키/몸무게 가설검정¶

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)

# 참 평균이 170 인 모집단에서 250명을 뽑았다. 우리는 이 사실을 모른다고 하고,
# "평균 키가 172 인가"를 자료만으로 판단해 본다.
data = stats.norm.rvs(loc=170, scale=8, size=250)

mu0 = 172
n = len(data)
xbar = data.mean()
s = data.std(ddof=1)
se = s / np.sqrt(n)
df = n - 1

t_stat = (xbar - mu0) / se
p_val = 2 * stats.t.cdf(-abs(t_stat), df)
t_crit = stats.t.ppf(1 - 0.05 / 2, df)

print(f"x-bar = {xbar:.2f}, s = {s:.2f}, SE = {se:.2f}")
print(f"t = {t_stat:.4f}, p = {p_val:.4f}, t_crit = {t_crit:.4f}")
print("Reject H0" if abs(t_stat) > t_crit else "Fail to reject H0")

x-bar = 169.98, s = 7.73, SE = 0.49
t = -4.1314, p = 0.0000, t_crit = 1.9695
Reject H0

# 자료를 만든 쪽의 참값을 쓴다. mu = 170, sigma = 8.
lam = (170 - mu0) * np.sqrt(n) / 8          # 비중심모수
power = (stats.nct.cdf(-t_crit, df, lam)
         + stats.nct.sf(t_crit, df, lam))
print(f"비중심모수 lambda = {lam:.6f},  임계값 {t_crit:.6f}")
print(f"이 설계의 검정력 = {power:.6f}")
print(f"관측된 t = {t_stat:.6f}  →  비중심 t 분포에서의 분위수 "
      f"{stats.nct.cdf(t_stat, df, lam):.4f}")
print(f"  (E[t] 근사값 lambda = {lam:.4f},  관측값과의 거리 "
      f"{t_stat - lam:+.4f})")

# 2 cm 를 검정력 80% 로 잡는 데 필요한 n
za, zb = stats.norm.ppf(0.975), stats.norm.ppf(0.80)
n_norm = (za + zb) ** 2 * 8**2 / 2**2
print(f"\n정규근사가 주는 n = {n_norm:.4f}  →  {int(np.ceil(n_norm))}")


def power_one_sample(m, delta=2.0, sigma=8.0, alpha=0.05):
    lam = delta * np.sqrt(m) / sigma
    c = stats.t.ppf(1 - alpha / 2, m - 1)
    return stats.nct.sf(c, m - 1, lam) + stats.nct.cdf(-c, m - 1, lam)


print("   n     검정력")
for m in (124, 125, 126, 127, 128, 250):
    print(f"{m:4d}   {power_one_sample(m):.5f}")
# n = 4 에서 scipy 의 비중심 t 가 경고를 내므로 5 부터 훑는다.
ms = np.arange(5, 1001)
pw = np.array([power_one_sample(int(k)) for k in ms])
ok = ms[pw >= 0.80]
print(f"\n검정력 >= 0.80 인 가장 작은 n = {ok.min()},  개수 = {len(ok)},"
      f"  연속인가 = {bool(np.all(np.diff(ok) == 1))}")

비중심모수 lambda = -3.952847,  임계값 1.969537
이 설계의 검정력 = 0.976013
관측된 t = -4.131402  →  비중심 t 분포에서의 분위수 0.4319
  (E[t] 근사값 lambda = -3.9528,  관측값과의 거리 -0.1786)

정규근사가 주는 n = 125.5821  →  126
   n     검정력
 124   0.78876
 125   0.79201
 126   0.79522
 127   0.79838
 128   0.80151
 250   0.97601

검정력 >= 0.80 인 가장 작은 n = 128,  개수 = 873,  연속인가 = True

male = stats.norm.rvs(loc=170, scale=8, size=250)
female = stats.norm.rvs(loc=165, scale=7, size=250)

sigma_x, sigma_y = 8, 7
n1, n2 = len(male), len(female)
# sigma를 안다고 가정하므로 표본에서 추정하지 않는다.
# 그래서 자유도라는 개념도 없고 정규분포를 그대로 쓴다.
se = np.sqrt(sigma_x**2 / n1 + sigma_y**2 / n2)
z = (male.mean() - female.mean()) / se
p = 2 * stats.norm.cdf(-abs(z))

