대응 설계와 독립 설계 중 무엇을 쓸 것인가¶

\(\rho = 0.85\)이면 대응 차이의 분산은:

양의 상관이 높으면 \(2\rho\sigma_1\sigma_2\)가 크므로, 독립표본 분산 \(\sigma_1^2 + \sigma_2^2\)에 비해 \(\text{Var}(D)\)가 크게 줄어든다. 차이의 분산이 작으면 표준오차가 작아지고 신뢰구간이 좁아지며 통계적 검정력이 커진다. 각 환자가 자기 자신의 대조 역할을 하여 환자 간 변동성이 비교에서 제거된다.

(a) 대응 설계. 각 학생을 (전후로) 두 번 측정하므로 자연스러운 쌍이 만들어진다. 대응 설계는 기저 능력의 개인차를 감안하여 과외 프로그램의 효과를 분리해 낸다.

(b) 독립 설계. 남성과 여성은 자연스러운 짝짓기가 없는 서로 다른 집단이다. 특정 남성과 특정 여성을 짝지을 의미 있는 방법이 없다. 독립 이표본 접근이 적절하다.

대응 분석: \(\text{Var}(D) = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2 = 100 + 100 - 2(0.7)(100) = 60\). 따라서 \(\text{SE}_{\text{paired}} = \sqrt{60/25} = \sqrt{2.4} \approx 1.549\).

독립 분석(잘못된 방법): \(\text{SE}_{\text{indep}} = \sqrt{\sigma_1^2/n_1 + \sigma_2^2/n_2} = \sqrt{100/25 + 100/25} = \sqrt{8} \approx 2.828\).

잘못된 독립 분석의 표준오차는 \(2.828/1.549 \approx 1.83\)배 크다. 신뢰구간이 필요보다 83% 넓어져 실제 효과를 탐지할 가능성이 크게 줄어든다.

새 진통제를 위약과 비교하는 약물시험에서 각 환자가 두 처리를 차례로 받는다고 하자. 새 약이 오래가는 생물학적 효과를 낸다면(예: 통증 수용체 민감도를 영구적으로 바꾼다면) 두 번째 기간의 위약 반응이 첫 기간 약물의 잔여 효과에 오염된다. 이런 이월 효과는 두 번째 측정이 참된 위약 반응을 반영하지 못한다는 뜻이다.

이 경우 반복측정이 가능하더라도 차이 \(D_i = X_{i,\text{drug}} - X_{i,\text{placebo}}\)가 편향되므로 대응 분석이 타당하지 않다. 집단을 나누는 독립표본 설계(한 집단은 약, 다른 집단은 위약)라면 이 문제를 완전히 피할 수 있다.

예산 \(B\)를 고정한다.

대응이 유리할 조건.

읽기.

1. \(c_p\le2c_s\)이면 대응이 언제나 낫다. 쌍을 만드는 비용이 개체 두 명을 쓰는 비용보다 싸다는 뜻인데, 같은 사람을 두 번 측정하는 설계가 보통 여기에 해당한다. 모집 비용이 측정 비용보다 크기 때문이다.

2. 짝짓기가 비싸면 신중해야 한다. 관측연구에서 성향점수로 대조군을 찾는 데 수백 명을 걸러야 한다면 \(c_p\)가 매우 크다. 이때 \(\rho\)가 충분히 크지 않으면 짝짓지 않고 회귀보정하는 편이 낫다.

고려하지 않은 비용.

• 탈락. 대응 설계에서 한 쌍의 한쪽이 빠지면 그 쌍 전체가 약해진다. 위 계산은 탈락률이 같다고 가정한다.
• 시간. 전후 측정은 시간이 걸린다. 결과를 빨리 얻어야 한다면 독립 설계가 나을 수 있다.
• 분석의 복잡성. 대응 설계는 결측·이월·기간효과를 다뤄야 해서 분석 비용이 높다.
• 자유도. 앞서 본 대로 \(n\)이 아주 작으면 자유도 손실이 겹친다.

실무 절차. \(\rho\)를 예비연구나 문헌에서 추정하고, \(c_p\)와 \(c_s\)를 실제 견적으로 잡은 뒤 위 조건을 확인한다. \(\rho\)를 추측으로 정하는 것이 가장 큰 불확실성이므로, 여러 \(\rho\)에서 민감도를 보는 것이 좋다.

원칙 — 결과와 강하게 관련된 변수라야 한다. 짝짓기의 이득은 짝 내 상관 \(\rho\)에서 오고, \(\rho\)는 짝짓기 변수가 결과를 얼마나 설명하는지로 결정된다.

좋은 짝짓기 변수의 조건.

1. 결과의 강한 예측변수. 이것이 본질이다. 혈압 연구에서 기저 혈압, 학업 연구에서 사전 성적, 세포실험에서 배양 접시.

2. 처리 배정 전에 측정 가능. 처리 후의 값으로 짝지으면 충돌자 편향이 생긴다.

