생존곡선의 신뢰구간¶
카플란-마이어 추정량 \(\hat{S}(t)\)는 생존함수의 점추정치다. 다른 추정량과 마찬가지로 표집 변동을 겪는다. 표본이 다르면 곡선도 달라진다. 이 불확실성을 정량화하려면 각 시점에서 신뢰구간이 필요하다.
이 절에서는 그린우드 공식으로 카플란-마이어 추정량의 분산을 유도하고, 점별 신뢰구간을 구성하며, 소표본에서 포함확률을 개선하는 변환들을 논의한다.
그린우드 공식¶
\(\hat{S}(t)\)의 분산은 그린우드 공식(1926)으로 추정한다.
합은 \(t\)까지의 모든 사건시간 \(t_{(j)}\)에 걸쳐 이루어진다.
유도 개요. 카플란-마이어 추정량은 독립인 인자 \((1 - d_j / n_j)\)의 곱이다. 곱의 로그에 델타법을 적용하면
이고, 각 항의 근사 분산은 \(d_j / [n_j(n_j - d_j)]\)다(\(n_j\)가 주어졌을 때 \(d_j\)의 이항분산에서 나온다). 이를 더하고 델타법으로 원래 척도로 되돌리면 그린우드 공식을 얻는다.
\(\hat{S}(t)\)의 표준오차는
이다.
점별 선형 신뢰구간¶
가장 단순한 신뢰구간은 원래 척도에서 정규근사를 쓴다.
여기서 \(z_{\alpha/2}\)는 표준정규분포의 상위 \(\alpha/2\) 분위수다.
선형 구간의 한계
이 구간은 \([0, 1]\) 밖의 값을 낼 수 있으며, 특히 \(\hat{S}(t)\)가 0이나 1에 가까울 때 그렇다. 또 경계 근처에서 \(\hat{S}(t)\)의 분포에 대한 정규근사가 나빠 소표본에서 포함확률이 명목 수준에 못 미치는 경향이 있다.
로그 변환¶
더 나은 접근은 구간을 만들기 전에 로그 변환을 적용하는 것이다. \(\theta(t) = \ln \hat{S}(t)\)라 하면 델타법에 의해
이다. \(\ln S(t)\)에 대한 \(100(1 - \alpha)\%\) 신뢰구간은
이고, 양 끝점을 지수화하면 \(S(t)\)의 신뢰구간
를 얻는다. 이 구간은 항상 \((0, 1]\) 안에 있어 선형 구간보다 낫다.
동등한 표현
같은 구간을 \(\bigl[\hat{S}(t)^{e^{c}},\; \hat{S}(t)^{e^{-c}}\bigr]\)로 쓰기도 한다. 여기서 \(c = z_{\alpha/2}\,\text{se}(\theta) / \ln \hat{S}(t)\)다. 두 표현은 대수적으로 같으며 위의 지수 형태가 읽기 쉽다.
로그-로그 변환¶
로그-로그 변환(여-로그-로그 변환이라고도 한다)이 실무에서 가장 좋은 포함확률을 준다.
로 정의하면 델타법에 의해
이다(\(\ln \hat S(t) < 0\)이므로 절댓값을 취한다). \(\phi(t)\)에 대한 구간
을 만든 뒤 생존 척도로 되돌린다. \((\phi_L, \phi_U)\)가 \(\phi(t)\)의 구간이면 \(S(t)\)의 신뢰구간은
이다. 순서가 뒤집힌다는 점에 유의하라. \(\phi\)의 상한이 \(S\)의 하한을 준다. \(\phi\)가 커지면 누적위험이 커지고 따라서 생존이 낮아지기 때문이다.
대부분의 소프트웨어 기본값
로그-로그 변환이 대부분의 통계 소프트웨어에서 카플란-마이어 신뢰구간의 기본 방법이다
(R의 survfit, 파이썬의 lifelines). 선형이나 로그 방법보다 일관되게 명목 수준에 가까운
포함확률을 준다.
보기 1. 그린우드 공식에 의한 신뢰구간. 카플란-마이어 절의 보기를 이어서 \(t = 3\)에서 계산한다.