print(f"z = {z:.4f}, p = {p:.6f}")

z = 8.3297, p = 0.000000

delta = 170 - 165          # 자료를 만든 참 차이
mu_z = delta / se          # H1 아래에서 z 의 기댓값
print(f"SE = {se:.6f}")
print(f"H1 아래 z 의 분포 = N({mu_z:.4f}, 1)")
print(f"관측된 z = {z:.4f}  →  기댓값에서 {z - mu_z:+.4f} 만큼 떨어져 있다")
print(f"이 설계의 검정력 = "
      f"{stats.norm.sf(1.959964 - mu_z) + stats.norm.cdf(-1.959964 - mu_z):.9f}")
print(f"양측 p-값(정확) = {2 * stats.norm.sf(abs(z)):.3e}")

za, zb = stats.norm.ppf(0.975), stats.norm.ppf(0.80)
n_norm = (za + zb) ** 2 * (sigma_x**2 + sigma_y**2) / delta**2
print(f"\n검정력 80% 에 필요한 집단당 n = {n_norm:.4f}  →  {int(np.ceil(n_norm))}")
print("   n    검정력")
for m in (34, 35, 36, 37, 250):
    s_m = np.sqrt(sigma_x**2 / m + sigma_y**2 / m)
    print(f"{m:4d}   {stats.norm.sf(1.959964 - delta / s_m) + stats.norm.cdf(-1.959964 - delta / s_m):.5f}")
print(f"실제 쓴 250 명은 필요량의 {250 / np.ceil(n_norm):.1f} 배다")

SE = 0.672309
H1 아래 z 의 분포 = N(7.4371, 1)
관측된 z = 8.3297  →  기댓값에서 +0.8927 만큼 떨어져 있다
이 설계의 검정력 = 0.999999978
양측 p-값(정확) = 8.103e-17

검정력 80% 에 필요한 집단당 n = 35.4769  →  36
   n    검정력
  34   0.78310
  35   0.79467
  36   0.80571
  37   0.81624
 250   1.00000
실제 쓴 250 명은 필요량의 6.9 배다

# equal_var=False 가 Welch 검정이다. 두 분산이 같다고 보지 않으므로
# 자유도가 정수가 아닌 값으로 나온다.
t_w, p_w = stats.ttest_ind(male, female, equal_var=False)
print(f"Welch t = {t_w:.4f}, p = {p_w:.6f}")

Welch t = 8.3773, p = 0.000000

v1, v2 = male.var(ddof=1), female.var(ddof=1)
se_w = np.sqrt(v1 / n1 + v2 / n2)
print(f"표본표준편차 {np.sqrt(v1):.6f} (참 8),  {np.sqrt(v2):.6f} (참 7)")
print(f"  s/sigma = {np.sqrt(v1) / 8:.6f},  {np.sqrt(v2) / 7:.6f}"
      f"   (sd 는 약 1/sqrt(2(n-1)) = {1 / np.sqrt(2 * (n1 - 1)):.6f})")
print(f"SE(sigma 를 아는 경우) = {se:.6f}")
print(f"SE(Welch)              = {se_w:.6f}")
print(f"  비 SE_welch/SE = {se_w / se:.6f},  따라서 t/z = {se / se_w:.6f}")
print(f"관측된 t/z = {t_w / z:.6f}")

rho = v2 / v1
nu_formula = (n1 - 1) * (1 + rho) ** 2 / (1 + rho**2)
nu_direct = ((v1 / n1 + v2 / n2) ** 2
             / ((v1 / n1) ** 2 / (n1 - 1) + (v2 / n2) ** 2 / (n2 - 1)))
print(f"\nWelch 자유도: 균형 공식 {nu_formula:.6f},  정의대로 {nu_direct:.6f}")
print(f"  범위 [{min(n1, n2) - 1}, {n1 + n2 - 2}] 안인가: "
      f"{min(n1, n2) - 1 <= nu_direct <= n1 + n2 - 2}")
print(f"자유도 {nu_direct:.1f} 과 무한대의 임계값: "
      f"{stats.t.ppf(0.975, nu_direct):.6f} 대 {stats.norm.ppf(0.975):.6f}")
print(f"같은 통계량 {t_w:.4f} 의 p-값: t 로 {2 * stats.t.sf(t_w, nu_direct):.3e}, "
      f"정규로 {2 * stats.norm.sf(t_w):.3e}")

