넬슨-알렌 누적위험¶
카플란-마이어 추정량은 생존함수 \(S(t)\)를 직접 겨냥한다. 또 다른 비모수적 접근은 대신 누적위험함수 \(H(t)\)를 추정하고 관계식 \(S(t) = \exp(-H(t))\)로 생존곡선을 되찾는다. 이것이 넬슨-알렌 추정량이며 Nelson(1972)과 Aalen(1978)이 독립적으로 개발했다.
넬슨-알렌 추정량은 누적위험 자체가 관심 대상일 때 특히 유용하다. 예컨대 위험이 일정한지 평가하거나(누적위험 그림에서 직선인지 확인) 소표본 성질이 더 나은 신뢰구간을 만들 때 그렇다.
정의 1. 넬슨-알렌 추정량¶
카플란-마이어 절과 같은 표기를 쓴다. \(t_{(1)} < t_{(2)} < \cdots < t_{(K)}\)를 서로 다른 사건시간을 크기순으로 나열한 것이라 하고, 각 사건시간 \(t_{(j)}\)에서
- \(d_j\) = \(t_{(j)}\)에서의 사건 수,
- \(n_j\) = \(t_{(j)}\) 직전에 위험에 있는 대상 수
라 하자. 누적위험의 넬슨-알렌 추정량은
이다. 각 항 \(d_j / n_j\)는 그 시점까지 생존했다는 조건에서 시점 \(t_{(j)}\)에 사건이 일어날 조건부확률을 추정하며, 작은 구간에서 \(h(t_{(j)}) \cdot \Delta t\)를 근사한다.
카플란-마이어 추정량과의 관계¶
카플란-마이어와 넬슨-알렌은 같은 생존함수를 서로 다른 경로로 겨냥한다. 작은 \(x\)에 대한 항등식 \(-\ln(1 - x) \approx x\)를 쓰면
이다. 이 근사는 각 사건시간에서 \(d_j / n_j\)가 작을 때 정확하며, 대표본에서 전형적으로 그렇다. 따라서
이다. 유한표본에서는 둘이 조금 다를 수 있다. 모든 \(x \geq 0\)에 대해 \(\exp(-x) \geq 1 - x\)이므로 넬슨-알렌 기반 생존 추정치 \(\hat{S}_{\text{NA}}(t)\)는 언제나 카플란-마이어 추정치 \(\hat{S}_{\text{KM}}(t)\) 이상이다.
분산 추정¶
넬슨-알렌 추정량의 분산은 다음으로 추정한다.
이는 각 증분 \(d_j / n_j\)를 근사적으로 독립이고 분산이 \(d_j / n_j^2\)인 양으로 취급한 결과다 (\(n_j\)가 주어졌을 때 \(d_j\)의 이항분산에서 유도된다).
\(H(t)\)에 대한 근사적인 \(100(1 - \alpha)\%\) 신뢰구간은
이며 \(z_{\alpha/2}\)는 표준정규 분위수다.
로그 변환 신뢰구간
\(H(t) \geq 0\)이므로 위의 선형 신뢰구간은 \(H(t)\)가 작을 때 음수 하한을 낼 수 있다. 로그 변환이 이를 피한다. \(\ln \hat{H}(t)\)에 대한 구간을 만들고 양 끝점을 지수화하면 된다.
보기 1. 넬슨-알렌 누적위험 계산. 카플란-마이어 절과 같은 자료를 쓴다.
| \(t_{(j)}\) | \(n_j\) | \(d_j\) | \(d_j / n_j\) | \(\hat{H}(t_{(j)})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 1 | 0.125 | 0.125 |
| 3 | 6 | 1 | 0.167 | 0.292 |
| 5 | 4 | 2 | 0.500 | 0.792 |
| 9 | 1 | 1 | 1.000 | 1.792 |
\(t = 5\)에서 넬슨-알렌 생존 추정치는
풀이
이다. 카플란-마이어 추정치 \(\hat{S}_{\text{KM}}(5) = 0.365\)와 비교하면 차이가 눈에 띈다. \(d_3 / n_3 = 0.500\)이 작지 않아 그 단계에서 근사 \(\exp(-x) \approx 1 - x\)가 나쁘기 때문이다.