3. 짝을 실제로 만들 수 있을 만큼 흔한 값. 연속변수는 구간으로 묶거나 최근접 짝짓기를 쓴다. 짝을 찾지 못한 개체를 버리면 표본이 줄고 모집단이 바뀐다.

4. 관심 변수가 아닐 것. 짝짓기한 변수의 효과는 추정할 수 없다. 성별로 짝지으면 성별 효과를 볼 수 없다.

나쁜 짝짓기 변수.

이득의 크기. 앞서 본 손익분기(\(n=20\)에서 \(\rho^*=0.065\))를 쓰면, 짝짓기 변수가 결과 분산의 7% 이상만 설명해도 대응이 유리하다. 문턱이 낮다.

몇 개로 짝지을 것인가. 변수가 늘수록 \(\rho\)가 커지지만 짝을 찾기 어려워진다. 실무에서는

• 가장 강한 예측변수 1~2개로 정확히 짝짓고,
• 나머지는 분석 단계에서 공변량으로 보정한다.

짝짓기 대 보정. 회귀로 보정하면 같은 정보를 쓰면서 짝을 찾는 비용이 없다. 무작위 실험에서는 층화나 블록화가, 관측연구에서는 성향점수 짝짓기나 회귀보정이 쓰인다. 짝짓기의 고유한 장점은 모형 가정이 적다는 것이다.

정의. 짝짓기가 이득을 주기는커녕 효율을 떨어뜨리거나 편향을 만드는 경우다. 환자-대조군 연구에서 특히 문제가 된다.

유형 1 — 효율 손실형. 짝짓기 변수가 노출과 관련되어 있으면, 짝 내에서 노출이 비슷해져 불일치 짝이 줄어든다.

앞서 보았듯 맥니마 검정의 정보는 불일치 짝에서만 나온다. 노출이 비슷한 짝이 많아지면 \(b+c\)가 작아져 검정력이 떨어진다.

• 예: 흡연과 폐암 연구에서 거주지역으로 짝지음. 지역이 흡연율과 관련되면 짝 내 흡연 차이가 줄어든다.
• 편향은 없지만 표본을 낭비한다.

유형 2 — 편향 유발형(중간변수). 짝짓기 변수가 노출과 결과 사이의 인과 경로 위에 있으면, 그것을 고정해 효과의 일부를 지운다.

• 예: 흡연 → 만성기관지염 → 폐암 경로에서 기관지염 유무로 짝지음. 흡연의 총효과가 과소추정된다.
• 이것이 가장 심각하다. 결과가 틀린다.

유형 3 — 편향 유발형(충돌자). 짝짓기 변수가 노출과 결과의 공통 결과이면, 그것을 고정할 때 없던 연관이 생긴다.

• 예: 노출과 질병이 모두 입원 확률에 영향을 주는데, 입원 여부로 짝지음. 선택 편향의 한 형태다.

판별법 — 인과그래프를 그린다.

핵심 규칙. 결과의 원인이면서 노출의 결과가 아닌 변수로 짝짓는다.

되돌릴 수 있는가. 유형 1(효율 손실)은 분석에서 회복할 방법이 없다. 정보가 이미 사라졌다. 유형 2·3은 짝짓기를 무시하고 분석하면 되는 것 같지만, 짝짓기 자체가 표본을 선택했으므로 완전히 되돌릴 수 없다. 설계 단계의 결정이 분석으로 고쳐지지 않는다.

\(2\times2\) 교차설계. 대상자를 두 순서군에 배정한다.

모형. 기간효과 \(\pi\), 처리효과 \(\tau\), 이월효과 \(\lambda\)(1기간 처리가 2기간에 남는 효과)를 넣으면 각 칸의 기댓값이

개체 내 차이를 취하면.

두 군의 차이를 반으로 나누면

이월효과가 대칭(\(\lambda_A=\lambda_B\))이면 상쇄되고 처리효과가 깨끗이 나온다. 비대칭이면 편향된다.

왜 비대칭이 흔한가. A가 효과가 크고 B가 위약이라면, A의 잔류효과가 B의 잔류효과보다 크다. 효과가 있는 처리일수록 이월도 크다는 것이 자연스럽다. 즉 이월이 있으면 대개 비대칭이다.

이월 검정의 함정. 두 순서군의 개체 내 합을 비교하면 \(\lambda_A-\lambda_B\)를 검정할 수 있다. 하지만

1. 검정력이 매우 낮다. 개체 간 비교라 분산이 크다.
2. 2단계 절차가 위험하다. "이월 검정이 유의하면 1기간만 쓰고, 아니면 교차분석" 하는 관행은 전체 제1종 오류율을 크게 부풀린다. 규제기관이 이 절차를 권하지 않는다.

대처.

1. 충분한 세척기간. 약물이면 반감기의 5배 이상. 가장 확실한 해법이며 설계 단계에서 결정해야 한다.

2. 교차설계를 쓰지 않는다. 이월이 의심되면 평행군 설계가 안전하다. 효율을 잃지만 편향이 없다.

