분산분석의 금융 응용¶

import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(17001)
B = 5_000

def garch(n, rng, omega=0.05, a=0.10, b=0.85):
    """변동성 군집을 갖는 GARCH(1,1) 수익률."""
    s2 = omega / (1 - a - b)
    out = np.empty(n)
    for t in range(n):
        out[t] = np.sqrt(s2) * rng.normal()
        s2 = omega + a * out[t]**2 + b * s2
    return out

def ar1(n, rho, rng):
    e = rng.normal(0, np.sqrt(1 - rho**2), n)
    x = np.empty(n)
    x[0] = rng.normal()
    for t in range(1, n):
        x[t] = rho * x[t - 1] + e[t]
    return x

print("3전략 × 60개월, 참 평균 모두 같음. 명목 0.05")
print(f"{'수익률의 성질':>26s} {'F 오류율':>9s} {'KW 오류율':>10s}")
cases = {
    "정규 (이상적)": lambda: [rng.normal(0, 1, 60) for _ in range(3)],
    "t(4) 두꺼운 꼬리": lambda: [rng.standard_t(4, 60) for _ in range(3)],
    "치우침 (왜도 -1)": lambda: [-(rng.gamma(4, 1, 60) - 4) / 2 for _ in range(3)],
    "변동성 군집 (GARCH)": lambda: [garch(60, rng) for _ in range(3)],
    "자기상관 ρ=0.2": lambda: [ar1(60, 0.2, rng) for _ in range(3)],
    "횡단면 상관 (공통요인)": None,
}
for lab, f in cases.items():
    a = b = 0
    for _ in range(B):
        if f is None:
            mkt = rng.normal(0, 1, 60)
            gs = [0.8 * mkt + rng.normal(0, 0.6, 60) for _ in range(3)]
        else:
            gs = f()
        a += stats.f_oneway(*gs).pvalue < 0.05
        b += stats.kruskal(*gs).pvalue < 0.05
    print(f"{lab:>26s} {a / B:9.4f} {b / B:10.4f}")

3전략 × 60개월, 참 평균 모두 같음. 명목 0.05
                   수익률의 성질     F 오류율     KW 오류율
                  정규 (이상적)    0.0492     0.0480
               t(4) 두꺼운 꼬리    0.0454     0.0462
               치우침 (왜도 -1)    0.0528     0.0506
            변동성 군집 (GARCH)    0.0532     0.0496
                자기상관 ρ=0.2    0.1312     0.1266
             횡단면 상관 (공통요인)    0.0010     0.0014

import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(17002)
B = 4_000

def gen(mus, beta=0.8, sd_idio=0.6, T=60):
    """모든 전략이 같은 시장 요인에 노출된 수익률."""
    mkt = rng.normal(0, 1, T)
    return [beta * mkt + rng.normal(m, sd_idio, T) for m in mus]

print("3전략 × 60개월, 모두 시장에 β=0.8 로 노출. 명목 0.05")
print(f"{'상황':>24s} {'독립 F':>9s} {'반복측정 F':>11s} {'프리드먼':>9s}")
for lab, mus in [("귀무 μ=(0,0,0)", [0, 0, 0]),
                 ("대립 μ=(0,0.2,0.4)", [0, 0.2, 0.4]),
                 ("대립 μ=(0,0.1,0.2)", [0, 0.1, 0.2])]:
    a = b = c = 0
    for _ in range(B):
        gs = gen(mus)
        a += stats.f_oneway(*gs).pvalue < 0.05

        Y = np.array(gs)                       # k × T
        k, T = Y.shape
        gm, rm, cm = Y.mean(), Y.mean(1), Y.mean(0)
        SSt = T * ((rm - gm)**2).sum()         # 전략 효과
        SSe = ((Y - rm[:, None] - cm[None, :] + gm)**2).sum()
        F = (SSt / (k - 1)) / (SSe / ((k - 1) * (T - 1)))
        b += stats.f.sf(F, k - 1, (k - 1) * (T - 1)) < 0.05

        c += stats.friedmanchisquare(*Y).pvalue < 0.05
    print(f"{lab:>24s} {a / B:9.4f} {b / B:11.4f} {c / B:9.4f}")