\(\hat{H}(5)\)의 추정된 분산은
이고, \(H(5)\)의 95% 신뢰구간은 \(0.792 \pm 1.96\sqrt{0.1684} = (-0.013,\ 1.596)\)이다. 하한이 음수이므로 0에서 잘라 \((0.000,\ 1.596)\)으로 보고한다. 위의 "로그 변환 신뢰구간" 상자가 지적한 바로 그 상황이다.
왼쪽이 위 보기의 두 곡선이다. 초반 두 계단에서는 두 선이 거의 붙어 있다. \(d_j/n_j\)가 \(0.125\)와 \(0.167\)로 작아 \(e^{-x} \approx 1-x\)가 잘 맞기 때문이다. 그런데 \(t = 5\)에서 \(d_j/n_j = 2/4 = 0.5\)가 되자 카플란-마이어는 \(0.365\), 넬슨-알렌은 \(0.453\)으로 \(0.089\)만큼 벌어진다. \(t = 9\)에서는 \(d_j/n_j = 1/1 = 1\)이라 카플란-마이어가 정확히 0에 닿는 반면 넬슨-알렌은 \(e^{-1.792} = 0.167\)에 머물러 차이가 \(0.167\)까지 커진다.
주황색으로 칠한 두 틈의 크기가 곧 근사오차다. 방향은 항상 같다. \(e^{-x} \ge 1-x\)이므로 넬슨-알렌 곡선이 카플란-마이어 곡선 아래로 내려가는 일은 없다. 그리고 \(x = d_j/n_j\)가 1에 가까워질수록 두 값의 차이가 커지므로, 위험집합이 말라붙는 곡선의 오른쪽 끝에서 틈이 가장 크게 벌어진다. 연습문제 2가 이 부등식을 증명하고, 연습문제 1이 같은 현상을 \(n = 10\) 자료에서 다시 보여 준다.
오른쪽은 이 절이 넬슨-알렌을 권하는 진짜 이유다. 두 집단 각각 \(n = 400\)을 지수분포와 와이불 \(k = 2.4\)에서 뽑고 무작위로 절단한 뒤, \(\hat H(t)\)를 시간에 대해 그렸다. 지수 자료는 곧은 직선이고 와이불 자료는 위로 굽는다. 파란 계단에 직선을 맞추면 기울기가 \(0.096\)으로 참값 \(\lambda = 0.10\)을 거의 그대로 회수한다. 같은 자료를 생존곡선으로 그렸다면 둘 다 "오른쪽으로 내려가는 곡선"으로만 보였을 것이다.
직선인지 아닌지는 사람 눈이 가장 잘 판별하는 모양이다. 굽음이나 기울기의 미세한 변화를 읽는 것보다 훨씬 쉽다. \(H(t)\)가 그 판별을 가능한 형태로 만들어 주기 때문에 누적위험 그림이 비형식적 진단의 표준이 되었다. 뒤의 연습문제 3에서 보듯 \(\ln \hat H(t)\) 대 \(\ln t\) 그림으로 한 걸음 더 나가면 와이불의 형상모수 \(k\)까지 기울기로 읽어 낼 수 있다.
넬슨-알렌 추정량을 언제 쓸 것인가¶
다음 상황에서 카플란-마이어보다 넬슨-알렌이 선호된다.
- 누적위험 그림. \(\hat{H}(t)\)를 \(t\)에 대해 그리면 위험 구조가 드러난다. 직선이면 상수 위험(지수 모형)을, 위로 볼록하면 증가 위험(와이불 \(k > 1\))을 시사한다.
- 소표본. 소표본에서 넬슨-알렌 추정량의 편향이 카플란-마이어보다 조금 작다.
- 구성 요소. 넬슨-알렌 추정량은 콕스 모형(21.4절)에서 기저 누적위험에 대한 브레슬로 추정량에 등장한다.
