부호검정¶

1단계. \(m_0 = 2000\)을 기준으로 부호를 구한다.

2단계. 동점을 제외하면 \(n = 13\), \(n_+ = 7\), \(n_- = 6\)이다.

3단계. 정확 양측 \(p\)값을 계산한다. \(H_0\) 아래 \(S \sim \text{Binomial}(13, 0.5)\)이다.

\(p = 1.000 \gg 0.05\)이므로 \(H_0\)을 기각하지 못한다. 자료는 열량 섭취 중앙값이 2000이라는 것과 일관된다.

(a) \(\tilde{\mu}_d\)를 대응차이의 모중앙값이라 하자.

• \(H_0\): \(\tilde{\mu}_d = 0\) (식단에 효과가 없다)
• \(H_1\): \(\tilde{\mu}_d > 0\) (식단이 콜레스테롤을 낮춘다)

(b) 차이의 부호를 세면 양수 8개(\(+\)), 음수 2개(\(-\)), 0은 없다. 부호검정의 검정통계량은 양의 부호 개수 \(S^+ = 8\)이다.

(c) \(H_0\) 아래에서 각 차이가 양수일 확률과 음수일 확률이 같으므로 \(S^+ \sim \text{Binomial}(n = 10, p = 0.5)\)이다.

단측검정(\(H_1\): 중앙값 \(> 0\))의 \(p\)값은

(d) \(p \approx 0.055 > 0.05\)이므로 5% 유의수준에서 \(H_0\)을 기각하지 못한다. 콜레스테롤 감소의 증거가 시사적이기는 하나 부호검정으로는 통계적으로 유의하지 않다. 부호검정이 크기 정보를 버리기 때문에 보수적임에 유의하라. Wilcoxon 부호순위검정은 다른 결론을 낼 수 있다.

import numpy as np
from scipy import stats
d = np.array([10, 5, -5, 15, 2, 5, 10, -3, 15, 10])
print(stats.binomtest(8, 10, 0.5, alternative='greater').pvalue)  # 0.0547
print(stats.wilcoxon(d, alternative='greater').pvalue)            # 0.01367
print(stats.ttest_1samp(d, 0, alternative='greater').pvalue)      # 0.00833

출력:

0.0546875
0.013671875
0.008331827903401293

부호검정만 결론이 다르다. 이유는 자료의 구조에 있다. 두 개의 음의 차이 \(-5\)와 \(-3\)은 절댓값이 가장 작은 축에 속한다. 절댓값 순위는

이고, 음의 차이가 받은 순위는 \(4\)와 \(2\)로 총 \(6\)뿐이다. 전체 순위합 \(55\) 중 \(W^+ = 49\)가 양의 차이에 몰려 있다.

부호검정은 이 정보를 전혀 쓰지 않는다. 부호검정에게 \(-3\)은 \(-300\)과 똑같은 한 개의 음수이다. 반면 Wilcoxon은 "반대 방향의 증거가 있긴 하지만 모두 미미하다"를 읽어 낸다.

이것이 \(\text{ARE}(\text{부호}, t) = 0.637\)과 \(\text{ARE}(\text{Wilcoxon}, t) = 0.955\)의 차이가 현실에서 드러나는 모습이다. 다만 이 자료가 Wilcoxon에 유리하게 짜여 있다는 점도 유의하라. 음의 차이가 컸다면 순서가 뒤집혔을 것이다.

import numpy as np
from scipy import stats
for n in (10, 13, 20, 25, 30):
    pv = np.array([stats.binomtest(k, n, 0.5).pvalue for k in range(n + 1)])
    pmf = stats.binom.pmf(np.arange(n + 1), n, 0.5)
    print(n, pmf[pv <= 0.05].sum())

출력:

10 0.021484375000000017
13 0.022460937500000003
20 0.04138946533203132
25 0.043285250663757324
30 0.04277394525706773

모두 \(0.05\)보다 작다. 원인은 \(S\)가 이산이기 때문이다. 기각역은 \(\{S \le c\} \cup \{S \ge n - c\}\) 형태여야 하는데, 이 집합의 확률이 \(\alpha\)를 정확히 맞추는 정수 \(c\)가 없다.

\(n = 10\)을 보자. 양측 확률은 \(c = 1\)일 때 \(2 \times P(S \le 1) = 2 \times 11/1024 = 0.0215\)이고, \(c = 2\)일 때 \(2 \times 56/1024 = 0.1094\)이다. \(0.05\)를 넘지 않으려면 \(c = 1\)을 택할 수밖에 없고, 그러면 실제 크기가 \(0.0215\)로 명목값의 절반도 안 된다.

귀결은 검정력 손실이다. 부호검정이 \(t\) 검정보다 검정력이 낮은 것은 ARE가 \(0.637\)이라서만이 아니라, 소표본에서 유의수준을 절반밖에 쓰지 못하기 때문이기도 하다. 이 이산성 손실은 \(n\)이 커지면서 줄어들어 \(n = 20\) 이상에서는 \(0.043\) 근처로 안정된다.

이 문제를 완화하려면 중간 \(p\)값(mid-\(p\))을 쓸 수 있다. \(p_{\text{mid}} = P(S > s) + \tfrac{1}{2}P(S = s)\)로 정의하면 평균적으로 크기가 명목수준에 가까워지지만, 더 이상 크기를 \(\alpha\) 이하로 보장하지는 않는다.

연속분포에서는 두 진술이 동치이다. 그러나 이산분포나 \(m_0\)에 확률질량이 있는 분포에서는 갈라진다.

\(X\)가 \(P(X = 0) = 0.4\), \(P(X = 1) = 0.3\), \(P(X = -1) = 0.3\)인 분포를 따른다고 하자. 중앙값은 \(0\)이다. 그러나

이다. 부호검정은 동점을 버리므로 남은 관측값에 대해 \(p = P(X > 0 \mid X \ne 0) = 0.5\)를 검정하고, 이 경우 옳은 답을 낸다.

문제는 분포가 \(m_0\)에서 비대칭일 때다. \(P(X = 0) = 0.4\), \(P(X = 1) = 0.4\), \(P(X = -1) = 0.2\)라 하자. 중앙값은 여전히 \(0\)이지만(\(P(X \le 0) = 0.6 \ge 0.5\)이고 \(P(X \ge 0) = 0.8 \ge 0.5\)),

이다. 부호검정은 \(H_0\)을 기각할 것이고 --- 중앙값 가설은 참인데도 --- 이는 제1종 오류가 아니라 다른 가설을 검정한 결과이다.

from scipy import stats
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(2)
x = rng.choice([-1, 0, 1], size=200, p=[0.2, 0.4, 0.4])
nz = x[x != 0]
print(np.median(x), stats.binomtest((nz > 0).sum(), len(nz), 0.5).pvalue)
# 0.0  0.00017  ← 중앙값은 0인데 기각한다

출력:

0.0 0.00017009447829625235

정확한 서술은 이렇다. 부호검정의 귀무가설은 "\(P(X > m_0) = P(X < m_0)\)"이다. 연속분포에서는 이것이 중앙값 조건과 같지만, 동점이 생길 수 있는 자료(순서형 척도, 반올림된 측정값)에서는 같지 않다. 순서형 자료가 부호검정의 주된 응용 영역임을 생각하면 이는 실제로 마주치는 문제이다.