길이 편향 표집과 검사 역설¶

(1) 해석적으로. 승객이 시간축 위에 고르게 떨어지므로, 길이 \(x\)인 간격 안에 떨어질 확률은 그 간격이 시간축에서 차지하는 폭 \(x\)에 비례한다. 따라서 승객이 겪는 간격의 밀도는 \(f\)가 아니라

다(\(\int xf(x)\,dx = E[X]\)로 나누어 정규화했다). 이것이 길이 편향 밀도이고, 그 기댓값은

이다. \(E[X^2] = \operatorname{Var}(X) + E[X]^2\)을 넣고 \(\mathrm{CV} = \operatorname{sd}(X)/E[X]\)로 쓰면

가 된다. 변동이 없으면(\(\mathrm{CV} = 0\)) 편향도 없고, 들쭉날쭉할수록 커진다.

기다리는 시간은 다르다. 겪은 간격의 길이가 \(g\)로 주어지면 승객은 그 안에 고르게 떨어져 있으므로 남은 시간의 조건부 기댓값이 \(g/2\)다. 따라서

이다. 관측 간격은 \(E[X^2]/E[X]\), 대기시간은 그 절반인 \(E[X^2]/(2E[X])\)다. 두 식을 혼동하지 말아야 한다.

두 노선에 넣는다.

지수분포는 \(E[X^2] = 2\theta^2 = 200\)이므로 관측 간격이 참 평균의 두 배가 되고, 대기시간은 \(10\)분이다. 무기억성에서 곧바로 나오는 그 유명한 결과이기도 하다.

(2) 수치적으로.

"""검사 역설: 내가 도착한 간격은 평균보다 길다."""

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
mean_gap = 10.0        # 버스 사이 평균 간격(분)
n_buses = 200_000
n_riders = 200_000


def simulate(gaps, label):
    """승객을 아무 때나 정류장에 떨어뜨리고, 그가 겪는 간격과 대기시간을 잰다."""
    # 간격들을 누적하면 각 버스의 도착 시각이 된다
    arrivals = np.cumsum(gaps)
    horizon = arrivals[-1]

    # 여기가 길이 편향이 생기는 지점이다.
    # 승객을 **시간축 위에** 고르게 뿌린다(간격 위에 고르게가 아니다).
    # 긴 간격일수록 시간축에서 차지하는 폭이 넓으므로 더 많은 승객이 그 안에 떨어진다.
    riders = rng.uniform(0, horizon, n_riders)

    # 각 승객이 어느 간격에 속하는지 이진탐색으로 찾는다
    idx = np.searchsorted(arrivals, riders)
    observed_gap = gaps[idx]                 # 승객이 겪은 간격
    wait = arrivals[idx] - riders            # 다음 버스까지 기다린 시간

    # 이론값: E[관측 간격] = E[간격] * (1 + CV^2)
    #   CV = 변동계수 = 표준편차 / 평균
    # 간격이 일정하면 CV=0이라 편향이 없고, 들쭉날쭉할수록 편향이 커진다.
    cv2 = gaps.var() / gaps.mean() ** 2
    print(f"{label}")
    print(f"  gap mean (bus company) : {gaps.mean():5.2f} min")
    print(f"  gap seen by riders     : {observed_gap.mean():5.2f} min "
          f"(theory: {gaps.mean() * (1 + cv2):5.2f})")
    print(f"  mean wait              : {wait.mean():5.2f} min")


# === 경우 1: 정확히 10분마다. 표준편차 0이므로 CV = 0 ===
# 편향이 전혀 없다. 버스회사의 평균과 승객이 겪는 평균이 같다.
simulate(np.full(n_buses, mean_gap), "Every 10 minutes exactly")

# === 경우 2: 지수분포 간격(포아송 도착). 표준편차 = 평균이므로 CV = 1 ===
# 이론값이 10 * (1 + 1) = 20분. 승객이 겪는 간격이 두 배가 된다.
simulate(rng.exponential(mean_gap, n_buses), "Exponential gaps (Poisson buses)")