그림을 이용한 모형 점검
\(\hat{H}(t)\) 대 \(t\) 그림은 강력한 비형식적 진단이다. 원점을 지나는 직선에 가까우면 지수 모형이 타당하다. \(\ln \hat{H}(t)\) 대 \(\ln t\) 그림이 직선에 가까우면 와이불 모형이 적절하다.
연습문제¶
연습문제 1. 넬슨-알렌 추정량
카플란-마이어 절의 연습문제 1에 나온 환자 10명 자료를 이용해 각 사건시간에서 누적위험의 넬슨-알렌 추정치 \(\hat{H}(t)\)를 계산하고, \(\exp(-\hat{H}(12))\)를 \(\hat{S}_{\text{KM}}(12)\)와 비교하라.
풀이
| \(t_{(j)}\) | \(n_j\) | \(d_j\) | \(d_j/n_j\) | \(\hat{H}(t_{(j)})\) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 10 | 1 | 0.100 | 0.100 |
| 7 | 8 | 1 | 0.125 | 0.225 |
| 8 | 7 | 1 | 0.143 | 0.368 |
| 12 | 5 | 1 | 0.200 | 0.568 |
| 15 | 3 | 1 | 0.333 | 0.901 |
| 20 | 1 | 1 | 1.000 | 1.901 |
\(\exp(-\hat{H}(12)) = \exp(-0.568) = 0.567\)이고 \(\hat{S}_{\text{KM}}(12) = 0.540\)이다. 넬슨-알렌 기반 추정치가 예상대로 조금 더 크다.
차이 \(0.567 - 0.540 = 0.027\)이 이 정도로 눈에 띄는 것은 표본이 \(n = 10\)으로 작아 각 \(d_j/n_j\)가 \(0.1\)에서 \(0.333\)까지로 작지 않기 때문이다. \(n\)이 수백이면 각 증분이 \(0.01\) 이하가 되어 두 추정치가 소수점 셋째 자리까지 일치하는 것이 보통이다. \(\square\)
연습문제 2. 모든 \(x \geq 0\)에 대해 \(\exp(-x) \geq 1 - x\)임을 이용하여 \(\hat{S}_{\text{NA}}(t) \geq \hat{S}_{\text{KM}}(t)\)가 항상 성립함을 증명하라.
풀이
\(x_j = d_j/n_j \in [0, 1]\)이라 하자. 부등식 \(e^{-x} \ge 1 - x\)는 \(e^{-x}\)의 볼록성에서 나온다. \(g(x) = e^{-x} - (1-x)\)라 하면 \(g(0) = 0\)이고 \(g'(x) = -e^{-x} + 1 \ge 0\)(\(x \ge 0\))이므로 \(g\)가 비감소이고 따라서 \(g(x) \ge 0\)이다.
이제 각 사건시간에 적용하면
이다. 곱의 각 인자가 음이 아니므로 항별 부등식을 곱해도 방향이 보존된다.
등호 조건. 모든 \(j\)에 대해 \(x_j = 0\)일 때만 등호가 성립한다. 즉 사건이 하나도 없을 때다. 사건이 하나라도 있으면 부등식은 엄밀하다.
실무적 함의: 넬슨-알렌 기반 생존곡선은 카플란-마이어 곡선보다 항상 위에 있다. 특히 위험집합이 작아지는 꼬리에서 차이가 커진다. 카플란-마이어는 \(d_j = n_j\)일 때 정확히 0에 도달하지만 넬슨-알렌 기반 곡선은 결코 0에 닿지 않는다. 위 보기에서 \(t = 9\)일 때 \(\hat S_{\text{KM}} = 0\)이지만 \(\hat S_{\text{NA}} = e^{-1.792} = 0.167\)이다. \(\square\)
연습문제 3. 누적위험 그림으로 지수 모형과 와이불 모형을 구별하는 방법을 설명하라. 왜 \(\ln \hat H(t)\) 대 \(\ln t\) 그림이 와이불 진단에 쓰이는가?
풀이
지수 모형. \(h(t) = \lambda\)이면 \(H(t) = \lambda t\)이므로, \(\hat H(t)\)를 \(t\)에 대해 그리면 원점을 지나는 기울기 \(\lambda\)의 직선이 된다. 굽어 있으면 상수 위험 가정이 의심스럽다.
