결합분포와 주변분포¶

\(xy = 0\)인 칸은 모두 떨어져 나가므로 \(x \ge 1\)이고 \(y \ge 1\)인 네 칸만 남는다.

먼저 확인한다:

이제 확률을 구한다:

따라서 \(P(X < 1/2, Y < 1/2) = 1/2\)이다. \(x \le y\)이므로 \(Y < 1/2\)이면 \(X < 1/2\)은 저절로 따라오고, 결국 \(P(Y < 1/2)\)를 구한 것과 같다.

(1) 해석적으로. 주변화는 표에서 그냥 더하는 일이다. 행을 더하면 \(Y\) 가 지워지고 열을 더하면 \(X\) 가 지워진다.

\(p_Y\) 는 \(1\) 을 중심으로 대칭이므로 \(E[Y] = 1\) 이 곧바로 보인다. \(X\) 쪽은 직접 더한다.

둘째 적률도 같은 방식이다.

따라서

이다. 여기까지는 그림자만으로 된 계산이다. 교차항은 그렇지 않다. 「손으로 풀어 보기 — 이산」에서 네 칸만 남겨 \(E[XY] = 1.05\) 를 얻었으므로

이고, 정리 3 의 공식에 넣으면

이다.

(2) 같은 그림자, 다른 무게. 주변분포를 곱해 새 표 \(\tilde p(x,y) = p_X(x)\,p_Y(y)\) 를 만들면 행합과 열합은 한 칸도 바뀌지 않는다. 그러나 안쪽은 전혀 다르다.

이 배치에서는 \(\operatorname{Cov} = 0\) 이므로 교차항이 사라진다.

차이 \(1.2475 - 1.0475 = 0.2\) 가 정확히 \(2\operatorname{Cov}(X,Y)\) 다. 두 표는 가장자리가 같아 \(E[X+Y] = 1.95\) 도 같지만 퍼짐은 다르다. §2 에서 말한 "주변분포는 결합분포를 결정하지 못한다" 가 분산 한 개의 수치로 드러난 것이다.

(3) 수치적으로. 표를 배열로 적어 두 배치를 나란히 재 본다.

import numpy as np
import pandas as pd

# 결합 PMF를 2차원 배열로 적는다. pmf[i, j] = P(X=i, Y=j) 이고 전체 합이 1이다.
pmf = np.array([
    [0.10, 0.15, 0.05],
    [0.10, 0.25, 0.10],
    [0.05, 0.10, 0.10]
])

df = pd.DataFrame(pmf, index=['X=0', 'X=1', 'X=2'], columns=['Y=0', 'Y=1', 'Y=2'])

# 주변분포는 표의 "가장자리(margin)"에 놓인다. 이름의 유래가 그것이다.
#   행 방향으로 더하면(axis=1) Y를 지워 P(X=x)가 남고,
#   열 방향으로 더하면(axis=0) X를 지워 P(Y=y)가 남는다.
# 이것이 주변화 p(x) = sum_y p(x,y) 를 표에서 실행한 것이다.
df['P(X=x)'] = pmf.sum(axis=1)
df.loc['P(Y=y)'] = pmf.sum(axis=0).tolist() + [1.0]   # 맨 끝 1.0은 전체 합
print(df)

vals = np.arange(3)
p_x, p_y = pmf.sum(axis=1), pmf.sum(axis=0)

def moments(table):
    """결합표 하나에서 E[X], E[Y], E[XY], Var(X+Y) 를 전부 꺼낸다."""
    mx, my = table.sum(axis=1), table.sum(axis=0)
    e_x, e_y = (vals * mx).sum(), (vals * my).sum()
    e_xy = sum(i * j * table[i, j] for i in vals for j in vals)
    v_x = (vals ** 2 * mx).sum() - e_x ** 2
    v_y = (vals ** 2 * my).sum() - e_y ** 2
    cov = e_xy - e_x * e_y
    return e_x, e_y, e_xy, v_x, v_y, cov, v_x + v_y + 2 * cov

# 주변분포를 곱해 만든 독립 배치. 가장자리는 똑같고 안쪽만 다르다.
indep = np.outer(p_x, p_y)
print(f"\n두 배치의 주변분포가 같은가: "
      f"{np.allclose(indep.sum(axis=1), p_x) and np.allclose(indep.sum(axis=0), p_y)}")

for name, table in [("원래 표", pmf), ("독립 배치", indep)]:
    e_x, e_y, e_xy, v_x, v_y, cov, v_s = moments(table)
    print(f"{name}: E[X]={e_x:.4f} E[Y]={e_y:.4f} E[XY]={e_xy:.4f} "
          f"Var(X)={v_x:.4f} Var(Y)={v_y:.4f} Cov={cov:.4f} Var(X+Y)={v_s:.4f}")