출력:

Every 10 minutes exactly
  gap mean (bus company) : 10.00 min
  gap seen by riders     : 10.00 min (theory: 10.00)
  mean wait              :  5.00 min
Exponential gaps (Poisson buses)
  gap mean (bus company) :  9.98 min
  gap seen by riders     : 19.87 min (theory: 19.89)
  mean wait              :  9.96 min

네 값이 모두 맞는다. 정확히 \(10\)분 노선에서는 승객이 겪는 간격이 \(10.00\)분, 대기가 \(5.00\)분으로 편향이 없다. 지수 노선에서는 관측 간격이 \(19.87\)분으로 이론값 \(20\)의 \(0.7\%\) 안이고, 대기가 \(9.96\)분으로 \(10\)분에 맞는다.

코드가 찍는 theory 값 \(19.89\)는 모집단의 \(20\)이 아니라 실제로 뽑힌 \(20\)만 개 간격의 \(\bar X(1 + \widehat{\mathrm{CV}}^2)\)다. 그 표본의 평균이 \(9.98\)이었으므로 조금 작게 나왔고, 모의값 \(19.87\)은 그 \(19.89\)와 \(0.1\%\) 안에서 일치한다. 이론과 모의가 어긋나는 것이 아니라, 두 단계의 몬테카를로 오차가 따로 있다.

두 노선 모두 버스회사가 광고하는 "평균 배차 \(10\)분"은 참이다. 그런데 승객이 기다리는 시간은 \(5\)분과 \(10\)분으로 두 배 차이가 난다. 차이를 만드는 것은 평균이 아니라 분산이다. 평균을 그대로 둔 채 간격을 고르게만 만들어도 대기시간은 절반이 된다.

두 평균이 세는 단위가 다르다.

통신사는 통화 건을 단위로 센다. 하루의 모든 통화에 대해 대기시간을 평균낸다. 새벽처럼 한산한 시간대에도 통화는 발생하며, 그 통화들은 대기가 거의 없고 각각 한 건씩 셈에 들어간다.

조사원은 시각을 단위로 무작위 추출했다. 그런데 대기가 긴 시간대(점심시간, 장애 발생 시각)는 더 많은 시각 구간을 차지하지 않더라도, 무작위 시각에 전화를 걸면 혼잡한 상태에 놓일 확률이 그 상태가 지속되는 시간에 비례한다. 혼잡이 오래 지속될수록 조사원이 그 안에 떨어질 확률이 커진다. 검사 역설이다.

덧붙여, 대기가 아주 길면 고객이 중간에 끊어 버리는데(포기 호), 이 통화가 통신사 통계에서 제외되면 무응답 편향까지 겹친다.

양쪽 주장을 공정하게 비교하려면 같은 단위로 다시 계산해야 한다. 소비자가 알고 싶은 것은 대개 "내가 지금 걸면 얼마나 기다리나"이므로 시각 기준이 더 적절하고, 통신사의 운영 지표로는 건 기준이 자연스럽다. 어느 쪽도 틀리지 않았고, 둘을 같은 숫자로 여긴 것이 틀렸다.

(a) 건 단위 평균이다.

(b) 병상-일을 단위로 세면, 2일 입원은 병상-일 \(1{,}800\)일을, 30일 입원은 \(3{,}000\)일을 차지한다. 무작위 병상에서 만나는 환자의 기대 재원일수는

이다. 4.8일과 19.5일, 네 배 차이다. 장기 입원 환자가 병상을 오래 점유하므로 어느 날 병동에 가 보면 장기 환자가 압도적으로 많이 보인다. 정의의 공식 \(\mathbb{E}[X^2]/\mathbb{E}[X]\)를 그대로 적용한 것이다.