- \(\hat{S}(3) = 0.729\)
- 그린우드 합: \(\frac{1}{8 \cdot 7} + \frac{1}{6 \cdot 5} = 0.01786 + 0.03333 = 0.05119\)
- \(\text{se}(\hat{S}(3)) = 0.729 \sqrt{0.05119} = 0.729 \times 0.2263 = 0.165\)
선형 95% 신뢰구간:
풀이
상한이 1을 넘어 선형 방법의 한계를 보여준다.
로그-로그 95% 신뢰구간:
역변환하면
로그-로그 구간 \((0.276,\ 0.925)\)는 \([0, 1]\) 안에 머물며 권장되는 구간이다. 폭이 \(0.649\)로 매우 넓다는 점에도 주목하라. 대상이 8명뿐이므로 이 정도 불확실성은 불가피하다.
방법 비교¶
| 방법 | 공식의 근거 | \([0,1]\) 유지 | 소표본 포함확률 |
|---|---|---|---|
| 선형 | \(\hat{S} \pm z \cdot \text{se}\) | 아니오 | 명목 이하 |
| 로그 | \(\exp(\ln \hat{S} \pm z \cdot \text{se}_\theta)\) | 예(\((0,1]\)) | 중간 |
| 로그-로그 | \(\ln(-\ln \hat{S}) \pm z \cdot \text{se}_\phi\)의 역변환 | 예 | 가장 좋음 |
왼쪽은 카플란-마이어 절 연습문제 1의 환자 10명 자료다. 붉은 점선이 선형 구간, 초록 실선이 로그-로그 구간이며, 회색 점선으로 \(S = 0\)과 \(S = 1\)을 그어 두었다. 선형 구간은 양쪽 끝에서 모두 경계를 뚫는다. \(t = 3\)에서 \(\hat S = 0.900\)의 선형 구간은 \((0.714,\ 1.086)\)으로 상한이 1을 넘고, \(t = 15\)에서 \(\hat S = 0.360\)의 선형 구간은 \((-0.006,\ 0.726)\)으로 하한이 0 아래로 내려간다. 생존확률이 \(1.086\)이라는 진술은 아무 의미가 없다.
같은 시점의 로그-로그 구간은 \((0.473,\ 0.985)\)와 \((0.063,\ 0.686)\)이다. 둘 다 \([0,1]\) 안에 있을 뿐 아니라 비대칭이다. \(t = 3\)에서는 점추정치 \(0.900\) 아래로 \(0.427\), 위로 \(0.085\) 뻗는다. 위쪽이 다섯 배나 짧은 것은 \(\hat S\)가 1에 가까울 때 더 올라갈 여지가 물리적으로 없기 때문이며, \(\hat S\)의 표집분포가 실제로 그렇게 생겼다. 선형 구간이 양쪽으로 똑같이 \(0.186\)씩 뻗는 것은 그 비대칭을 무시한 결과다.
오른쪽은 표본을 \(n = 200\)으로 늘리고 로그-로그 띠만 그린 것이다. 띠의 절대 폭은 \(t = 8\)에서 \(0.138\), \(t \approx 31\)에서 \(0.113\)으로 오히려 줄어드는 것처럼 보인다. 그러나 이는 착시다. 같은 시점의 \(\hat S\)가 \(0.590\)에서 \(0.125\)로 떨어졌으므로, 추정치 대비 폭은 \(23\% \to 61\% \to 90\%\)로 네 배 가까이 부푼다. 위험집합이 \(108\)명에서 \(30\)명, \(13\)명으로 줄어든 결과이며, 그린우드 합의 각 항 \(d_j/[n_j(n_j-d_j)]\)가 \(n_j\) 감소에 제곱으로 반응하기 때문이다.
실무적 교훈은 짧다. 곡선의 오른쪽 끝을 근거로 결론 내리지 말라. "5년 생존율이 12.5%"라는 문장은 그 뒤에 "(95% 신뢰구간 7%--20%)"를 붙이는 순간 전혀 다른 문장이 된다. 그리고 두 집단의 곡선을 비교할 때 꼬리에서 벌어진 간격은 대개 띠 안에서 설명되는 차이다. 21.2절의 로그순위 검정이 시점별 눈대중이 아니라 전 구간 합산으로 판단하는 것도 같은 이유에서다.