3. 적절한 질환·처리를 고른다. 만성 안정 질환의 증상완화제처럼 상태가 원래대로 돌아오는 경우에만 쓴다. 완치되는 질환이나 학습효과가 있는 과제에는 부적절하다.

4. 더 긴 설계. ABBA, ABB/BAA 같은 3기간 이상 설계에서는 이월과 처리효과를 분리해 추정할 수 있다.

요약. 교차설계는 개체 내 비교로 큰 효율을 주지만, 이월효과라는 단일한 위험에 걸려 있다. 그 위험을 설계로 없앨 수 있을 때만 쓴다.

취약한 이유.

1. 한쪽이 빠지면 쌍이 깨진다. 개체별 탈락률이 \(q\)라면 완전한 쌍이 남을 확률은 \((1-q)^2\)쯤이다. \(q=0.2\)면 쌍의 36%가 손실된다. 독립 설계에서는 20%만 잃는다.

2. 표본크기 계산이 무너진다. 필요한 쌍 수를 \(n\)으로 계산했다면 \(n/(1-q)^2\)를 모집해야 한다. \(q=0.2\)면 1.56배다.

3. 탈락이 무작위가 아닐 위험. 전후 설계에서 상태가 나빠진 사람이 2차 측정에 오지 않으면, 남은 자료가 좋아진 사람 쪽으로 치우친다. 이것은 앞서 본 평균회귀와 겹쳐 효과를 과장한다.

4. 되돌릴 수 없다. 독립 설계에서는 각 집단이 독립이라 한쪽의 결측이 다른 쪽에 영향을 주지 않는다.

대비.

가장 중요한 것 — 탈락자의 정보. 누가 왜 빠졌는지 기록하면

• 탈락이 처리군에 따라 다른지,
• 기저 특성이 완주자와 다른지

를 확인할 수 있다. 이것이 없으면 결측 기전을 논할 근거 자체가 없다.

분석 전략.

1. 혼합모형(MAR 가정). 관측된 자료를 모두 쓰면서 상관을 반영한다. 완전사례보다 효율적이고 MAR 아래에서 편향되지 않는다.
2. 다중대체. 보조변수를 대체 모형에 넣을 수 있어 MAR 가정이 더 그럴듯해진다.
3. 민감도 분석. "탈락자가 평균보다 \(\delta\)만큼 나빴다면" 하는 식으로 \(\delta\)를 바꿔가며 결론의 안정성을 본다. 규제 문서에서 점점 요구되는 절차다.

하지 말 것. 마지막 관측값 이월(LOCF)은 분산을 과소평가하고 편향을 만든다. 한때 표준이었으나 지금은 권장되지 않는다.

목적이 다르다.

실험에서. 무작위 배정이 편향을 처리한다. 짝짓기(블록화)는 분산을 줄이는 장치일 뿐이다. 잘못 짝지어도 무작위성이 유지되는 한 추정값은 여전히 불편이며, 폭이 넓어질 뿐이다. 위험이 낮다.

관측연구에서. 짝짓기가 식별 전략의 일부다. "짝지은 변수를 고정하면 처리가 무작위나 마찬가지"라는 가정(조건부 교환가능성) 위에 결론이 선다. 이 가정은 검증할 수 없다.

핵심 차이 — 측정되지 않은 교란. 성향점수 짝짓기는 관측된 공변량만 균형 맞춘다. 관측되지 않은 교란요인은 그대로 남는다. 무작위 배정은 관측 여부와 무관하게 모든 변수를 기댓값 수준에서 균형 맞춘다. 이 차이는 표본을 아무리 늘려도 사라지지 않는다.

실무적 차이들.

1. 짝 내 비교의 의미. 실험의 짝은 설계로 만든 것이라 짝 내 비교가 곧 처리효과다. 관측연구의 짝은 성향점수가 비슷한 두 사람일 뿐, 다른 점이 남아 있을 수 있다.

2. 분산 추정. 성향점수를 추정했다는 사실이 표준오차에 들어가야 하는데, 이를 무시하는 분석이 흔하다. 부트스트랩도 짝짓기 단계를 포함해 다시 해야 한다.

3. 추정 대상이 바뀐다. 짝을 찾지 못한 개체를 버리면 처리군 중 짝이 있는 부분집단에 대한 효과가 된다. 모집단이 달라진 것이다.

4. 진단. 관측연구에서는 짝짓기 후 공변량 균형을 반드시 확인해야 한다(표준화 평균차이 등). 실험에서는 확인이 예의일 뿐 필수가 아니다.

민감도 분석의 역할. 관측연구에서는 "측정되지 않은 교란요인이 얼마나 강해야 결론이 뒤집히는가"를 정량화하는 로젠바움식 민감도 분석이 거의 필수다. 실험에서는 필요 없다.

요약 한 문장. 실험의 짝짓기는 효율의 문제이고, 관측연구의 짝짓기는 타당성의 문제다. 같은 계산을 하지만 무엇이 걸려 있는지가 전혀 다르다.