(c) (a) 다. 병원이 처리한 환자를 단위로 세는 것이 진료 효율의 정의에 맞는다. (b)는 병상 점유 실태를 보여 주므로 병상 수요 예측에는 적절하지만 효율 지표로 쓰면 장기 환자를 받는 병원이 부당하게 나쁘게 평가된다.

이 구분은 실무에서 중요하다. 병동을 둘러본 관리자의 인상(장기 환자가 많다)과 통계(평균 4.8일)가 어긋날 때, 둘 중 하나가 틀린 것이 아니라 다른 단위를 세고 있는 것이다.

세 기제가 각각 독립적으로 이 격차를 만들 수 있으며, 검진의 실제 효과가 0이어도 그렇다.

리드타임 편향. 검진은 진단 시점을 앞당긴다. 사망 시점이 그대로여도 진단부터 재는 생존기간은 앞당긴 기간만큼 길어진다. 리드타임이 5년을 넘으면 실제로 하루도 더 살지 못한 환자가 "5년 생존"으로 집계된다.

길이 편향. 검진은 주기적으로 실시되므로 전임상 단계에 오래 머무는 느리게 자라는 암을 우선적으로 잡아낸다. 빠르게 자라는 공격적 암은 검진 사이에 증상으로 발현하여 "증상 발현군"에 들어간다. 두 집단은 애초에 서로 다른 종류의 암 집단이며, 검진군 쪽이 원래 예후가 좋다.

과잉진단. 평생 증상을 일으키지 않았을 암이나 저절로 퇴화할 암까지 발견된다. 이 환자들은 그 암으로 죽지 않으므로 100% 생존하여 검진군의 생존율을 끌어올린다. 실제로는 아프지 않았을 사람을 환자로 만든 것이다.

무엇을 보아야 하는가. 세 기제 모두 "진단 후 생존율"을 부풀리지만, 인구 10만 명당 그 암으로 인한 사망률은 어느 것에도 영향받지 않는다. 검진이 실제로 생명을 구한다면 사망률이 내려가야 한다. 일본의 신경모세포종 검진은 생존율이 좋아 보였으나 사망률이 내려가지 않아 2004년 중단되었다.

가장 확실한 판정 방법은 결국 대상자를 검진군과 비검진군에 무작위 배정하고 사망률을 비교하는 것이다.

왜 길이 편향인가. 사람을 무작위로 고르면 각자가 한 번씩 뽑힌다. 그러나 친구 관계를 무작위로 고르면 친구가 \(k\)명인 사람은 \(k\)개의 관계에 등장하므로 \(k\)에 비례하여 뽑힌다. "누군가의 친구"라는 표본은 정확히 친구 수로 가중된 표본이다.

따라서 친구의 친구 수에 대한 기대값은 정의의 공식대로

이며, 이는 평균 친구 수 \(\mu_K\)보다 크다. 친구 수의 분산이 클수록 격차가 커진다. 소셜네트워크의 연결 수 분포는 꼬리가 매우 두꺼워 \(\sigma_K^2\)가 크므로 격차가 극적으로 벌어진다.

소셜미디어에서의 함의. 이용자가 자기 인기를 가늠하는 준거집단은 "무작위 이용자"가 아니라 자기 친구들이다. 그런데 그 친구들은 정의상 연결 수로 가중 표집된 사람들이므로 평균보다 인기가 많다. 그래서 자기 팔로워 수가 실제로는 상위권이어도 주변과 비교하면 초라해 보인다.

같은 논리가 다른 지표로도 확장된다. 내 친구들은 나보다 평균적으로 게시물을 더 많이 올리고(활발한 사람이 더 자주 친구로 등장한다), 내 타임라인에 뜨는 게시물은 활발한 이용자 쪽으로 편중된다. 여기에 알고리즘 추천이 얹히면 왜곡이 더 커진다.

핵심은 준거집단 자체가 무작위 표본이 아니라는 것이다. 이는 이 절의 다른 사례들과 같은 구조다. 승객이 겪는 배차 간격, 학생이 겪는 학급 크기, 이용자가 겪는 친구의 인기 — 모두 경험하는 쪽에서 세면 큰 쪽이 과대표집된다.