# S = X + Y 의 분포를 직접 세어 공식과 맞춰 본다.
for name, table in [("원래 표", pmf), ("독립 배치", indep)]:
    s_pmf = np.zeros(5)
    for i in vals:
        for j in vals:
            s_pmf[i + j] += table[i, j]
    e_s = (np.arange(5) * s_pmf).sum()
    v_s = (np.arange(5) ** 2 * s_pmf).sum() - e_s ** 2
    print(f"{name}: S 의 PMF = {np.round(s_pmf, 4)}  E[S]={e_s:.4f}  Var(S)={v_s:.4f}")

출력:

         Y=0   Y=1   Y=2  P(X=x)
X=0     0.10  0.15  0.05    0.30
X=1     0.10  0.25  0.10    0.45
X=2     0.05  0.10  0.10    0.25
P(Y=y)  0.25  0.50  0.25    1.00

두 배치의 주변분포가 같은가: True
원래 표: E[X]=0.9500 E[Y]=1.0000 E[XY]=1.0500 Var(X)=0.5475 Var(Y)=0.5000 Cov=0.1000 Var(X+Y)=1.2475
독립 배치: E[X]=0.9500 E[Y]=1.0000 E[XY]=0.9500 Var(X)=0.5475 Var(Y)=0.5000 Cov=0.0000 Var(X+Y)=1.0475
원래 표: S 의 PMF = [0.1  0.25 0.35 0.2  0.1 ]  E[S]=1.9500  Var(S)=1.2475
독립 배치: S 의 PMF = [0.075  0.2625 0.3625 0.2375 0.0625]  E[S]=1.9500  Var(S)=1.0475

유도한 \(1.2475\) 와 \(1.0475\) 가 코드가 준 값과 맞고, \(S\) 의 분포를 직접 세어 구한 분산도 같은 두 값을 준다. \(E[S] = 1.95\) 는 두 배치에서 똑같다. 평균은 그림자가 정하고 분산은 안쪽 무게가 정한다.

(1) 해석적으로. 식 \(6(1-y)\) 에 \(x\) 가 아예 없다. 그러므로 삼각형 안에서 밀도는 \(y\) 만으로 정해지고 \(x\) 방향으로는 평평하다. 등고선 \(f = c\) 는 \(y\) 가 상수인 집합, 곧 가로줄이 된다. 삼각형 바깥이 \(0\) 이므로 각 가로줄은 \(x \in [0, y]\) 에서만 그려진다.

주변밀도는 다른 변수를 더해 없애면 된다. 적분 범위가 삼각형에 걸려 있으니 그것만 조심한다. \(y\) 를 고정하면 \(x\) 는 \(0\) 부터 \(y\) 까지이므로

이고, 거꾸로 \(x\) 를 고정하면 \(y\) 는 \(x\) 부터 \(1\) 까지이므로

이다. 둘 다 적분이 \(1\) 인지 확인한다. \(\int_0^1 6y(1-y)\,dy = 6(\tfrac12 - \tfrac13) = 1\) 이고 \(\int_0^1 3(1-x)^2 dx = 1\) 이다. 이름을 붙이면 \(Y \sim \text{Beta}(2,2)\), \(X \sim \text{Beta}(1,3)\) 이고 평균은 \(E[Y] = \tfrac12\), \(E[X] = \tfrac14\) 다.

두 주변밀도의 곱은 원래 밀도가 아니다. \(f_X(x) f_Y(y) = 3(1-x)^2 \cdot 6y(1-y)\) 는 단위정사각형 전체에서 양수이지만 \(f_{X,Y}\) 는 삼각형 밖에서 \(0\) 이다. 정의역이 사각형이 아니라는 것만으로 이미 종속이다.

(2) 어긋난 것이 아니다. 주변밀도는 밀도의 높이가 아니라 단면의 무게다. 높이에 단면의 길이를 곱한 것이기 때문이다.

\(y \to 0\) 에서 높이는 \(6\) 으로 가장 크지만 단면이 한 점으로 쪼그라들어 길이가 \(0\) 이다. 거꾸로 \(y \to 1\) 에서는 단면이 가장 길지만 높이가 \(0\) 이다. 두 효과가 맞물려 \(f_Y\) 는 가운데 \(y = \tfrac12\) 에서 최대 \(6 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12 = 1.5\) 를 갖는다. 그림에서 색이 가장 진한 곳과 \(Y\) 가 가장 많이 머무는 곳이 다르다는 것이 이 보기에서 볼 것이다.

