n, p, size=n_sims)

# 경우 2: 공통 위험요인이 있다.
# 매 시나리오마다 부도확률 theta 를 먼저 뽑고, 그 theta로 100건을 던진다.
# Beta(2,1)의 평균이 2/3 이므로 **평균 부도확률은 경우 1과 완전히 같다.**
# 달라지는 것은 오직 "모든 대출이 같은 theta를 공유한다"는 점뿐이다.
thetas = np.random.beta(2, 1, size=n_sims)
d_dep = np.array([np.random.binomial(n, th) for th in thetas])

# 꼬리 확률을 세 방법으로 비교한다.
# 평균은 셋 다 같은데 꼬리는 전혀 다르다는 것이 이 보기의 요점이다.
threshold = 90
p_indep = np.mean(d_indep > threshold)
p_dep = np.mean(d_dep > threshold)
# 중심극한정리에 기댄 정규근사. 위기 이전 모형이 쓰던 방식이다.
p_gauss = 1 - stats.norm.cdf(threshold, n * p, np.sqrt(n * p * (1 - p)))

print(f"P(D > {threshold}):")
print(f"  Independent:     {p_indep:.6f}")
print(f"  Gaussian approx: {p_gauss:.6f}")
print(f"  Dependent:       {p_dep:.6f}")

# (1) 에서 구한 정확한 값과 맞춰 본다.
# 의존 모형은 주변 PMF 가 d 의 일차식이라 꼬리 합이 닫힌 꼴로 나온다.
dd = np.arange(threshold + 1, n + 1)
p_dep_exact = np.sum(2 * (dd + 1) / ((n + 1) * (n + 2)))
p_indep_exact = 1 - stats.binom.cdf(threshold, n, p)
print(f"\nP(D > {threshold}) 정확한 값:")
print(f"  Independent:     {p_indep_exact:.3e}")
print(f"  Gaussian approx: {p_gauss:.3e}")
print(f"  Dependent:       {p_dep_exact:.6f}")

# 50만 번으로 볼 수 있는 가장 작은 확률은 1/500000 = 2e-6 이다.
print(f"\n50만 번에서 기대되는 발생 횟수: 독립 {p_indep_exact * n_sims:.4f}회, 정규 {p_gauss * n_sims:.4f}회")
print(f"독립 모형 50만 번의 최대 부도 건수 = {d_indep.max()}")

출력:

P(D > 90):
  Independent:     0.000000
  Gaussian approx: 0.000000
  Dependent:       0.187854

P(D > 90) 정확한 값:
  Independent:     1.129e-08
  Gaussian approx: 3.715e-07
  Dependent:       0.187342

50만 번에서 기대되는 발생 횟수: 독립 0.0056회, 정규 0.1858회
독립 모형 50만 번의 최대 부도 건수 = 88

의존 모형이 (1)과 맞는다. 모의값 \(0.187854\)와 정확값 \(0.187342\)의 차이가 \(0.000512\)인데, 50만 번 모의실험의 몬테카를로 표준오차가 \(\sqrt{0.1873 \times 0.8127/500000} = 0.000552\)이므로 \(0.93\) 표준오차 차이다. 들어맞는다.

그런데 두 개의 \(0.000000\)은 서로 다른 뜻이다. 하나씩 보아야 한다.

독립 모형의 \(0\)은 진짜 0, 곧 50만 번 가운데 90건 초과가 한 번도 나오지 않았다는 셈이다. 실제로 50만 번의 최대 부도 건수가 \(88\)이었으니 문턱에 닿지도 못했다. 그러나 참값이 0이라는 뜻은 아니다. 참값 \(1.129 \times 10^{-8}\)에 50만을 곱하면 기대 발생 횟수가 \(0.0056\)회이므로, 한 번도 나오지 않는 것이 당연한 결과다. 모의실험 50만 번이 분간할 수 있는 가장 작은 확률은 \(1/500000 = 2\times 10^{-6}\)이고 참값은 그보다 두 자릿수 아래에 있다.

정규근사의 \(0\)은 성격이 전혀 다르다. p_gauss는 모의실험이 아니라 정규 꼬리를 정확히 계산한 \(3.715\times 10^{-7}\)이며, 소수점 여섯 자리로 반올림하는 .6f 서식이 그것을 \(0.000000\)으로 찍었을 뿐이다. 출력 형식이 만들어 낸 0이다.