(a) 자녀가 \(k\)명인 가정은 표본에 \(k\)번 등장할 기회를 갖는다. 따라서 응답자 표본에서 대가족이 \(k\)에 비례하여 과대표집된다. 응답자가 보고하는 "우리 집 자녀 수"의 기대값은 가정당 평균 자녀 수 \(\mu\)가 아니라

이며, 자녀 수의 분산만큼 위로 치우친다.

(b) 자녀가 0명인 가정은 표본에 등장할 성인 자녀를 배출하지 못하므로 표집틀에서 구조적으로 배제된다. 이는 (a)의 가중 문제와 다른 종류의 결함이다. 가중치는 관측된 값들의 상대적 비중을 조정할 뿐, 한 번도 관측되지 않은 범주를 복원하지는 못한다. 표집틀 자체가 모집단을 포괄하지 못하는 포괄 편향이며, 표본조사 절에서 다룬 표집틀 문제와 같다.

이 배제는 아래로 향하는 편향을 만들지 않는다. 오히려 0을 제외하고 평균내는 셈이므로 (a)의 위쪽 편향에 더해진다. 두 편향이 같은 방향으로 겹친다.

(c) 길이 편향된 표본에서 모집단 평균을 복원하려면 각 관측값에 \(1/k\)의 가중치를 준다. 응답자 \(i\)가 보고한 자녀 수를 \(k_i\)라 할 때 추정량은

형태가 된다. \(k\)에 비례해 뽑혔으므로 \(1/k\)로 상쇄하는 것이다.

다만 이 보정으로도 (b)는 해결되지 않는다. 자녀가 없는 가정의 비율은 다른 자료원(인구총조사, 출생 등록)에서 가져와야 하며, 그 없이는 어떤 가중치를 써도 모집단 평균을 되찾을 수 없다.

다른 점: 아무도 선택하지 않는다.

다른 세 편향에는 모두 걸러 내는 행위자가 있다. 무응답 편향에서는 응답자가 응답할지 말지 정하고, 생존자 편향에서는 실패한 대상이 자료에서 빠지며, 출판 편향에서는 연구자·심사자·편집자가 무엇을 세상에 내보낼지 정한다. 각각에는 "누가 무엇을 걸러 냈는가"라고 물을 대상이 있다.

길이 편향에는 그런 행위자가 없다. 버스 회사는 정직하게 간격을 공지했고, 승객은 아무 편견 없이 정류장에 갔으며, 학교도 학생도 거짓말하지 않았다. 표집 절차 어디에도 잘못된 곳이 없는데 답이 틀린다. 큰 것이 더 많은 기회를 갖는다는 순전히 기하학적인 사실 하나에서 편향이 나온다.

왜 알아채기 어려운가. 편향을 찾는 표준적인 물음이 여기서는 작동하지 않는다.

• "표본이 대표성이 있는가?" → 승객은 정말로 무작위 시각에 도착했다.
• "누가 빠졌는가?" → 아무도 빠지지 않았다. 모든 버스가 운행했고 모든 학급이 존재한다.
• "응답률이 얼마인가?" → 무응답이 없다.

올바른 물음은 다른 것이다. "내가 세고 있는 단위가 무엇인가?" 버스인가 승객인가, 학급인가 학생인가, 입원 건인가 병상-일인가, 진단인가 사람인가. 길이 편향은 자료 수집의 결함이 아니라 단위의 혼동이며, 그래서 자료 품질을 아무리 점검해도 드러나지 않는다.

실무적 함의: 어떤 평균을 보고받았을 때 그 값이 직관과 크게 어긋난다면, 자료를 의심하기 전에 분모가 무엇인지 먼저 확인해야 한다.