동시 신뢰띠¶
위의 구간들은 점별이다. 각 구간은 고정된 하나의 \(t_0\)에서 \(S(t_0)\)를 확률 \(1 - \alpha\)로 포함한다. 동시 신뢰띠는 구간 \([t_L, t_U]\)의 모든 \(t\)에 대해 곡선 \(S(t)\) 전체를 동시에 포함한다.
홀-웰너 띠와 등정밀도(EP) 띠가 흔히 쓰이는 두 방법이다. 모든 시점에 걸친 다중비교를 반영해야 하므로 둘 다 점별 구간보다 넓다.
동시 신뢰띠를 언제 쓰는가
생존곡선 전체에 대한 진술을 하고 싶을 때 동시 신뢰띠가 필요하다(예: "참 곡선이 모든 시점에서 이 띠 안에 있다"). 특정 시점의 생존율을 보고할 때는(예: 5년 생존율) 점별 구간으로 충분하다.
연습문제¶
연습문제 1. 그린우드 공식
카플란-마이어 절의 연습문제 1에 나온 환자 10명 자료를 이용해 그린우드 공식으로 \(\hat{S}(8)\)의 표준오차를 계산하고 선형 방법으로 95% 점별 신뢰구간을 구성하라. 로그-로그 구간과도 비교하라.
풀이
\(\hat{S}(8) = 0.675\)이고 \(t = 8\)까지의 그린우드 합은
이다. 따라서
선형 95% 신뢰구간: \(0.675 \pm 1.96 \times 0.155 = (0.371,\ 0.979)\).
로그-로그 95% 신뢰구간: \(\phi(8) = \ln(-\ln 0.675) = \ln(0.3930) = -0.9340\), \(\text{se}(\phi) = 0.2297/0.3930 = 0.5845\)이므로 \(\phi\)의 구간은 \((-2.0796,\ 0.2116)\)이고 역변환하면 \((0.291,\ 0.883)\)이다.
| 방법 | 신뢰구간 | 폭 |
|---|---|---|
| 선형 | \((0.371,\ 0.979)\) | \(0.608\) |
| 로그-로그 | \((0.291,\ 0.883)\) | \(0.592\) |
두 구간이 상당히 다르다. 선형 구간은 위쪽으로 치우쳐 상한이 \(0.979\)까지 올라가는데, 이는 사건이 이미 3건 관측된 자료로서는 낙관적이다. 로그-로그 구간은 아래쪽으로 더 내려가고 위쪽으로는 덜 올라가는 비대칭 구간이며, \(\hat S\)의 표집분포가 실제로 비대칭이라는 사실을 반영한다. \(\square\)
연습문제 2. 그린우드 공식의 합 \(\sum_j d_j/[n_j(n_j-d_j)]\)을 델타법으로 유도하라. 넬슨-알렌의 분산 공식 \(\sum_j d_j/n_j^2\)과 어떻게 다른가?
풀이
\(\hat p_j = d_j/n_j\)라 하고 \(\ln \hat S(t) = \sum_j \ln(1 - \hat p_j)\)에서 출발한다.
각 항의 분산. \(n_j\)를 조건으로 \(d_j \sim \text{Binomial}(n_j, p_j)\)이므로 \(\operatorname{Var}(\hat p_j) = p_j(1-p_j)/n_j\)다. 델타법을 \(g(p) = \ln(1-p)\)에 적용하면 \(g'(p) = -1/(1-p)\)이므로
이고 \(\hat p_j = d_j/n_j\)를 대입하면
를 얻는다. 항들을 (근사적으로 독립이라 보고) 더하면 \(\operatorname{Var}(\ln \hat S) \approx \sum_j d_j/[n_j(n_j-d_j)]\)이고, 다시 델타법으로 \(S = e^{\ln S}\)로 되돌리면 \(\hat S^2\)가 곱해져 그린우드 공식이 된다.