보고된 숫자의 자릿수가 그 숫자가 담은 정보를 가린다는 것이 여기서 얻을 교훈이다. \(0.000000\) 세 글자만 보고는 "일어나지 않았다", "확률이 0이다", "작아서 안 보인다"를 구별할 수 없다. 꼬리를 다룰 때 지수 표기를 쓰고 기대 발생 횟수를 함께 적어야 하는 이유다.

같은 평균을 쓴 의존 모형은 \(0.187854\), 곧 다섯 번에 한 번꼴로 그 일이 일어났다. 평균 부도확률은 한 치도 건드리지 않았는데 꼬리확률이 독립 모형의 1,700만 배다.

유도할 답이 있는 문제가 아니다. 그림에서 무엇이 읽히고 무엇이 읽히지 않는가가 이 보기의 전부이므로, 눈으로 본 것을 수치로 바꿔 가며 읽는다. 아래 코드는 보기 1의 d_indep, d_dep, n, p를 그대로 이어받는다.

# 그림에서 읽을 수치를 미리 찍어 둔다.
print(f"d=67  독립 {stats.binom.pmf(67, n, p):.5f}  정규 {stats.norm.pdf(67, n * p, np.sqrt(n * p * (1 - p))):.5f}  의존 {2 * 68 / 10302:.5f}")
print(f"의존 PMF  d=0 {2 * 1 / 10302:.6f}  ->  d=100 {2 * 101 / 10302:.6f}")
print(f"P(D >= 80)  의존 {np.mean(d_dep >= 80):.5f}  독립 {1 - stats.binom.cdf(79, n, p):.5f}")
print(f"P(theta > 0.9) = {1 - stats.beta.cdf(0.9, 2, 1):.3f}")

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(18, 5))

# 왼쪽: 세 분포 전체.
# 독립과 정규근사는 평균 근처에서 서로 포개지고, 의존 모형만 전 구간에 깔린다.
ax = axes[0]
bins = np.arange(-0.5, n + 1.5, 1)
ax.hist(d_dep, bins=bins, density=True, alpha=0.5, color="tomato",
        label="Dependent (MC)")
d_vals = np.arange(0, n + 1)
ax.plot(d_vals, stats.binom.pmf(d_vals, n, p), "o", color="black",
        ms=3, label="Independent")
x_norm = np.linspace(0, n, 300)
ax.plot(x_norm, stats.norm.pdf(x_norm, n * p, np.sqrt(n * p * (1 - p))),
        "--", color="gray", lw=3, label="Gaussian approx")
ax.set_xlabel("Number of defaults")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.set_title("Default Distributions")
ax.legend()

# 가운데: 꼬리만 확대(80건 이상).
# 왼쪽 칸의 선형 세로축에서는 이 구간이 통째로 바닥에 눌려 보이지 않는다.
# 독립 가정은 사실상 0을 주고, 종속 모형만 무시할 수 없는 확률을 준다.
# **위험은 언제나 꼬리에 있다.**
ax = axes[1]
tail = range(80, n + 1)
mc_tail = [np.mean(d_dep == d) for d in tail]
ax.bar(list(tail), mc_tail, color="tomato", alpha=0.7, label="Dependent")
ax.plot(list(tail), stats.binom.pmf(list(tail), n, p), "ko-",
        ms=4, label="Independent")
ax.set_xlabel("Number of defaults")
ax.set_title("Tail Risk (d >= 80)")
ax.legend()

# 오른쪽: 공통 위험요인 theta의 분포.
# 이 분포가 넓다는 것이 종속성의 정체다.
# theta가 우연히 0.95쯤 나오는 시나리오에서는 100건이 거의 다 부도난다.
# 독립 모형에는 그런 시나리오 자체가 존재하지 않는다.
ax = axes[2]
theta_grid = np.linspace(0, 1, 300)
ax.plot(theta_grid, stats.beta.pdf(theta_grid, 2, 1), lw=2.5,
        label="Beta(2, 1)")
ax.axvline(p, color="red", linestyle="--", label=f"E[theta] = {p:.3f}")
ax.set_xlabel("theta")
ax.set_ylabel("Density")
ax.set_title("Prior on Shared Risk Factor")
ax.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

출력:

d=67  독립 0.08438  정규 0.08442  의존 0.01320
의존 PMF  d=0 0.000194  ->  d=100 0.019608
P(D >= 80)  의존 0.37163  독립 0.00237
P(theta > 0.9) = 0.190

(1) 포개지는 둘은 독립 모형과 정규근사다. 독립 모형은 예상대로 평균 \(n\theta = 200/3 \approx 66.7\) 주위에 좁게 모여 있고, 정규근사 곡선이 그 위에 거의 그대로 얹힌다. 봉우리에서 재면 이항 \(0.08438\) 대 정규 \(0.08442\)로 상대차가 \(0.04\%\)다. 독립 가정 안에서는 중심극한정리가 훌륭하게 일을 해낸다.