왜 \(1/x\)인가. 길이 편향된 밀도가 \(f^*(x) = xf(x)/\mu\)이므로

이다. 즉 길이 편향된 표본에서 \(1/X\)의 평균을 구해 역수를 취하면 모집단 평균이 나온다. 편향된 표본의 조화평균이 모집단의 산술평균인 셈이다.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)

# 모집단: 학급 620개
sizes = np.concatenate([np.full(500, 10), np.full(100, 30), np.full(20, 90)])
print(f"참 평균 학급 크기 (학급 단위)  {sizes.mean():.4f}")

# 우리가 실제로 얻는 자료: 학생을 무작위로 뽑아 "네 반은 몇 명이냐"고 묻는다
students = np.repeat(sizes, sizes.astype(int))
sample = rng.choice(students, 200_000)

print(f"학생 표본의 단순평균           {sample.mean():.4f}"
      f"   (이론 {(sizes ** 2).sum() / sizes.sum():.4f})")
print(f"1/x 가중으로 복원              {1 / np.mean(1 / sample):.4f}   ← 참값을 되찾았다")

출력:

참 평균 학급 크기 (학급 단위)  15.8065
학생 표본의 단순평균           30.7878   (이론 30.8163)
1/x 가중으로 복원              15.7995   ← 참값을 되찾았다

단순평균 \(30.79\)가 참값 \(15.81\)의 거의 두 배인데, \(1/x\) 가중이 \(15.80\)으로 정확히 되돌려 놓는다.

일반형. 임의의 함수 \(g\)에 대해서도 같은 방식이 통한다.

즉 \(\mu\)를 먼저 복원한 뒤 어떤 모집단 양이든 계산할 수 있다.

주의할 점. \(1/x\) 가중은 작은 관측값에 큰 가중치를 준다. 표본에 아주 작은 값이 하나 들어오면 추정값이 크게 흔들리므로 분산이 커진다. 앞서 본 역확률가중과 정확히 같은 맞바꿈이다. 편향을 없애는 대신 분산을 얻는다.

그리고 \(x\)가 \(0\)에 가까울 수 있으면 이 방법은 쓸 수 없다. 다행히 길이 편향의 정의상 \(x = 0\)인 대상은 애초에 표본에 들어오지 못하므로 대개 문제가 되지 않는다. \(\square\)

갱신이론의 결과에 따르면, 정상상태에서 무작위 시점의 잔여 대기시간은 평형분포

를 따른다. 여기서 \(F\)는 간격의 분포함수다. 기대값을 구하면

로 본문의 결과가 나온다. 관측된 간격의 절반이라는 점에 유의하라.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
m = 300_000

cases = [("일정 10분",      np.full(m, 10.0)),
         ("지수 10분",      rng.exponential(10, m)),
         ("2분 80% / 30분 20%", rng.choice([2., 30.], m, p=[0.8, 0.2]))]

print(f"{'간격 분포':>20}{'간격 평균':>11}{'관측 간격':>11}{'대기 평균':>11}{'이론':>9}")
for label, gaps in cases:
    arrivals = np.cumsum(gaps)
    riders = rng.uniform(0, arrivals[-1], m)
    i = np.searchsorted(arrivals, riders)
    wait = arrivals[i] - riders
    cv2 = gaps.var() / gaps.mean() ** 2
    print(f"{label:>20}{gaps.mean():>11.3f}{gaps[i].mean():>11.3f}"
          f"{wait.mean():>11.3f}{gaps.mean() * (1 + cv2) / 2:>9.3f}")

출력:

               간격 분포      간격 평균      관측 간격      대기 평균       이론
              일정 10분     10.000     10.000      4.996    5.000
              지수 10분     10.004     20.116     10.043   10.055
    2분 80% / 30분 20%      7.623     24.133     12.075   12.064

셋째 경우가 특히 극적이다. 버스 회사가 재는 평균 간격은 \(7.6\)분인데 승객이 겪는 간격은 \(24.1\)분이고 평균 대기는 \(12.1\)분이다. 평균 간격보다 더 오래 기다린다. 간격의 개수로는 \(20\%\)뿐인 \(30\)분짜리 구간이 시간축에서는 \(0.2\times 30 / 7.6 = 78.9\%\)를 차지하기 때문이다. 버스 회사는 \(30\)분 구간을 다섯 번에 한 번으로 세지만, 승객은 열 번 중 여덟 번 꼴로 그 안에 떨어진다.