3전략 × 60개월, 모두 시장에 β=0.8 로 노출. 명목 0.05
                      상황      독립 F      반복측정 F      프리드먼
            귀무 μ=(0,0,0)    0.0003      0.0570    0.0535
        대립 μ=(0,0.2,0.4)    0.3852      0.9060    0.8003
        대립 μ=(0,0.1,0.2)    0.0200      0.3543    0.2620

import numpy as np
from scipy import stats

k, T = 3, 60
N = k * T
dfe = N - k
print(f"k={k}, 전략당 T={T}개월, ν={dfe}")
print(f"F = 4.21,  임계값 = {stats.f.ppf(0.95, k - 1, dfe):.4f},  "
      f"p = {stats.f.sf(4.21, k - 1, dfe):.4f}")
print(f"η² = {2 * 4.21 / (2 * 4.21 + dfe):.4f},  "
      f"ω² = {(2 * (4.21 - 1)) / (2 * 4.21 + dfe + 1):.4f}")

print("\n검정력 0.80 을 얻는 데 필요한 효과크기 (월 수익률 표준편차 σ 기준)")
print(f"{'월 변동성 σ':>12s} {'필요한 Cohen f':>14s} "
      f"{'최대-최소 평균차':>16s} {'연환산':>10s}")
for sd in [0.01, 0.02, 0.04, 0.06]:
    # f 를 이분법으로 찾는다
    lo, hi = 0.0, 2.0
    for _ in range(60):
        mid = (lo + hi) / 2
        lam = N * mid**2
        pw = stats.ncf.sf(stats.f.ppf(0.95, k - 1, dfe), k - 1, dfe, lam)
        if pw < 0.80:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    f = hi
    # μ=(−d/2, 0, d/2) 형태이면 f = d/(σ√6)
    d = f * sd * np.sqrt(6)
    print(f"{sd:12.2%} {f:14.4f} {d:16.2%} {12 * d:10.2%}")

print("\n관측된 F=4.21 에 대응하는 효과크기")
f_obs = np.sqrt(2 * 4.21 / N)
print(f"  Cohen f = {f_obs:.4f}")
for sd in [0.02, 0.04]:
    print(f"  월 변동성 {sd:.0%} 이면 최대-최소 평균차 "
          f"{f_obs * sd * np.sqrt(6):.2%}/월 = "
          f"{12 * f_obs * sd * np.sqrt(6):.2%}/년")

k=3, 전략당 T=60개월, ν=177
F = 4.21,  임계값 = 3.0470,  p = 0.0164
η² = 0.0454,  ω² = 0.0344

검정력 0.80 을 얻는 데 필요한 효과크기 (월 수익률 표준편차 σ 기준)
     월 변동성 σ    필요한 Cohen f        최대-최소 평균차        연환산
       1.00%         0.2333            0.57%      6.86%
       2.00%         0.2333            1.14%     13.72%
       4.00%         0.2333            2.29%     27.43%
       6.00%         0.2333            3.43%     41.15%

관측된 F=4.21 에 대응하는 효과크기
  Cohen f = 0.2163
  월 변동성 2% 이면 최대-최소 평균차 1.06%/월 = 12.71%/년
  월 변동성 4% 이면 최대-최소 평균차 2.12%/월 = 25.43%/년

세 전략의 평균 월 수익률에 유의한 차이가 있다
(F(2, 177) = 4.21, p = 0.016, ω² = 0.034).

다만 설명되는 변동이 3.4% 에 불과하고, 이 표본으로 80% 검정력을
갖는 효과크기는 연 13.7%p 수준이다. 따라서 통계적 유의성을
실질적 우위의 증거로 삼기에는 신중해야 한다.

또한 세 전략이 같은 시장에 노출되어 있다면 독립집단 분산분석이
부적절하며, 반복측정 분석이나 팩터 조정 알파 비교가 필요하다.

import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(17003)

def monthly_anova(rets, months):
    """월별 평균 수익률의 차이를 분산분석으로 검정."""
    gs = [rets[months == m] for m in range(12)]
    return stats.f_oneway(*gs)

# 1) 실제로 계절성이 전혀 없는 자료
T_years = 30
months = np.tile(np.arange(12), T_years)
print(f"자료: {T_years}년 × 12개월 = {len(months)}개월")
print("\n(가) 계절성이 전혀 없을 때")
B = 5_000
a = b = 0
for _ in range(B):
    r = rng.normal(0.006, 0.04, len(months))
    a += monthly_anova(r, months).pvalue < 0.05
    # "가장 높은 달 대 나머지" 를 자료에서 골라 t 검정
    gm = np.array([r[months == m].mean() for m in range(12)])
    best = gm.argmax()
    t = stats.ttest_ind(r[months == best], r[months != best],
                        equal_var=False)
    b += t.pvalue < 0.05
print(f"  전체 분산분석의 오류율          {a / B:.4f}")
print(f"  '가장 높은 달' 을 골라 t 검정   {b / B:.4f}   ← 자료 준설")

