F 검정 꼬리 영역 시각화¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import f

sample1 = [12, 15, 14, 10, 13, 14, 12, 11]
sample2 = [22, 25, 20, 18, 24, 23, 19, 21]

# 두 집단의 분산비가 F 분포의 어디에 떨어지는지 그림으로 본다.
x1 = np.asarray(sample1, dtype=float)
x2 = np.asarray(sample2, dtype=float)
df1, df2 = x1.size - 1, x2.size - 1

F_obs = x1.var(ddof=1) / x2.var(ddof=1)

xs = np.linspace(0.01, max(6, F_obs + 2), 400)
pdf = f(df1, df2).pdf(xs)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4))
ax.plot(xs, pdf, linewidth=2, label="F({},{}) PDF".format(df1, df2))

# 왼쪽 꼬리를 칠한다. 분산비가 1 보다 작은 쪽의 이탈에 해당한다.
mask_left = xs <= F_obs
ax.fill_between(xs[mask_left], pdf[mask_left], 0, alpha=0.15, label="Left tail")

# 오른쪽 꼬리. 양측검정이므로 두 꼬리를 모두 본다.
mask_right = xs >= F_obs
ax.fill_between(xs[mask_right], pdf[mask_right], 0, alpha=0.15, label="Right tail")

ax.axvline(F_obs, linestyle="--", color="black", label=f"F_obs = {F_obs:.3f}")
ax.set_xlabel("F")
ax.set_ylabel("Density")
ax.set_title(f"F({df1}, {df2}) with observed F = {F_obs:.3f}")
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

# 칠해진 두 영역의 넓이를 실제로 재 본다.
dist = f(df1, df2)
area_left, area_right = dist.cdf(F_obs), dist.sf(F_obs)
print(f"F_obs = {F_obs:.6f}   (d1 = {df1}, d2 = {df2})")
print(f"왼쪽 영역 넓이 = {area_left:.6f}")
print(f"오른쪽 영역 넓이 = {area_right:.6f}")
print(f"두 넓이의 합   = {area_left + area_right:.12f}")
print(f"양측 p 값      = {2 * min(area_left, area_right):.6f}")

F_obs = 0.473214   (d1 = 7, d2 = 7)
왼쪽 영역 넓이 = 0.172386
오른쪽 영역 넓이 = 0.827614
두 넓이의 합   = 1.000000000000
양측 p 값      = 0.344772

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import f

plt.rcParams["font.family"] = "Apple SD Gothic Neo"
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False

INK, BLUE, BLUEL = "#37474F", "#1565C0", "#DCEBFB"
ORANGE, ORANGEL, RED = "#E65100", "#FFE0B2", "#D32F2F"

d1 = d2 = 7
dist = f(d1, d2)
F_obs = 0.47321428571428575
mirror = 1 / F_obs

xs = np.linspace(0.001, 6, 1200)
pdf = dist.pdf(xs)

fig, (ax, az) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 3.6), sharey=True)

for a in (ax, az):
    a.plot(xs, pdf, color=INK, lw=1.8, zorder=4)
    a.axvline(F_obs, color=RED, ls="--", lw=1.6, zorder=5)
    a.set_xlabel("$F$")
    a.set_xlim(0, 6)
    a.set_ylim(0, 0.82)
    a.spines[["top", "right"]].set_visible(False)

# 왼쪽: 쪽의 그림이 칠한 그대로. 두 영역이 축 전체를 덮는다.
m = xs <= F_obs
ax.fill_between(xs[m], pdf[m], 0, color=BLUE, alpha=0.55, zorder=2)
m = xs >= F_obs
ax.fill_between(xs[m], pdf[m], 0, color=ORANGE, alpha=0.35, zorder=2)
ax.set_ylabel("밀도")
ax.set_title("그림이 칠한 그대로:  0.1724 + 0.8276 = 1", fontsize=11, color=INK)
ax.text(0.20, 0.42, "0.1724", color=BLUE, fontsize=10, ha="center", fontweight="bold")
ax.text(1.9, 0.30, "0.8276", color=ORANGE, fontsize=10, ha="center", fontweight="bold")
ax.annotate("$F_{\\mathrm{obs}} = 0.4732$", xy=(F_obs, 0.70), xytext=(1.5, 0.74),
            color=RED, fontsize=10,
            arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=RED, lw=1.2))

# 오른쪽: 등꼬리 양측 기각역. 두 꼬리가 각각 0.1724 다.
m = xs <= F_obs
az.fill_between(xs[m], pdf[m], 0, color=BLUE, alpha=0.55, zorder=2)
m = xs >= mirror
az.fill_between(xs[m], pdf[m], 0, color=BLUE, alpha=0.55, zorder=2)
az.axvline(mirror, color=RED, ls="--", lw=1.6, zorder=5)
az.set_title("등꼬리 양측:  0.1724 + 0.1724 = 0.3448 = $p$", fontsize=11, color=INK)
az.text(0.20, 0.42, "0.1724", color=BLUE, fontsize=10, ha="center", fontweight="bold")
az.text(3.1, 0.14, "0.1724", color=BLUE, fontsize=10, ha="center", fontweight="bold")
az.annotate("$1/F_{\\mathrm{obs}} = 2.1132$", xy=(mirror, 0.33), xytext=(2.6, 0.55),
            color=RED, fontsize=10,
            arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=RED, lw=1.2))

plt.tight_layout()
plt.show()

print(f"위쪽 경계  1/F_obs            = {mirror:.6f}")
print(f"일반 공식  ppf(1 - cdf(F_obs)) = {dist.ppf(1 - dist.cdf(F_obs)):.6f}")
print(f"칠한 넓이  cdf(F_obs) + sf(1/F_obs) = {dist.cdf(F_obs) + dist.sf(mirror):.6f}")
print(f"양측 p 값                         = {2 * min(dist.cdf(F_obs), dist.sf(F_obs)):.6f}")