(3) 수치적으로. 등고선을 그리고, 유도한 두 주변밀도를 수치적분과 맞춰 본다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate

x = np.linspace(0, 1, 200)
y = np.linspace(0, 1, 200)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# 이 결합밀도는 삼각형 영역 0 <= x <= y <= 1 위에서만 0이 아니다.
# where로 그 조건을 걸어 바깥을 0으로 만든다.
# **정의역이 사각형이 아니라는 점이 핵심이다.** X의 범위가 Y에 달려 있으므로
# 두 변수는 종속이며, 결합밀도를 주변밀도의 곱으로 쪼갤 수 없다.
Z = np.where(X <= Y, 6 * (1 - Y), 0)

# 유도한 주변밀도. 수치적분으로 같은 값이 나오는지 확인한다.
f_X = lambda t: 3 * (1 - t) ** 2
f_Y = lambda t: 6 * t * (1 - t)

for t in (0.2, 0.5, 0.8):
    # f_X(x) = int_x^1 6(1-y) dy,  f_Y(y) = int_0^y 6(1-y) dx = 6y(1-y)
    num_x = integrate.quad(lambda yy: 6 * (1 - yy), t, 1)[0]
    print(f"t={t}:  f_X 유도 {f_X(t):.6f} / 적분 {num_x:.6f}"
          f"   f_Y 유도 {f_Y(t):.6f} / 높이×길이 {6 * (1 - t) * t:.6f}")

print(f"규격화: int f_X = {integrate.quad(f_X, 0, 1)[0]:.6f},"
      f"  int f_Y = {integrate.quad(f_Y, 0, 1)[0]:.6f}")
print(f"E[X] = {integrate.quad(lambda t: t * f_X(t), 0, 1)[0]:.6f},"
      f"  E[Y] = {integrate.quad(lambda t: t * f_Y(t), 0, 1)[0]:.6f}")
print(f"결합밀도 최대 높이 = {6 * (1 - 0):.1f} (y=0),"
      f"  f_Y 최대 = {f_Y(0.5):.1f} (y=0.5)")

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5))
c = ax.contourf(X, Y, Z, levels=20, cmap='viridis')
fig.colorbar(c, ax=ax, label='f(x, y)')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Joint PDF: f(x,y) = 6(1-y)')
plt.show()

출력:

t=0.2:  f_X 유도 1.920000 / 적분 1.920000   f_Y 유도 0.960000 / 높이×길이 0.960000
t=0.5:  f_X 유도 0.750000 / 적분 0.750000   f_Y 유도 1.500000 / 높이×길이 1.500000
t=0.8:  f_X 유도 0.120000 / 적분 0.120000   f_Y 유도 0.960000 / 높이×길이 0.960000
규격화: int f_X = 1.000000,  int f_Y = 1.000000
E[X] = 0.250000,  E[Y] = 0.500000
결합밀도 최대 높이 = 6.0 (y=0),  f_Y 최대 = 1.5 (y=0.5)

유도한 \(f_X(x) = 3(1-x)^2\) 와 \(f_Y(y) = 6y(1-y)\) 가 수치적분과 소수점 여섯 자리까지 맞고, 규격화와 평균 \(\tfrac14\), \(\tfrac12\) 도 그대로 나온다.

그림에서 읽을 것은 두 가지다. 첫째, 색띠가 가로로만 바뀐다. 삼각형 안에서 가로로 움직이면 색이 그대로이고, 위로 올라갈 때만 노란색에서 짙은 남색으로 변한다. \(x\) 가 밀도에 들어 있지 않다는 사실이 그대로 보인다. 둘째, 그림이 가리는 것이 주변밀도다. 색이 가장 밝은 곳(노란색)은 아래쪽 \(y \approx 0\) 의 꼭짓점 언저리인데 그곳의 삼각형 단면은 거의 폭이 없다. 등고선 그림은 높이만 칠해 주므로 "무게가 실제로 어디에 모여 있는가"는 보여 주지 못하며, 그것을 보려면 (1) 처럼 눌러 모아야 한다.

(1) 해석적으로. 대각원소가 둘 다 \(1\) 로 같다는 것이 계산을 끝내 준다. 벡터 \((1,1)^{\mathsf T}\) 와 \((1,-1)^{\mathsf T}\) 를 넣어 보면

이므로 고유값은 \(\lambda_1 = 1 + \rho = 1.7\), \(\lambda_2 = 1 - \rho = 0.3\) 이고 고유벡터는 각각 \(45^\circ\) 선 \(y = x\) 와 그에 직교하는 \(y = -x\) 다. 분산이 같은 두 변수에서는 상관의 부호만 주축이 어느 대각선인지를 정한다.

고유값은 그 방향으로 잰 분산이므로 축 길이의 비는 표준편차의 비다.

\(45^\circ\) 방향으로 직교 방향보다 \(2.38\) 배 길쭉한 타원이 나와야 한다.