# 2) 실제로 1월 효과가 있을 때의 검정력
print("\n(나) 1월만 평균이 δ 만큼 높을 때의 검정력")
print(f"{'δ (월)':>8s} {'연환산':>8s} {'분산분석':>9s} "
      f"{'1월 대 나머지 (사전지정)':>22s}")
for d in [0.005, 0.010, 0.020]:
    a = b = 0
    for _ in range(2_000):
        r = rng.normal(0.006, 0.04, len(months))
        r[months == 0] += d
        a += monthly_anova(r, months).pvalue < 0.05
        b += stats.ttest_ind(r[months == 0], r[months != 0],
                             equal_var=False).pvalue < 0.05
    print(f"{d:8.1%} {12 * d:8.1%} {a / 2000:9.4f} {b / 2000:22.4f}")

자료: 30년 × 12개월 = 360개월

(가) 계절성이 전혀 없을 때
  전체 분산분석의 오류율          0.0472
  '가장 높은 달' 을 골라 t 검정   0.2796   ← 자료 준설

(나) 1월만 평균이 δ 만큼 높을 때의 검정력
   δ (월)      연환산      분산분석        1월 대 나머지 (사전지정)
    0.5%     6.0%    0.0655                 0.1050
    1.0%    12.0%    0.1155                 0.2605
    2.0%    24.0%    0.3395                 0.7175

d1t = r_fund,t − r_bench1,t      (벤치마크 1 대비 초과)
d2t = r_fund,t − r_bench2,t      (벤치마크 2 대비 초과)

H0: E[d1] = 0   그리고   E[d2] = 0

1. 자료 준비
   □ 같은 기간, 같은 빈도(월별)
   □ 배당·수수료 처리를 통일
   □ 결측 월 확인

2. 차이 계열 생성
   d1t, d2t 를 계산하고 시계열로 그린다

3. 가정 점검
   □ 자기상관 (더빈-왓슨, ACF) ← 가장 중요
   □ 정규성 (Q-Q, 치우침·첨도)
   □ 구조 변화 (누적 차이 그림)

4. 검정
   □ 자기상관이 없으면: 일표본 t 검정 × 2, 홀름 보정
   □ 자기상관이 있으면: HAC(뉴이-웨스트) 표준오차
   □ 두꺼운 꼬리면: 순열검정 또는 부트스트랩

5. 보고
   □ 연환산 초과수익률과 95% 구간
   □ 정보비율 (초과수익 / 추적오차)
   □ 검정력 한계 (연습문제 7)

[설계]
  □ 비교 대상이 같은 기간을 공유하는가  →  반복측정/블록 설계
  □ 관심 비교가 몇 개인가  →  전체 F? 대조 비교? 모든 쌍?
  □ 검정력 계산 — 탐지 가능한 최소 차이는 얼마인가

[자료]
  □ 같은 기간·빈도·통화·배당 처리
  □ 생존 편향(survivorship bias) — 사라진 펀드가 빠졌는가
  □ 결측과 이상치(플래시 크래시 등)

[가정]
  □ 자기상관 (ACF, 더빈-왓슨)         ← 가장 중요
  □ 횡단면 상관 (전략 간 상관행렬)      ← 가장 중요
  □ 구조 변화 (기간을 나눠 재분석)
  □ 정규성은 마지막에 (대체로 무해)

[분석]
  □ 초과수익률 또는 팩터 조정 알파
  □ 반복측정 또는 블록 설계
  □ 자기상관이 있으면 HAC 표준오차
  □ 사후비교 보정

[보고]
  □ 효과크기(연환산 차이, 정보비율)와 구간
  □ 검정력의 한계를 명시
  □ 자료 준설 여부(사전 등록되었는가)
  □ 거래비용·세금 후에도 남는가

1. 자료를 훈련/검증 기간으로 나눈다
2. 훈련 기간에서 가설을 만든다
3. 검증 기간에서 그 가설만 검정한다
4. 검증 기간을 다시 쓰지 않는다