선수 지식¶
이 장은 책의 나머지 부분에 필요한 수학적·계산적 토대를 세운다. 핵심 수학, 파이썬 도구, 그리고 통계 이론과 연결되는 정사각행렬의 선형대수를 다룬다.
장의 구성¶
0.1 수학적 배경 (복습)¶
- 집합, 함수, 논리 — 명제논리, 집합 연산, 함수, 한정기호.
- 수열, 극한, 점근 — 3.5절의 큰수의 법칙과 중심극한정리를 위한 수렴, 급수, 점근 표기.
- 선형대수 표기와 관례 — 벡터/행렬 표기, 계획행렬, 계수, 역행렬, 행렬식.
0.2 계산 도구¶
- 파이썬과 주피터 기초 — 배포판 설치, 패키지 관리, 언어의 핵심 기능.
- NumPy 배열 — 배열 생성, 벡터화 연산, 브로드캐스팅, 인덱싱.
- pandas로 자료 다루기 — Series, DataFrame, 불러오기, 정제, 그룹화, 요약.
- Matplotlib으로 기본 시각화하기 — Figure-Axes 모형, 자주 쓰는 그림 유형, 사용자화.
0.3 정사각행렬¶
- 닮은 행렬 — 닮음과 그 불변량(고윳값, 대각합, 행렬식).
- 대각화 가능 행렬의 대각형 — 고유분해와 대각화 가능성의 조건.
- 대각합과 고윳값 — 대각합은 고윳값의 합과 같다.
- 멱등행렬 — 고윳값이 0 또는 1인 행렬, 사영의 토대.
- 대칭행렬 — 스펙트럼 정리: 실수 고윳값과 직교 고유벡터.
- 양정치행렬 — 이차형식에 의한 특성화와 고윳값에 의한 특성화.
- 그람 행렬 — \(\mathbf{X}^\top \mathbf{X}\)의 성질과 최소제곱에서의 역할.
- 사영행렬 — 치역과 영공간이 함께 사영을 정한다.
- 직교사영행렬 — 모자 행렬과 회귀의 기하학.
0.4 선형대수와 통계¶
- 카이제곱분포와 이차형식 — 정규벡터의 이차형식은 카이제곱분포를 낳는다.
- 표본분포 (단순 최소제곱) — 기울기와 절편 추정량의 정확한 분포.
- 표본분포 (일반 최소제곱) — 행렬 표기로 쓴 최소제곱추정량의 정확한 분포.
선행 지식¶
이 장은 책 전체의 토대가 되는 장으로, 다음을 가정한다.
- 고등학교 대수와 기초 미적분 — 함수, 극한, 도함수, 적분에 익숙할 것.
- 입문 수준의 선형대수 — 벡터, 행렬, 연립일차방정식을 접해 보았을 것.
핵심 요약¶
- 정확한 수학적 언어(논리, 집합, 함수)는 이후 확률과 통계적 추론을 다룰 때 생기는 모호함을 막아 준다.
- 수열, 극한, 점근 표기는 통계학의 수렴 정리들을 떠받치는 결정론적 틀을 제공한다.
- 선형대수 표기와 계획행렬 형식은 다변량 통계와 회귀의 언어이다.
- 파이썬, NumPy, pandas, Matplotlib은 이 책 전반에서 쓰는 계산 도구 모음을 이룬다.
- 특수한 행렬(멱등, 대칭, 양정치, 사영)은 회귀와 가설검정에서 직접적인 통계적 해석을 갖는다.
- 정규벡터의 이차형식이 카이제곱분포를 따른다는 사실이 행렬대수와 추론에 쓰이는 표본분포를 잇는다.