넬슨-알렌과의 비교.
| 공식 | \(d_j \ll n_j\)일 때 | |
|---|---|---|
| 그린우드 | \(\sum_j \dfrac{d_j}{n_j(n_j-d_j)}\) | \(\approx \sum_j d_j/n_j^2\) |
| 넬슨-알렌 | \(\sum_j \dfrac{d_j}{n_j^2}\) | 같음 |
\(d_j \ll n_j\)이면 \(n_j - d_j \approx n_j\)이므로 두 공식이 일치한다. 그러나 위험집합이 작아지는 꼬리에서 갈라진다. 그린우드는 분모에 \((n_j - d_j)\)가 있어 \(d_j\)가 \(n_j\)에 가까워지면 값이 폭발한다. 극단적으로 \(d_j = n_j\)(마지막 한 명이 사건을 겪는 경우)이면 그린우드 합이 무한대가 된다.
이는 결함이 아니라 정직함이다. \(\hat S(t) = 0\)인 시점에서 곡선의 불확실성은 실제로 통제되지 않으며, 그린우드가 그것을 반영한다. 다만 구현에서는 \(\hat S = 0\) 이후를 보고하지 않거나 마지막 사건시간까지만 신뢰구간을 그리는 것이 관례다. \(\square\)
연습문제 3. 왜 로그-로그 변환이 로그 변환보다 나은 포함확률을 주는지 설명하라.
풀이
세 방법이 정규근사를 적용하는 척도가 서로 다르다.
| 변환 | 척도 | 치역 |
|---|---|---|
| 선형 | \(S\) | \([0, 1]\) |
| 로그 | \(\ln S\) | \((-\infty, 0]\) |
| 로그-로그 | \(\ln(-\ln S) = \ln H\) | \((-\infty, \infty)\) |
정규근사가 잘 작동하려면 대상 통계량의 표집분포가 경계에 부딪히지 않고 대칭이어야 한다.
- 선형 척도에서 \(\hat S\)는 양쪽에 경계가 있다. \(\hat S\)가 0이나 1 근처면 분포가 한쪽으로 몰려 정규근사가 나쁘고, 구간이 \([0,1]\) 밖으로 나간다.
- 로그 척도에서는 위쪽 경계(\(\ln S \le 0\))만 남는다. \(\hat S\)가 1에 가까우면 여전히 문제가 있지만 0 근처에서는 개선된다.
- 로그-로그 척도에서는 경계가 아예 없다. \(\ln \hat H\)는 실선 전체를 값으로 가질 수 있으며, 실제로 \(\hat H\)의 표집분포가 로그 척도에서 정규에 훨씬 가깝다.
이는 새로운 원리가 아니다. 19장에서 오즈비의 신뢰구간을 오즈비 척도가 아니라 로그오즈비 척도에서 만들고 지수화한 것과 같은 이유다. 경계가 없고 대칭에 가까운 척도로 옮겨 구간을 만든 뒤 되돌리는 것이 일반적인 처방이다.
모의실험으로 확인하려면 참 \(S(t)\)를 알고 있는 상황에서 표본을 반복 생성하여 각 방법의 구간이 참값을 포함하는 비율을 세면 된다. 문헌의 결과는 \(n\)이 작을 때 선형이 명목 95%보다 한참 낮은 포함확률을 주고, 로그-로그가 가장 명목에 가깝다는 것이다. \(\square\)
정리하며¶
\(\hat S(t)\) 에도 불확실성이 있다.
- 그린우드 공식이 분산을 준다. 곱 형태이므로 로그를 취해 델타 방법을 적용한 결과이며, 위험집합이 줄어드는 꼬리에서 분산이 커진다.
- 단순 정규 구간은 \([0,1]\) 을 벗어난다. 그래서 로그–로그 변환(\(\log(-\log S)\))을 쓴 뒤 되돌리는 것이 표준이며, 구간이 항상 \([0,1]\) 안에 들어온다.
- 꼬리에서 구간이 매우 넓다. 남은 대상이 적으면 추정이 불안정하며, 곡선의 오른쪽 끝을 근거로 결론 내리면 안 된다.
- 점별 구간과 동시 신뢰띠가 다르다. 점별 구간을 곡선 전체에 대한 보장으로 읽으면 9장의 다중검정 문제가 생긴다.
- 구간을 곡선과 함께 그린다. 두 집단의 띠가 크게 겹치면 로그순위 검정이 기각해도 신중해야 한다.
다음 절 카플란-마이어 (코드) 로 넘어간다.