8장: 신뢰구간¶

개요¶

신뢰구간은 그럴듯한 값들의 범위를 지정된 신뢰수준과 함께 제시하여 모수 추정의 불확실성을 정량화한다. 이 장에서는 일표본, 이표본, 대응표본 설계에서 평균, 비율, 분산에 대한 신뢰구간의 이론과 구성법을 전개한다. 또한 원하는 오차한계를 달성하려면 표본이 얼마나 커야 하는가라는 실무적 질문도 다룬다.

장의 구성¶

8.1 기초¶

신뢰구간이 무엇인지, 어떻게 올바르게 해석하는지, 가장 흔한 오해는 무엇인지를 비롯한 신뢰구간의 기초 이론:

신뢰수준과 포함확률 -- 신뢰구간을 형식적으로 정의하고, 신뢰수준(90%, 95%, 99%)의 역할을 설명하며, 일반형을 점추정값 ± 오차한계로 유도한다.
해석과 흔한 함정 -- 신뢰구간의 반복표본추출 해석을 분명히 하고, 95% 신뢰구간이 모수가 그 구간에 있을 확률이 95%라는 뜻이라는 흔한 오해를 바로잡는다.

8.2 일표본 구간¶

표본 하나로 추정하는 단일 모수의 신뢰구간:

평균(mu)의 신뢰구간 -- 모평균에 대한 z-구간(분산을 아는 경우)과 t-구간(분산을 모르는 경우)을 구성하고, 타당성 조건과 중심극한정리의 역할을 다룬다.
비율(p)의 신뢰구간 -- 모비율에 대한 Wald z-구간을 유도하고, Wilson과 Clopper-Pearson 대안을 논하며, 정규근사 조건을 제시한다.
분산(sigma squared)의 신뢰구간 -- 카이제곱분포로 모분산의 신뢰구간을 만든다. 정규성 가정이 필요하다.

8.3 이표본 구간¶

두 독립 모집단의 모수를 비교하는 신뢰구간:

평균 차이(mu1 - mu2)의 신뢰구간 -- z-구간(분산을 아는 경우), 합동 t-구간(분산이 같은 경우), Welch-Satterthwaite 자유도를 쓰는 Welch t-구간(분산이 다른 경우)을 다룬다.
비율 차이(p1 - p2)의 신뢰구간 -- 두 비율 차이에 대한 Wald 구간을 제시하고 Newcombe, Clopper-Pearson 대안과 비교한다.
분산비(sigma1 squared / sigma2 squared)의 신뢰구간 -- 두 모분산의 비에 대해 F-분포에 기반한 신뢰구간을 구성한다.

8.4 대응표본 구간¶

관측값이 자연스럽게 짝을 이루는 자료의 신뢰구간:

차이의 평균(mu_D)의 신뢰구간 -- 대응된 차이에 일표본 t-구간을 적용하여 관련된 두 측정값의 평균 차이를 추정한다.
대응 설계와 독립 설계 중 무엇을 쓸 것인가 -- 예상되는 짝 내 상관과 연구의 실행 여건에 따라 대응 설계와 독립 설계 중 무엇을 고를지 지침을 준다.
비율의 대응 구간 (McNemar) -- 대응된 이진 자료를 McNemar 방식으로 다루며, 불일치 짝에 초점을 맞추어 대응 비율 차이의 신뢰구간을 구성한다.

8.5 표본크기의 결정¶

목표 정밀도를 달성하는 데 필요한 최소 표본크기를 정하는 공식:

원하는 오차한계를 위한 표본크기 -- 지정된 오차한계와 신뢰수준으로 평균과 비율을 추정하기 위한 표본크기 공식을 유도한다.
두 집단 비교를 위한 표본크기 -- 표본크기 계산을 이표본 설계로 확장하여 평균과 비율을 비교하며, 효과크기와 원하는 검정력을 반영한다.

8.6 코드¶

완전한 Python 구현:

confidence_intervals.py -- 여러 상황에서의 신뢰구간 구성을 두루 시연한다.
sample_size.py -- 일표본·이표본 설계를 위한 표본크기 계산 도구.
ci_mean_sim.py -- 평균 신뢰구간의 포함확률을 검증하는 몬테카를로 모의실험.
ci_prop_sim.py -- 비율 신뢰구간의 포함확률 모의실험.
ci_var_sim.py -- 카이제곱분포를 쓰는 분산 신뢰구간의 포함확률 모의실험.
ci_paired_sim.py -- 대응표본 평균 차이 구간의 포함확률 모의실험.
ci_diff_means_sim.py -- 이표본 평균 차이 구간의 포함확률 모의실험.
ci_mean_calc.py -- 일표본 평균 신뢰구간을 단계별 출력과 함께 계산한다.
ci_prop_calc.py -- 일표본 비율 신뢰구간을 단계별 출력과 함께 계산한다.

8.7 연습문제¶

신뢰구간의 해석, 일표본·이표본 구간의 구성, 표본크기의 결정, 신뢰수준과 구간 너비의 관계를 다루는 연습문제들.

선수 지식¶

이 장은 다음 내용을 바탕으로 한다:

5장 (표본분포) -- 추축량 구성의 바탕이 되는 normal, t, 카이제곱, F 표본분포.
6장 (통계적 추정) -- 최대가능도추정량과 적률법 추정량, 그리고 편향과 일치성 같은 성질.
7장 (mu와 sigma squared의 추정) -- 추정량으로서의 표본평균과 표본분산, Bessel 수정, 그리고 그 표본분포.

핵심 요약¶

신뢰구간은 미지의 모수에 대해 그럴듯한 값들의 범위를 준다. 신뢰수준은 반복표본추출에서의 장기적 포함 비율을 가리키는 것이지, 특정한 하나의 구간이 모수를 담을 확률이 아니다.
z-구간과 t-구간 중 무엇을 쓸지는 모분산을 아는지와 표본크기에 달려 있다. sigma를 모르고 표본이 작을 때는 t-구간이 더 적절하다.
이표본 구간은 독립인 집단들 사이에서 평균, 비율, 분산을 비교하게 해 주며, 분산이 다를 때는 Welch 방식이 로버스트성을 준다.
대응표본 구간은 짝 내 상관을 활용해 변동성을 줄이며, 짝짓기가 의미 있을 때 독립표본 설계보다 좁은 구간을 만든다.
표본크기 공식은 원하는 오차한계와 신뢰수준을 필요한 최소 관측값 수로 옮겨 주어, 연구자가 충분한 정밀도로 연구를 계획할 수 있게 한다.