끼지 못하는 것은 의존 모형이다. 봉우리랄 것이 없이 \(D\)의 전 구간에 얇게 깔려 있고, 주변 PMF가 \(2(d+1)/10302\)라 \(d\)가 커질수록 오히려 높아진다. \(d = 0\)에서 \(0.000194\), \(d = 100\)에서 \(0.019608\)로 101배다. 같은 \(d = 67\)에서 높이가 \(0.01320\)이니 독립 모형의 \(0.08438\)에 견주어 \(6.4\)분의 1에 지나지 않는다. 그러므로 "세 분포가 중앙에서 겹친다"고 읽으면 안 된다. 겹치는 것은 분포가 아니라 평균이다. 셋 다 \(E[D] = 200/3 \approx 66.7\)이고, 그래서 평균만 보고하면 세 모형을 구별할 수 없다.

(2) 왼쪽 칸이 가리는 것은 꼬리다. 세로축이 선형이라 \(0\)부터 \(0.08\)까지를 한 화면에 담는데, 독립 모형의 \(P(D > 90) = 1.1\times 10^{-8}\)은 봉우리 높이의 1억 분의 1이라 한 화소도 차지하지 못한다. 왼쪽 칸만 보면 독립 모형의 꼬리가 정확히 0인지 아주 작은지 분간할 길이 없다. 선형 축은 꼬리를 보여 주는 도구가 아니며, 보려면 로그 축을 쓰거나 가운데 칸처럼 구간을 좁혀야 한다.

가운데 칸이 그 일을 한다. \(d \ge 80\)으로 좁히면 의존 모형의 막대가 \(0.0156\)에서 \(0.0197\)까지 꾸준히 올라가는 동안 독립 모형은 \(d = 80\)의 \(0.00126\)에서 \(d = 90\)의 \(4.2\times 10^{-8}\)로 내려앉는다. 구간 전체를 더하면 \(P(D \ge 80)\)이 의존 \(0.372\) 대 독립 \(0.00237\)로 150배 넘게 차이가 난다. 다만 이 칸도 모든 것을 보여 주지는 않는다. 정규근사 곡선이 여기에는 아예 그려져 있지 않으므로, 세 모형이 꼬리에서 어떻게 갈라지는지를 이 칸 하나에서 읽을 수는 없다. 그 비교는 보기 1의 수치로 돌아가야 한다.

오른쪽 칸이 그 모두의 출처다. 공통 위험요인 \(\theta\)의 분포가 \(2/3\) 한 점(빨간 점선)에 박혀 있지 않고 \([0,1]\) 전체에 퍼져 있다. \(\text{Beta}(2,1)\)은 \(\theta > 0.9\)에 \(1 - 0.9^2 = 0.190\)이라는 무시할 수 없는 확률을 주므로, 그해의 부도확률이 \(0.95\)쯤으로 뽑히는 시나리오가 실제로 존재하고 그런 해에는 100건이 거의 다 부도난다. 왼쪽 칸에서 의존 모형이 오른쪽 끝까지 깔려 있는 이유가 이것이다. 독립 모형은 이 칸이 빨간 점선 한 점으로 쪼그라든 경우이고, 그런 해가 아예 존재하지 않는다.

독립 모형: \(D \sim \text{Binomial}(100, 2/3)\).

의존 모형: 전체 기댓값의 법칙과 전체 분산의 법칙을 사용한다.

평균은 동일하다. 분산은:

\(\text{Beta}(2,1)\)에서 \(E[\theta] = 2/3\), \(E[\theta^2] = E[\theta]^2 + \text{Var}(\theta) = 4/9 + 1/18 = 1/2\), \(\text{Var}(\theta) = 1/18\)이다.