세 분포의 성격이 다르다.

지수분포의 경우가 유명한 무기억성이다. 이미 얼마를 기다렸든 앞으로 기다릴 시간의 분포가 똑같다. \(10\)분을 기다린 뒤에도 여전히 평균 \(10\)분이 남아 있다. 버스를 기다리며 느끼는 좌절감에 수학적 근거가 있는 셈이다.

실무에서 어디에 쓰이는가. 대기행렬 이론, 신뢰성 공학(부품의 잔여 수명), 그리고 생존분석의 왼쪽 절단 문제가 모두 같은 구조다. 예컨대 어떤 시점에 이미 진행 중인 사건만 관측하는 연구는 자동으로 긴 사건 쪽으로 편중된다. \(\square\)

핵심 설계는 사망 시점을 검진과 무관하게 먼저 정해 놓는 것이다. 그러면 생존율의 어떤 개선도 순전히 시계를 앞당긴 결과일 수밖에 없다.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(2)
n = 200_000

onset = rng.uniform(40, 70, n)             # 종양 발생 나이
sojourn = rng.exponential(6, n)            # 전임상 기간
symptom = onset + sojourn                  # 증상 발현
death = symptom + rng.exponential(3, n)    # 사망 — 검진과 무관하게 결정된다

grid = np.arange(40, 80, 2.0)              # 2년마다 검진
i = np.minimum(np.searchsorted(grid, onset), len(grid) - 1)
screen_dx = np.where(grid[i] <= symptom, grid[i], np.nan)
detected = ~np.isnan(screen_dx)

# 같은 사람들. 같은 사망 시점. 시계만 다르다.
from_screen = death[detected] - screen_dx[detected]
from_symptom = death[detected] - symptom[detected]

print(f"검진으로 발견된 {detected.sum():,}명에 대해")
print(f"  진단 시점부터 재면: 5년 생존율 {(from_screen > 5).mean():.4f}"
      f"   평균 생존 {from_screen.mean():.3f}년")
print(f"  증상 시점부터 재면: 5년 생존율 {(from_symptom > 5).mean():.4f}"
      f"   평균 생존 {from_symptom.mean():.3f}년")
print(f"\n  리드타임 평균 {(symptom[detected] - screen_dx[detected]).mean():.3f}년")
print(f"  사망 나이는 어느 쪽으로 재든 {death[detected].mean():.4f}세로 같다")

출력:

검진으로 발견된 170,074명에 대해
  진단 시점부터 재면: 5년 생존율 0.6802   평균 생존 9.003년
  증상 시점부터 재면: 5년 생존율 0.1880   평균 생존 3.004년

  리드타임 평균 5.999년
  사망 나이는 어느 쪽으로 재든 65.0067세로 같다

5년 생존율이 \(19\%\)에서 \(68\%\)로 뛴다. 같은 사람들이고, 사망 나이는 \(65.0067\)세로 소수점 넷째 자리까지 동일하다. 단 한 명도 하루를 더 살지 못했다.

차이를 만든 것은 오직 리드타임 \(6.0\)년, 곧 진단 시점을 앞당긴 만큼이다.

이 모의실험이 보여 주는 것. 검진의 효과가 정확히 \(0\)인 세계에서도 홍보 자료에 실을 만한 생존율 개선이 나온다. 본문 연습문제 3의 \(88\%\) 대 \(51\%\) 같은 수치는 검진이 아무 일도 하지 않아도 얻어진다.

