평균에 대한 일표본 t-검정¶

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(51)
M = 40_000
cases = [
    ("정규", lambda s: rng.normal(0, 1, s)),
    ("균등", lambda s: rng.uniform(-1.732, 1.732, s)),
    ("t(3)", lambda s: rng.standard_t(3, s)),
    ("지수-1", lambda s: rng.exponential(1, s) - 1),
    ("로그정규", lambda s: rng.lognormal(0, 1, s) - np.exp(0.5)),
]
print(f"{'분포':>9s} " + " ".join(f"{'n='+str(n):>8s}"
                                  for n in [5, 10, 30, 100]))
for name, gen in cases:
    row = []
    for n in [5, 10, 30, 100]:
        x = gen((M, n))
        t = x.mean(1) / (x.std(1, ddof=1) / np.sqrt(n))
        row.append(np.mean(np.abs(t) > stats.t.ppf(0.975, n - 1)))
    print(f"{name:>9s} " + " ".join(f"{v:8.4f}" for v in row))

       분포      n=5     n=10     n=30    n=100
       정규   0.0497   0.0529   0.0520   0.0499
       균등   0.0655   0.0538   0.0511   0.0502
     t(3)   0.0370   0.0398   0.0440   0.0474
     지수-1   0.1192   0.1009   0.0745   0.0572
     로그정규   0.1751   0.1608   0.1153   0.0847

for n in [10, 30, 100]:
    x = rng.exponential(1, (M, n)) - 1
    t = x.mean(1) / (x.std(1, ddof=1) / np.sqrt(n))
    tc = stats.t.ppf(0.95, n - 1)
    print(f"n={n:4d}: 왼쪽 꼬리 {np.mean(t < -tc):.4f}   "
          f"오른쪽 꼬리 {np.mean(t > tc):.4f}")

n=  10: 왼쪽 꼬리 0.1355   오른쪽 꼬리 0.0144
n=  30: 왼쪽 꼬리 0.0994   오른쪽 꼬리 0.0225
n= 100: 왼쪽 꼬리 0.0729   오른쪽 꼬리 0.0303

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(64)
n, M = 20, 10_000

def run(gen, center):
    c = np.zeros(3)
    for _ in range(M):
        x = gen(n)
        c[0] += stats.ttest_1samp(x, center).pvalue < 0.05
        c[1] += stats.wilcoxon(x - center).pvalue < 0.05
        k = (x > center).sum()
        c[2] += stats.binomtest(k, n, 0.5).pvalue < 0.05
    return c / M

print("H0 가 참인 경우 — 각 검정의 '참값'을 기준점으로")
print(f"{'분포':>10s} {'t(평균)':>9s} {'윌콕슨(유사중앙값)':>18s} "
      f"{'부호(중앙값)':>13s}")
pm_exp = stats.gamma.ppf(0.5, 2) / 2
for name, gen, ctr in [
        ("정규", lambda s: rng.normal(0, 1, s), (0.0, 0.0, 0.0)),
        ("지수", lambda s: rng.exponential(1, s), (1.0, pm_exp, np.log(2))),
        ("t(3)", lambda s: rng.standard_t(3, s), (0.0, 0.0, 0.0))]:
    c = np.zeros(3)
    for _ in range(M):
        x = gen(n)
        c[0] += stats.ttest_1samp(x, ctr[0]).pvalue < 0.05
        c[1] += stats.wilcoxon(x - ctr[1]).pvalue < 0.05
        k = (x > ctr[2]).sum()
        c[2] += stats.binomtest(k, n, 0.5).pvalue < 0.05
    print(f"{name:>10s} {c[0] / M:9.4f} {c[1] / M:18.4f} "
          f"{c[2] / M:13.4f}")

H0 가 참인 경우 — 각 검정의 '참값'을 기준점으로
        분포     t(평균)         윌콕슨(유사중앙값)       부호(중앙값)
        정규    0.0503             0.0499        0.0452
        지수    0.0802             0.0576        0.0423
      t(3)    0.0404             0.0473        0.0398

print(f"지수분포(1)의 세 중심: 평균 1.0000, "
      f"유사중앙값 {pm_exp:.4f}, 중앙값 {np.log(2):.4f}")

지수분포(1)의 세 중심: 평균 1.0000, 유사중앙값 0.8392, 중앙값 0.6931

import numpy as np
from scipy import stats
from scipy.optimize import brentq

n, xbar, s, mu0 = 25, 490.0, 18.0, 500.0
t = (xbar - mu0) / (s / np.sqrt(n))
p = 2 * stats.t.sf(abs(t), n - 1)
d = (xbar - mu0) / s
g = d * (1 - 3 / (4 * (n - 1) - 1))              # 헤지스 보정

# d 의 신뢰구간: 비중심 t 분포를 역전
def nct_ci(t, n, level=0.95):
    lo = brentq(lambda nc: stats.nct.sf(t, n - 1, nc) - (1 - level) / 2,
                -20, 20)
    hi = brentq(lambda nc: stats.nct.cdf(t, n - 1, nc) - (1 - level) / 2,
                -20, 20)
    return lo / np.sqrt(n), hi / np.sqrt(n)

lo, hi = nct_ci(t, n)
tc = stats.t.ppf(0.975, n - 1)
h = tc * s / np.sqrt(n)
print(f"t({n-1}) = {t:.4f},  p = {p:.5f}")
print(f"평균 차이 {xbar - mu0:.1f} g  (95% CI {xbar - mu0 - h:.2f} ~ "
      f"{xbar - mu0 + h:.2f})")
print(f"코헨의 d = {d:.4f},  헤지스의 g = {g:.4f}")
print(f"d 의 95% 구간 ({lo:.4f}, {hi:.4f})")

t(24) = -2.7778,  p = 0.01045
평균 차이 -10.0 g  (95% CI -17.43 ~ -2.57)
코헨의 d = -0.5556,  헤지스의 g = -0.5380
d 의 95% 구간 (-0.9726, -0.1286)

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(17)
M, n = 20_000, 30
print(f"{'AR(1) ρ':>8s} {'t 검정의 실제 수준':>18s}")
for rho in [0.0, 0.1, 0.3, 0.5]:
    e = rng.standard_normal((M, n))
    x = np.empty((M, n))
    x[:, 0] = e[:, 0]
    for j in range(1, n):
        x[:, j] = rho * x[:, j - 1] + np.sqrt(1 - rho**2) * e[:, j]
    t = x.mean(1) / (x.std(1, ddof=1) / np.sqrt(n))
    print(f"{rho:8.1f} {np.mean(np.abs(t) > stats.t.ppf(0.975, n - 1)):18.4f}")

 AR(1) ρ        t 검정의 실제 수준
     0.0             0.0491
     0.1             0.0717
     0.3             0.1450
     0.5             0.2583

rng = np.random.default_rng(23)
print(f"\n{'n':>5s} {'지수분포에서 샤피로-윌크 기각률':>26s}")
for n in [10, 20, 50, 100]:
    r = np.mean([stats.shapiro(rng.exponential(1, n)).pvalue < 0.05
                 for _ in range(3_000)])
    print(f"{n:5d} {r:26.4f}")

    n          지수분포에서 샤피로-윌크 기각률
   10                     0.4577
   20                     0.8353
   50                     0.9983
  100                     1.0000