와이불 모형. \(H(t) = (t/\lambda)^k\)이므로 양변에 로그를 취하면
이다. 즉 \(\ln \hat H(t)\) 대 \(\ln t\) 그림이 기울기 \(k\), 절편 \(-k\ln\lambda\)인 직선이 된다. 이 그림에서 직선성이 와이불 적합도의 시각적 검정이 되고, 기울기가 형상모수 \(k\)의 대략적인 추정치를 준다.
| 그림 | 직선이면 | 기울기의 의미 |
|---|---|---|
| \(\hat H(t)\) 대 \(t\) | 지수 | \(\lambda\) |
| \(\ln \hat H(t)\) 대 \(\ln t\) | 와이불 | 형상 \(k\) |
지수는 \(k = 1\)인 와이불이므로, 두 번째 그림의 기울기가 1에 가까우면 지수 모형으로 충분하다.
\(\hat H(t) = 0\)인 구간을 조심하라
첫 사건 이전에는 \(\hat H(t) = 0\)이므로 \(\ln \hat H(t) = -\infty\)가 되어 그릴 수 없다. 또 사건이 한두 건뿐인 초기 구간에서는 \(\hat H\)의 변동이 매우 커서 로그 척도에서 과장되어 보인다. 그림의 왼쪽 끝을 해석하지 말고, 사건이 충분히 누적된 구간에서만 직선성을 판단하라. \(\square\)
연습문제 4. 넬슨-알렌 분산 공식 \(\sum_j d_j/n_j^2\)을 유도하라. 이 공식이 어떤 근사에 의존하는가?
풀이
시점 \(t_{(j)}\)에서 위험집합 \(n_j\)를 조건으로 하면, 사건 수 \(d_j\)는 근사적으로 \(\text{Binomial}(n_j, q_j)\)를 따른다. 여기서 \(q_j\)는 그 시점의 조건부 사건확률이다. 따라서
이다. \(q_j\)를 그 추정치 \(\hat q_j = d_j/n_j\)로 대체하면
이고, \(d_j \ll n_j\)이면 \((n_j - d_j)/n_j \approx 1\)이므로 \(\approx d_j/n_j^2\)이다. 증분들이 근사적으로 독립이라 보고 더하면 본문의 공식을 얻는다.
의존하는 근사 두 가지.
- \(d_j \ll n_j\). 위 마지막 단계에서 쓴 근사다. 꼬리에서 \(d_j\)가 \(n_j\)에 가까워지면 실제 분산보다 과대추정한다. 극단적으로 \(d_j = n_j\)이면 참 분산 기여는 \(d_j(n_j-d_j)/n_j^3 = 0\)인데 공식은 \(1/n_j\)를 준다. 정확한 판본 \(\sum_j d_j(n_j-d_j)/n_j^3\)을 쓰는 구현도 있다.
- 증분의 독립성. 엄밀히는 서로 다른 시점의 증분이 독립이 아니다. 정확한 정당화는 계수과정과 마팅게일 이론에서 나오며, 그 결과 이 분산 추정치가 점근적으로 옳음이 증명된다.
카플란-마이어의 그린우드 공식이 \(\sum_j d_j/[n_j(n_j-d_j)]\)인 것과 대조하라. 두 공식은 \(d_j \ll n_j\)일 때 일치하지만 꼬리에서 갈라지며, 그린우드 쪽이 더 큰 값을 준다. \(\square\)
정리하며¶
| 성질 | 넬슨-알렌 | 카플란-마이어 |
|---|---|---|
| 추정 대상 | \(H(t)\) | \(S(t)\) |
| 공식 | \(\sum d_j / n_j\) | \(\prod (1 - d_j / n_j)\) |
| 치역 | \([0, \infty)\) | \([0, 1]\) |
| 편향(소표본) | 조금 작음 | 조금 큼 |
| 대표본 동등성 | \(\hat{H} \approx -\ln \hat{S}_{\text{KM}}\) | \(\hat{S}_{\text{KM}} \approx \exp(-\hat{H})\) |