평균은 같은데도 의존 모형의 분산이 독립 모형보다 25배 크다(\(572\) 대 \(22\)). \(\square\)

이 적분은 베타함수 \(B(d+2, n-d+1) = \frac{\Gamma(d+2)\Gamma(n-d+1)}{\Gamma(n+3)} = \frac{(d+1)!(n-d)!}{(n+2)!}\)이다.

확인해 보면 \(\sum_{d=0}^n \frac{2(d+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \cdot \sum_{d=0}^n (d+1) = \frac{2}{(n+1)(n+2)} \cdot \frac{(n+1)(n+2)}{2} = 1\)이다. \(\square\)

\(i \ne j\)에 대해:

(조건부 독립성을 사용했다: \(E[X_i X_j \mid \theta] = E[X_i \mid \theta] \cdot E[X_j \mid \theta] = \theta^2\).)

따라서:

\(\theta \sim \text{Beta}(2, 1)\)에 대해:

이 양의 공분산이 두꺼운 꼬리의 원천이다. \(\square\)

\(\theta \sim \text{Beta}(20, 10)\)에서 \(\alpha = 20\), \(\beta = 10\)이다.

전체 분산 공식을 사용하면:

\(E[\theta^2] = \text{Var}(\theta) + (E[\theta])^2 = 0.00717 + 4/9 \approx 0.4516\)이다.

비교하면 독립 모형은 \(\text{Var}(D) = 22.2\), \(\text{Beta}(2,1)\)은 572, \(\text{Beta}(20,10)\)은 93이다.

\(\theta\)의 변동성이 작아지면 (여전히 독립인 경우보다는 크지만) 꼬리 위험이 크게 줄어든다. \(\text{Beta}(20, 10)\) 분포는 \(\theta\)를 \(2/3\) 근처에 모으므로 극단적인 시나리오(\(\theta > 0.9\))가 매우 드물어진다. 이 모형은 독립인 경우(\(\text{Var}(\theta) = 0\))와 의존성이 강한 \(\text{Beta}(2, 1)\) 사이를 잇는다. \(\square\)

정규 코퓰러 모형은 차입자의 부도가 개별 요인에 의해 결정되고 상관은 약할 뿐이라고 가정하며, 이를 다변량 정규 의존 구조로 모형화했다. 이 틀에서는 다변량 정규분포의 꼬리가 (지수적으로 감소하여) 가볍기 때문에 많은 부도가 동시에 일어날 확률(꼬리 사건)이 무시할 만했다.

가장 결정적으로 위배된 가정은 상관 구조가 적절하다는 가정이다. 구체적으로:

1. 공통 시스템 위험: 이 모형은 차입자의 부도가 공통의 경제 요인(주택 가격, 금리, 고용)과 얼마나 강하게 연결되어 있는지를 과소평가했다. 전국적으로 주택 가격이 하락하자 부도들이 높은 상관을 갖게 되었다.

2. 정규분포의 가벼운 꼬리: 정규 코퓰러는 "꼬리 의존성", 즉 극단 사건(다수의 부도)이 함께 일어나는 경향을 포착하지 못한다. 실제 부도 의존성은 정규분포가 함의하는 것보다 훨씬 두꺼운 꼬리를 갖는다.

3. 고정된 상관계수: 상관 모수가 경제가 온건하던 시기의 자료로 추정되어, 위기 동안 상관이 급격히 커지는 현상(상관 붕괴 또는 "상관 스마일")을 반영하지 못했다.

그 결과 예측 확률이 \(10^{-8}\)(사실상 불가능)이던 사건이 실제로는 \(10^{-2}\)에 가까운 확률로 일어났고, 이는 위험을 백만 배 과소평가한 것이다. 정규 모형에 근거해 "안전"하다고 평가받은 주택저당증권을 보유한 기관들은 이로 인해 파국적인 손실을 입었다. \(\square\)

독립 모형. \(\operatorname{Var}(\bar D) = \theta(1-\theta)/n = (2/9)/n \to 0\)이다. 대출 수를 늘리면 부도율의 불확실성이 사라진다.

의존 모형. 전체분산 정리로

이므로

이다. 0으로 가지 않는다. \(\text{Beta}(2,1)\)이면 \(\operatorname{Var}(\theta) = 1/18 \approx 0.0556\)이고 표준편차가 0.236이다.