표본표준편차 7.984588 (참 8),  6.925729 (참 7)
  s/sigma = 0.998074,  0.989390   (sd 는 약 1/sqrt(2(n-1)) = 0.044811)
SE(sigma 를 아는 경우) = 0.672309
SE(Welch)              = 0.668489
  비 SE_welch/SE = 0.994317,  따라서 t/z = 1.005715
관측된 t/z = 1.005715

Welch 자유도: 균형 공식 488.249320,  정의대로 488.249320
  범위 [249, 498] 안인가: True
자유도 488.2 과 무한대의 임계값: 1.964835 대 1.959964
같은 통계량 8.3773 의 p-값: t 로 5.793e-16, 정규로 5.414e-17

k1, n1 = 59, 649     # 여성: 649명 중 59명 거절
k2, n2 = 128, 2490   # 남성: 2490명 중 128명 거절

p1, p2 = k1 / n1, k2 / n2
# H0가 "두 비율이 같다"이므로 그 공통값을 전체를 합쳐 추정한다.
p_pool = (k1 + k2) / (n1 + n2)
se = np.sqrt(p_pool * (1 - p_pool) * (1/n1 + 1/n2))
z = (p1 - p2) / se
p = 1 - stats.norm.cdf(z)  # 단측: H1: p1 > p2

print(f"p_women = {p1:.4f}, p_men = {p2:.4f}")
print(f"z = {z:.4f}, p (one-sided) = {p:.4f}")

p_women = 0.0909, p_men = 0.0514
z = 3.7868, p (one-sided) = 0.0001

print(f"1/n1 = {1 / n1:.7f},  1/n2 = {1 / n2:.7f},  합 = {1 / n1 + 1 / n2:.7f}")
print(f"  작은 집단(여성 {n1}명)의 몫 = {(1 / n1) / (1 / n1 + 1 / n2):.4f}")
print(f"SE = {se:.7f},  z = {z:.6f}")
print(f"단측 p = {stats.norm.sf(z):.3e},  양측 p = {2 * stats.norm.sf(z):.3e}")

print("\n남성 표본만 늘릴 때")
print("      n2        SE         z       단측 p")
for m in (2490, 10_000, 100_000, 10**7):
    pp = (k1 + m * p2) / (n1 + m)
    s_m = np.sqrt(pp * (1 - pp) * (1 / n1 + 1 / m))
    print(f"{m:9d}  {s_m:.7f}  {(p1 - p2) / s_m:8.6f}  {stats.norm.sf((p1 - p2) / s_m):.3e}")
se_inf = np.sqrt(p2 * (1 - p2) / n1)
print(f"{'무한':>9}  {se_inf:.7f}  {(p1 - p2) / se_inf:8.6f}"
      f"  {stats.norm.sf((p1 - p2) / se_inf):.3e}   ← 상한")

print("\n여성 표본만 늘릴 때 (비율은 그대로)")
print("      n1        SE         z       단측 p")
for m in (649, 1300, 2600, 10_000):
    pp = (m * p1 + k2) / (m + n2)
    s_m = np.sqrt(pp * (1 - pp) * (1 / m + 1 / n2))
    print(f"{m:9d}  {s_m:.7f}  {(p1 - p2) / s_m:8.6f}  {stats.norm.sf((p1 - p2) / s_m):.3e}")

print(f"\n기대도수 (합동 비율 {p_pool:.6f} 로):")
print(f"  여성 거절 {n1 * p_pool:.2f},  여성 승인 {n1 * (1 - p_pool):.2f}")
print(f"  남성 거절 {n2 * p_pool:.2f},  남성 승인 {n2 * (1 - p_pool):.2f}")
print(f"  모두 5 이상인가: {min(n1 * p_pool, n1 * (1 - p_pool), n2 * p_pool, n2 * (1 - p_pool)) >= 5}")

1/n1 = 0.0015408,  1/n2 = 0.0004016,  합 = 0.0019424
  작은 집단(여성 649명)의 몫 = 0.7932
SE = 0.0104318,  z = 3.786814
단측 p = 7.630e-05,  양측 p = 1.526e-04