그래서 무엇을 보아야 하는가. 위 코드에서 사망 나이는 두 시계 어느 쪽으로 재도 같았다. 이것이 인구 단위 사망률이 리드타임 편향에 면역인 이유다. 사망률은 "몇 명이 언제 죽었는가"만 세고 "언제 진단받았는가"는 묻지 않는다.

일본 신경모세포종 검진에서 생존율은 훌륭했지만 사망률이 꿈쩍하지 않았던 것이 바로 이 그림이다. 지표를 잘못 고르면 효과가 \(0\)인 프로그램을 20년간 성공으로 착각할 수 있다. \(\square\)

무작위로 고른 사람의 친구 수 평균은 \(\mu = \mathbb{E}[D]\)다. 그런데 무작위로 고른 친구 관계를 따라가 만나는 사람은 친구 수에 비례해 뽑히므로, 그 사람의 친구 수 기대값은 길이 편향 공식 그대로

이다. 친구가 많은 사람일수록 더 많은 사람의 친구 목록에 등장한다는 것이 편향의 원천이다.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(3)
n = 300_000
cases = [
    ("포아송 (평균 10)", np.maximum(1, rng.poisson(10, n))),
    ("멱법칙 alpha=2.5", np.clip((rng.pareto(2.5, n) * 6).astype(int) + 1, 1, 3000)),
    ("멱법칙 alpha=1.8", np.clip((rng.pareto(1.8, n) * 6).astype(int) + 1, 1, 3000)),
]

print(f"{'친구 수 분포':>18}{'내 친구 수':>12}{'친구의 친구 수':>16}{'비율':>9}{'평균 이하':>11}")
for label, deg in cases:
    mu = deg.mean()
    friend = (deg ** 2).mean() / mu
    print(f"{label:>18}{mu:>12.3f}{friend:>16.3f}{friend / mu:>9.2f}배"
          f"{(deg < friend).mean():>11.3f}")

출력:

           친구 수 분포      내 친구 수        친구의 친구 수       비율      평균 이하
       포아송 (평균 10)      10.001          10.999     1.10배      0.582
     멱법칙 alpha=2.5       4.520          22.241     4.92배      0.979
     멱법칙 alpha=1.8       7.992         100.163    12.53배      0.994

마지막 열은 각자를 자기 친구들과 일일이 견준 것이 아니라, 모집단 전체의 \(\mathbb{E}^*[D]\) 하나를 기준선으로 삼아 그 아래에 있는 사람의 비율을 센 것이다. 역설의 세기를 가늠하는 간편한 대용치로 보면 된다.

왜 소셜미디어에서 심한가. 현실의 대면 우정은 시간과 물리적 제약 때문에 대체로 포아송에 가깝고, 이때 역설은 \(10\%\) 수준의 미미한 것이다. 그러나 온라인 팔로워 수는 멱법칙을 따른다. 인플루언서 한 명이 수백만 명을 거느리는 구조에서는 \(\sigma^2/\mu\) 항이 폭발한다.

그 결과 이용자의 \(99\%\)가 "친구의 평균 인기"에 못 미친다. 이는 착각이 아니라 사실이며, 동시에 자신이 특별히 인기 없다는 증거도 전혀 아니다. 구조적으로 거의 모두가 그렇다.

같은 계산이 여러 곳에 적용된다.

• 행복의 역설: 내 친구들이 나보다 더 즐겁게 사는 것처럼 보인다. 활동적인 사람이 친구도 많고 게시물도 많이 올린다.
• 헬스장의 역설: 헬스장에서 마주치는 사람들이 나보다 자주 오는 것처럼 보인다. 자주 오는 사람을 더 자주 마주치기 때문이다.
• 전염병 대책: 무작위로 고른 사람의 친구를 백신 접종하면 무작위 접종보다 효율적이다. 연결이 많은 사람이 뽑힐 확률이 높은데, 그런 사람이 전파의 중심이기 때문이다. 명단 없이도 허브를 찾아내는 영리한 방법이며, 길이 편향을 일부러 이용한 사례다. \(\square\)