수치로 보면 \(n=100\)에서 \(\operatorname{Var}(D)\)가 독립 모형 22.2(표준편차 4.71) 대 의존 모형 572.2(표준편차 23.9)로 25배 넘게 차이 난다.

주장의 평가. "많이 모으면 분산된다"는 개별 위험(idiosyncratic risk)에 대해서만 참이다. 위 식의 첫 항 \(E[\theta(1-\theta)]/n\)이 그 몫이고 \(n\)과 함께 사라진다.

그러나 둘째 항 \(\operatorname{Var}(\theta)\)는 체계적 위험(systematic risk) 이고 아무리 모아도 남는다. 모든 대출이 같은 거시경제 환경을 공유하는 한, 개수를 늘리는 것으로는 그 위험을 없앨 수 없다.

2000년대의 증권화 논리가 정확히 여기서 틀렸다. 여러 지역의 주택담보대출을 수천 건 묶으면 위험이 상쇄되어 최상위 등급 채권을 만들 수 있다는 것이었는데, 전국적인 주택가격 하락이라는 공통 요인 앞에서 그 분산 효과는 존재하지 않았다. 묶는 것으로 지울 수 있는 위험과 지울 수 없는 위험을 구분하지 못한 것이 문제의 핵심이다.

주변 CDF는 연습문제 2에서 \(P(D \le k) = (k+1)(k+2)/\{(n+1)(n+2)\}\)이므로 의존 모형의 계산이 손으로 가능하다.

자릿수가 여섯 개 넘게 벌어진다. 정규근사는 "천만 번에 한 번", 의존 모형은 "다섯 번에 한 번"이라고 말한다.

세 모형의 평균은 모두 \(200/3 \approx 66.7\)로 똑같다. 평균만 보고서는 어느 모형을 쓰든 차이를 알 수 없다. 다만 보기 2의 왼쪽 그림에서 겹쳐 보이는 것은 독립 모형과 정규근사 둘뿐이고(\(d = 67\)에서 \(0.08438\) 대 \(0.08442\)), 의존 모형은 같은 자리에서 \(0.01320\)으로 \(6.4\)분의 1이다. 겹치는 것은 분포가 아니라 평균이며, 독립과 정규 사이의 차이는 꼬리에서 드러난다.

한 가지 더 눈여겨볼 점은 정규근사가 독립 이항보다도 꼬리를 크게 준다는 것이다. 이항분포는 지지집합이 \([0,100]\)으로 유계인데 정규분포는 그렇지 않아서다. 그러나 이 차이는 의존성이 만든 차이에 견주면 무의미하다. 근사의 정확도를 다듬는 것보다 모형의 구조를 바로잡는 것이 비교할 수 없이 중요하다.

의존 모형에서는 \(P(D \le 99) = 100\times101/10302 = 0.980 < 0.99\)이므로 0.99 분위수가 100, 즉 전부 부도다.

해석. 이 모형에서는 "100건 중 100건이 모두 부도나는" 시나리오가 확률 \(P(D=100) = 2\times101/10302 \approx 0.0196\)으로 약 2%나 된다. \(\theta\)가 1에 가깝게 뽑히는 시나리오가 그 정도 확률로 존재하기 때문이고, 그 시나리오에서는 개별 대출의 분산 효과가 완전히 무력해진다.

독립 모형에는 그런 시나리오가 아예 존재하지 않는다. \(P(D=100) = (2/3)^{100} \approx 2\times10^{-18}\)이다.

99% VaR가 자기자본 규제의 기준으로 쓰였다는 점을 생각하면 함의가 무겁다. 독립 모형을 믿으면 77건의 손실만 감당할 자본을 쌓으면 되지만, 실제 위험은 100건 전부였다.

VaR 자체의 한계도 짚을 만하다. VaR는 "99% 확률로 이 이상 잃지 않는다"고 말할 뿐 그 1%에서 얼마나 잃는지는 말하지 않는다. 여기서 기대손실(ES, 꼬리 조건부 평균)을 계산하면 의존 모형에서 100이 나오는데, 최악의 1%에서는 예외 없이 전부 부도난다는 뜻이다. 2016년 바젤 규제가 VaR에서 ES로 기준을 옮긴 이유가 이것이며, VaR는 부분가법성을 만족하지 않아 "나누면 위험이 줄어드는 것처럼 보이는" 문제도 있다.

\(\lambda_U\)는 "한쪽이 극단적으로 클 때 다른 쪽도 극단적으로 클 조건부확률"의 극한이다. 0이면 극단 사건이 점근적으로 독립이라는 뜻이다.