남성 표본만 늘릴 때
      n2        SE         z       단측 p
     2490  0.0104318  3.786814  7.630e-05
    10000  0.0091404  4.321858  7.736e-06
   100000  0.0087165  4.532024  2.921e-06
 10000000  0.0086686  4.557091  2.593e-06
       무한  0.0086681  4.557346  2.590e-06   ← 상한

여성 표본만 늘릴 때 (비율은 그대로)
      n1        SE         z       단측 p
      649  0.0104318  3.786814  7.630e-05
     1300  0.0084328  4.684492  1.403e-06
     2600  0.0072286  5.464907  2.316e-08
    10000  0.0061800  6.392192  8.176e-11

기대도수 (합동 비율 0.059573 로):
  여성 거절 38.66,  여성 승인 610.34
  남성 거절 148.34,  남성 승인 2341.66
  모두 5 이상인가: True

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(909)
M = 20_000

print("제1종 오류율 (두 평균이 실제로 같음)")
print(f"{'군당 n':>7s} {'z(σ 정확)':>11s} {'z(σ 20%↓)':>11s} "
      f"{'Welch':>9s} {'합동 t':>9s}")
for n in [5, 10, 20, 50]:
    a = b = c = d = 0
    for _ in range(M):
        x = rng.standard_normal(n) * 8      # 참 σ = 8
        y = rng.standard_normal(n) * 7      # 참 σ = 7
        z = (x.mean() - y.mean()) / np.sqrt(8**2 / n + 7**2 / n)
        a += 2 * stats.norm.sf(abs(z)) < 0.05
        # σ를 20% 작게 잘못 알고 있는 경우
        se_wrong = np.sqrt((8 * 0.8)**2 / n + (7 * 0.8)**2 / n)
        b += 2 * stats.norm.sf(abs((x.mean() - y.mean()) / se_wrong)) < 0.05
        c += stats.ttest_ind(x, y, equal_var=False).pvalue < 0.05
        d += stats.ttest_ind(x, y, equal_var=True).pvalue < 0.05
    print(f"{n:7d} {a / M:11.4f} {b / M:11.4f} {c / M:9.4f} {d / M:9.4f}")

print("\n검정력 (참 차이 5)")
print(f"{'군당 n':>7s} {'z 검정':>9s} {'Welch':>9s}")
for n in [5, 10, 20, 50]:
    a = c = 0
    for _ in range(M):
        x = rng.standard_normal(n) * 8 + 5
        y = rng.standard_normal(n) * 7
        z = (x.mean() - y.mean()) / np.sqrt(8**2 / n + 7**2 / n)
        a += 2 * stats.norm.sf(abs(z)) < 0.05
        c += stats.ttest_ind(x, y, equal_var=False).pvalue < 0.05
    print(f"{n:7d} {a / M:9.4f} {c / M:9.4f}")

제1종 오류율 (두 평균이 실제로 같음)
   군당 n     z(σ 정확)   z(σ 20%↓)     Welch      합동 t
      5      0.0503      0.1181    0.0437    0.0499
     10      0.0496      0.1183    0.0500    0.0513
     20      0.0483      0.1121    0.0482    0.0485
     50      0.0493      0.1164    0.0502    0.0503

검정력 (참 차이 5)
   군당 n      z 검정     Welch
      5    0.1847    0.1419
     10    0.3143    0.2854
     20    0.5568    0.5360
     50    0.9152    0.9096

import numpy as np
from scipy import stats

k1, n1 = 59, 649      # 여성
k2, n2 = 128, 2490    # 남성
p1, p2 = k1 / n1, k2 / n2

pp = (k1 + k2) / (n1 + n2)                       # H0 아래 합동 비율
z_pooled = (p1 - p2) / np.sqrt(pp * (1 - pp) * (1 / n1 + 1 / n2))
z_unpool = (p1 - p2) / np.sqrt(p1 * (1 - p1) / n1 + p2 * (1 - p2) / n2)

print(f"합동 z       {z_pooled:7.4f}   단측 p {stats.norm.sf(z_pooled):.6f}")
print(f"비합동 z     {z_unpool:7.4f}   단측 p {stats.norm.sf(z_unpool):.6f}")

odds, p_f = stats.fisher_exact([[k1, n1 - k1], [k2, n2 - k2]],
                               alternative='greater')
print(f"피셔 정확     오즈비 {odds:.4f}   단측 p {p_f:.6f}")