위쪽 경계  1/F_obs            = 2.113208
일반 공식  ppf(1 - cdf(F_obs)) = 2.113208
칠한 넓이  cdf(F_obs) + sf(1/F_obs) = 0.344772
양측 p 값                         = 0.344772

# 두 꼬리 중 작은 쪽을 두 배 해 양측 p-값을 만든다. F 분포가 대칭이
# 아니라서 두 꼬리 넓이를 그냥 더하면 안 된다.
p_left = f(df1, df2).cdf(F_obs)
p_right = f(df1, df2).sf(F_obs)
p_two = 2 * min(p_left, p_right)

print(f"Sample variances: {x1.var(ddof=1):.4f}, {x2.var(ddof=1):.4f}")
print(f"F_obs = {F_obs:.4f}")
print(f"Left-tail  p-value: {p_left:.4f}")
print(f"Right-tail p-value: {p_right:.4f}")
print(f"Two-sided  p-value: {p_two:.4f}")

# (1) 의 두 항등식을 확인한다.
print(f"두 꼬리의 합 = {p_left + p_right:.12f}")
print(f"1 - |2*p_left - 1| = {1 - abs(2 * p_left - 1):.4f}")

# F_obs 를 움직이며 세 수가 어떻게 가는지 본다.
dist = f(df1, df2)
print(f"\n{'F_obs':>8}{'p_left':>10}{'p_right':>10}{'합':>8}{'p_two':>9}")
for Fo in (0.2, 0.4732, 0.8, 1.0, 1.25, 2.1132, 5.0):
    L, R = dist.cdf(Fo), dist.sf(Fo)
    print(f"{Fo:>8.4f}{L:>10.4f}{R:>10.4f}{L + R:>8.4f}{2 * min(L, R):>9.4f}")
print(f"\nF(7,7) 의 중앙값 = {dist.median():.6f}   (이 자리에서 p_two 가 1 이 된다)")

Sample variances: 2.8393, 6.0000
F_obs = 0.4732
Left-tail  p-value: 0.1724
Right-tail p-value: 0.8276
Two-sided  p-value: 0.3448
두 꼬리의 합 = 1.000000000000
1 - |2*p_left - 1| = 0.3448

   F_obs    p_left   p_right       합    p_two
  0.2000    0.0249    0.9751  1.0000   0.0499
  0.4732    0.1724    0.8276  1.0000   0.3448
  0.8000    0.3880    0.6120  1.0000   0.7760
  1.0000    0.5000    0.5000  1.0000   1.0000
  1.2500    0.6120    0.3880  1.0000   0.7760
  2.1132    0.8276    0.1724  1.0000   0.3448
  5.0000    0.9751    0.0249  1.0000   0.0499

F(7,7) 의 중앙값 = 1.000000   (이 자리에서 p_two 가 1 이 된다)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import f

x1 = np.array([12, 15, 14, 10, 13, 14, 12, 11], dtype=float)
x2 = np.array([22, 25, 20, 18, 24, 23, 19, 21], dtype=float)
df1, df2 = 7, 7
F_obs = x1.var(ddof=1) / x2.var(ddof=1)

xs = np.linspace(0.01, 6, 400)
pdf = f(df1, df2).pdf(xs)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.plot(xs, pdf, lw=2)
mask = xs >= F_obs
ax.fill_between(xs[mask], pdf[mask], 0, alpha=0.3, color="red",
                label="Right tail")
ax.axvline(F_obs, ls="--", color="black")
ax.set_title(f"Right-tail test: p = {f(df1,df2).sf(F_obs):.4f}")
ax.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import f

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 3))
for ax, (d1, d2) in zip(axes, [(5, 5), (10, 10), (30, 30)]):
    xs = np.linspace(0.01, 4, 300)
    ax.plot(xs, f(d1, d2).pdf(xs), lw=2)
    ax.axvline(1, ls=":", color="gray")
    ax.set_title(f"F({d1}, {d2})")
    ax.set_xlabel("F")
plt.tight_layout()
plt.show()

for d1, d2 in [(5, 5), (10, 10), (30, 30)]:
    mode = (d1 - 2) / d1 * d2 / (d2 + 2)
    mean = d2 / (d2 - 2)
    print(f"F({d1},{d2}): mode={mode:.4f}, mean={mean:.4f}")

F(5,5): mode=0.4286, mean=1.6667
F(10,10): mode=0.6667, mean=1.2500
F(30,30): mode=0.8750, mean=1.0714

from scipy.stats import f

F_obs, d1, d2 = 0.4732, 7, 7
print(f"left tail  of F({d1},{d2}) at {F_obs}:      "
      f"{f(d1, d2).cdf(F_obs):.6f}")
print(f"right tail of F({d2},{d1}) at {1/F_obs:.4f}: "
      f"{f(d2, d1).sf(1 / F_obs):.6f}")

left tail  of F(7,7) at 0.4732:      0.172376
right tail of F(7,7) at 2.1133: 0.172376