정규의 경우. \((Z_1,Z_2)\)가 상관 \(\rho\)인 표준이변량정규일 때, 조건부분포는

이다. \(z \to \infty\)이면 조건부 평균이 \(\rho z\)로 커지지만 문턱값 \(z\)보다 느리게 커진다(\(\rho < 1\)이므로). 문턱과 조건부 평균의 거리가

로 발산하므로 \(P(Z_2 > z \mid Z_1 = z) \to 0\)이다. 따라서 \(\rho < 1\)인 한 언제나

이다. \(\rho = 0.99\)여도 그렇다. 상관을 아무리 높여도 극단의 동시 발생은 사라진다.

\(t\) 코퓰라. 자유도 \(\nu\)인 \(t\) 코퓰라는

으로 양수다. 예컨대 \(\nu=4\), \(\rho=0.5\)면 \(\lambda_U \approx 0.25\)이다. 한쪽이 극단적이면 다른 쪽도 극단적일 확률이 25%쯤 남는다. \(\nu \to \infty\)이면 \(t\) 코퓰라가 정규 코퓰라로 가고 \(\lambda_U \to 0\)이 된다.

왜 이 차이가 치명적인가. 두 코퓰라는 같은 \(\rho\)로 맞출 수 있고, 중앙 부근의 자료로는 구별하기 어렵다. 평상시 자료를 적합하면 둘 다 잘 맞는다. 그런데 위기 시나리오에서는 답이 자릿수로 갈린다.

신용파생상품 평가에 쓰인 리(Li)의 가우스 코퓰라 모형이 정확히 이 함정에 빠졌다. 의존성을 상관계수 하나로 요약하면서 "함께 극단으로 가는 성향"을 구조적으로 0으로 못박아 버린 것이다. 상관계수를 아무리 정교하게 추정해도 이 문제는 해결되지 않는다. 모형족 자체를 바꿔야 한다.

교훈 1 — 중심극한정리에는 조건이 있다. 독립(또는 약한 의존)과 유한한 분산이 필요하다. 이 조건은 자료에서 자동으로 확인되지 않으며, 특히 독립성은 검증하기 가장 어려운 가정이다. 평상시 자료에서 상관이 낮게 나왔다고 해서 위기 시에도 그렇다는 보장이 없다.

교훈 2 — 평균이 같아도 꼬리는 전혀 다를 수 있다. 연습문제 7에서 세 모형의 평균이 모두 66.7로 같은데 \(P(D\ge90)\)은 \(10^{-8}\)에서 \(0.2\)까지 벌어졌다. 모형 검증을 중앙 적합도로만 하면 안 된다.

교훈 3 — 조건부 독립과 주변 독립을 혼동하면 안 된다. 이 모형에서 부도들은 \(\theta\)가 주어지면 독립이지만 주변적으로는 강하게 종속이다. "요인을 통제하면 독립"이라는 말은 그 요인을 알 때만 쓸모가 있다.

교훈 4 — 분산투자가 지우는 위험과 지우지 못하는 위험이 다르다. 연습문제 6에서 본 대로 체계적 위험은 개수로 지워지지 않는다.

실무에서 할 일.

• 가정을 뒤집어 보는 민감도 분석. 상관을 0.3이 아니라 0.9로 두면 결과가 어떻게 되는가. 답이 자릿수로 달라진다면 그 가정이 결론을 지배하고 있다는 뜻이다.
• 스트레스 테스트. 과거 자료에 없는 시나리오를 일부러 넣어 본다. 통계 모형은 관측된 범위 밖에서 신뢰할 수 없다.
• 꼬리를 겨냥한 모형 선택. \(t\) 코퓰라처럼 꼬리의존성을 허용하는 모형을 기본값으로 두고, 정규를 쓰려면 근거를 대게 한다.
• 모형 위험을 명시적으로 기록한다. 추정값과 신뢰구간만이 아니라 "이 결론이 어느 가정에 얼마나 기대고 있는가"를 함께 보고한다.
• 정밀도와 정확도를 구분한다. 소수점 넷째 자리까지 계산된 확률이 틀린 모형에서 나왔다면 그 정밀도는 착시다.

한 문장으로 줄이면, 틀릴 수 있는 곳은 추정이 아니라 대개 모형이다.