_, p_cc, _, _ = stats.chi2_contingency([[k1, n1 - k1], [k2, n2 - k2]],
                                       correction=True)
chi2, p_nc, _, _ = stats.chi2_contingency([[k1, n1 - k1], [k2, n2 - k2]],
                                          correction=False)
print(f"카이제곱(보정)      양측 p {p_cc:.6f}")
print(f"카이제곱(보정 없음) 양측 p {p_nc:.6f}   χ²={chi2:.4f} "
      f"= z_pooled² = {z_pooled**2:.4f}")

print(f"\n차이 {p1 - p2:.4f}   위험비 {p1 / p2:.4f}   "
      f"오즈비 {(p1 / (1 - p1)) / (p2 / (1 - p2)):.4f}")

합동 z        3.7868   단측 p 0.000076
비합동 z      3.2590   단측 p 0.000559
피셔 정확     오즈비 1.8453   단측 p 0.000206
카이제곱(보정)      양측 p 0.000221
카이제곱(보정 없음) 양측 p 0.000153   χ²=14.3400 = z_pooled² = 14.3400

차이 0.0395   위험비 1.7685   오즈비 1.8453

import numpy as np
from scipy import stats

def one_study(rng):
    """세 귀무가설이 모두 참인 상황에서 p-값 세 개를 만든다."""
    d = rng.standard_normal(250) * 8 + 172          # 참 μ = 172
    p1 = stats.ttest_1samp(d, 172).pvalue
    a = rng.standard_normal(250) * 8                # 두 평균이 같다
    b = rng.standard_normal(250) * 7
    p2 = stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False).pvalue
    k1, k2 = rng.binomial(649, 0.06), rng.binomial(2490, 0.06)
    q1, q2 = k1 / 649, k2 / 2490                    # 두 비율이 같다
    pp = (k1 + k2) / (649 + 2490)
    se = np.sqrt(pp * (1 - pp) * (1 / 649 + 1 / 2490))
    p3 = 2 * stats.norm.sf(abs((q1 - q2) / se))
    return np.array([p1, p2, p3])

M = 50_000
rng = np.random.default_rng(404)
counts = np.zeros(4)
any_rej = 0
for _ in range(M):
    r = (one_study(rng) < 0.05).sum()
    counts[r] += 1
    any_rej += r >= 1
print(f"적어도 하나 기각  {any_rej / M:.4f}   (이론값 {1 - 0.95**3:.4f})")
print("기각 개수 분포   ", (counts / M).round(4))

rng = np.random.default_rng(404)
bonf = sum((one_study(rng) < 0.05 / 3).sum() >= 1 for _ in range(M))
print(f"본페로니 보정 후  {bonf / M:.4f}")

적어도 하나 기각  0.1413   (이론값 0.1426)
기각 개수 분포    [8.587e-01 1.343e-01 6.800e-03 1.000e-04]
본페로니 보정 후  0.0482

for k in [1, 3, 5, 10, 20, 50]:
    print(f"검정 {k:2d}개 → FWER {1 - 0.95**k:.4f}")

검정  1개 → FWER 0.0500
검정  3개 → FWER 0.1426
검정  5개 → FWER 0.2262
검정 10개 → FWER 0.4013
검정 20개 → FWER 0.6415
검정 50개 → FWER 0.9231

import numpy as np
from scipy import stats

# (층 이름, 여성 거절, 여성 지원, 남성 거절, 남성 지원)
strata = [("저소득", 50, 400, 30, 200),
          ("고소득",  9, 249, 98, 2290)]

print(f"{'층':>6s} {'여성 거절/지원':>17s} {'비율':>8s} "
      f"{'남성 거절/지원':>17s} {'비율':>8s}")
tw_k = tw_n = tm_k = tm_n = 0
for name, wk, wn, mk, mn in strata:
    print(f"{name:>6s} {wk:8d}/{wn:<8d} {wk / wn:8.4f} "
          f"{mk:8d}/{mn:<8d} {mk / mn:8.4f}")
    tw_k, tw_n, tm_k, tm_n = tw_k + wk, tw_n + wn, tm_k + mk, tm_n + mn
print(f"{'합계':>6s} {tw_k:8d}/{tw_n:<8d} {tw_k / tw_n:8.4f} "
      f"{tm_k:8d}/{tm_n:<8d} {tm_k / tm_n:8.4f}")

     층          여성 거절/지원       비율          남성 거절/지원       비율
   저소득       50/400        0.1250       30/200        0.1500
   고소득        9/249        0.0361       98/2290       0.0428
    합계       59/649        0.0909      128/2490       0.0514

# 맨텔·헨젤 층화 분석
num = den = obs = exp = var = 0.0
for name, wk, wn, mk, mn in strata:
    a, b, c, d = wk, wn - wk, mk, mn - mk
    N = a + b + c + d
    num += a * d / N
    den += b * c / N
    obs += a
    exp += (a + b) * (a + c) / N
    var += (a + b) * (c + d) * (a + c) * (b + d) / (N**2 * (N - 1))
    print(f"{name} 층의 오즈비 {(a / b) / (c / d):.4f}")

k1, n1, k2, n2 = 59, 649, 128, 2490
print(f"\n층화하지 않은 오즈비  {(k1 / (n1 - k1)) / (k2 / (n2 - k2)):.4f}")
print(f"맨텔·헨젤 오즈비      {num / den:.4f}")
chi = (abs(obs - exp) - 0.5)**2 / var
print(f"맨텔·헨젤 χ² = {chi:.4f},  양측 p = {stats.chi2.sf(chi, 1):.4f}")

저소득 층의 오즈비 0.8095
고소득 층의 오즈비 0.8388

층화하지 않은 오즈비  1.8453
맨텔·헨젤 오즈비      0.8196
맨텔·헨젤 χ² = 0.7641,  양측 p = 0.3821

import numpy as np
from scipy import stats

# 보기 1~3과 똑같은 난수열을 쓴다 (뽑는 순서까지 같아야 한다)
np.random.seed(42)
data = stats.norm.rvs(loc=170, scale=8, size=250)
male = stats.norm.rvs(loc=170, scale=8, size=250)
female = stats.norm.rvs(loc=165, scale=7, size=250)

# ── 일표본: H0: μ = 172
n = len(data)
xbar, s = data.mean(), data.std(ddof=1)
se = s / np.sqrt(n)
tc = stats.t.ppf(0.975, n - 1)
t, p = stats.ttest_1samp(data, 172)
print("일표본 (H0: μ = 172 cm)")
print(f"  평균 {xbar:.2f} cm,  95% CI ({xbar - tc * se:.2f}, "
      f"{xbar + tc * se:.2f})")
print(f"  t = {t:.3f},  p = {p:.2e},  Cohen d = {(xbar - 172) / s:.3f}")

# ── 이표본
d_hat = male.mean() - female.mean()
se2 = np.sqrt(male.var(ddof=1) / 250 + female.var(ddof=1) / 250)
res = stats.ttest_ind(male, female, equal_var=False)
df_w = se2**4 / ((male.var(ddof=1) / 250)**2 / 249
                 + (female.var(ddof=1) / 250)**2 / 249)
tc2 = stats.t.ppf(0.975, df_w)
s_pool = np.sqrt((male.var(ddof=1) + female.var(ddof=1)) / 2)
print("\n이표본 (남 - 여)")
print(f"  차이 {d_hat:.2f} cm,  95% CI ({d_hat - tc2 * se2:.2f}, "
      f"{d_hat + tc2 * se2:.2f})")
print(f"  Welch t = {res.statistic:.3f},  df = {df_w:.1f},  "
      f"p = {res.pvalue:.2e}")
print(f"  Cohen d = {d_hat / s_pool:.3f}  (합동 SD {s_pool:.2f} cm)")
print(f"  겹침 지표: 임의의 여성이 임의의 남성보다 클 확률 "
      f"{stats.norm.cdf(-d_hat / np.sqrt(male.var(ddof=1) + female.var(ddof=1))):.3f}")

일표본 (H0: μ = 172 cm)
  평균 169.98 cm,  95% CI (169.02, 170.94)
  t = -4.131,  p = 4.93e-05,  Cohen d = -0.261

이표본 (남 - 여)
  차이 5.60 cm,  95% CI (4.29, 6.91)
  Welch t = 8.377,  df = 488.2,  p = 5.79e-16
  Cohen d = 0.749  (합동 SD 7.47 cm)
  겹침 지표: 임의의 여성이 임의의 남성보다 클 확률 0.298