한 가지 헷갈리기 쉬운 것. 주축의 기울기는 \(1\) 이지만 \(x\) 를 주었을 때 \(Y\) 의 평균을 잇는 직선의 기울기는 \(\rho = 0.7\) 이다. 두 직선은 다르다. 앞의 것은 점구름이 가장 길게 뻗은 방향이고 뒤의 것은 세로 단면들의 중심을 이은 선이다. 이 구별은 다음 절 조건부분포와 4.3절 이변량 정규분포에서 다시 다룬다.

(2) 이론값. 표본상관계수 \(r\) 의 큰표본 표준오차는

이다. \(0.7\) 에서 \(0.007\) 쯤 벗어나는 것은 늘 있는 일이고, \(0.02\) 이상 벗어나면 세 표준오차 밖이라 눈여겨볼 만하다.

(3) 수치적으로.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)
mean = [0, 0]
# 분산이 둘 다 1이므로 비대각원소 0.7이 곧 상관계수다.
cov = [[1, 0.7], [0.7, 1]]
# 5000개의 (x, y) 쌍을 뽑는다. 결과는 (5000, 2) 모양이다.
samples = np.random.multivariate_normal(mean, cov, 5000)

# (1) 고유분해. 고유값은 그 방향으로 잰 분산이므로
# 축 길이의 비는 고유값의 비가 아니라 그 제곱근의 비다.
evals, evecs = np.linalg.eigh(np.array(cov))
print(f"고유값 = {evals}  (이론 1-rho=0.3, 1+rho=1.7)")
print(f"큰 고유값의 고유벡터 = {np.round(evecs[:, 1], 4)}  (이론 (1,1)/sqrt(2) = {1 / np.sqrt(2):.4f})")
print(f"축 길이의 비 = {np.sqrt(evals[1] / evals[0]):.4f}  (이론 sqrt(17/3) = {np.sqrt(17 / 3):.4f})")

# (2) 표본에서 잰 값들. 주변분산은 1, 상관계수는 0.7 이어야 한다.
r = np.corrcoef(samples.T)[0, 1]
se = (1 - 0.7 ** 2) / np.sqrt(len(samples))
print(f"표본 주변분산 = {np.round(samples.var(axis=0, ddof=1), 4)}  (이론 1, 1)")
print(f"표본상관계수 r = {r:.6f},  SE(r) = {se:.6f},  (r - 0.7)/SE = {(r - 0.7) / se:+.3f}")

fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 5))
# alpha를 낮춰 겹침을 푼다. 5000개를 그대로 찍으면 가운데가 뭉개진다.
ax.scatter(samples[:, 0], samples[:, 1], alpha=0.2, s=5)
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
# 가로세로 비를 맞춰야 타원의 기울기를 정직하게 볼 수 있다
ax.set_aspect('equal')
ax.spines[['top', 'right']].set_visible(False)
plt.show()

출력:

고유값 = [0.3 1.7]  (이론 1-rho=0.3, 1+rho=1.7)
큰 고유값의 고유벡터 = [0.7071 0.7071]  (이론 (1,1)/sqrt(2) = 0.7071)
축 길이의 비 = 2.3805  (이론 sqrt(17/3) = 2.3805)
표본 주변분산 = [1.0022 1.0126]  (이론 1, 1)
표본상관계수 r = 0.700283,  SE(r) = 0.007212,  (r - 0.7)/SE = +0.039

고유값 \(0.3\) 과 \(1.7\), 축 비 \(2.3805\), 고유벡터 \((0.7071, 0.7071)\) 이 모두 (1) 의 유도와 맞는다. 표본상관계수 \(0.700283\) 은 \(0.7\) 에서 \(0.04\) 표준오차밖에 떨어져 있지 않다. 표본 하나로 얻은 값이 참값과 이만큼 가까운 것은 운이 좋은 편이며, 다른 씨앗을 쓰면 대개 \(0.007\) 쯤 떨어진 값이 나온다.

그림에서 확인할 것은 기울기다. 점구름이 \(45^\circ\) 선을 따라 길게 뻗어 있고, 가로세로 비를 맞춰 그렸으므로 그 기울기를 눈대중으로 읽어도 된다. 가로로는 대략 \(-4\) 부터 \(3.5\) 까지, 세로로도 비슷한 폭으로 퍼져 있다. 주변분포만 보면 둘 다 그냥 \(N(0,1)\) 이고, 이 기울기는 주변분포 어디에도 적혀 있지 않다. 보기 1 에서 표로 본 것과 같은 이야기가 연속형에서 되풀이된 것이다.

(a) 합 = 1이고 모두 음이 아니다 ✓.

(b) 행의 합: \(p_X(0,1,2) = (0.30, 0.40, 0.30)\). 열의 합: \(p_Y(0,1,2) = (0.25, 0.45, 0.30)\).

(c) \(\mathbb{E}[X] = 1.0\), \(\mathbb{E}[Y] = 1.05\), \(\mathbb{E}[XY] = 0.20 + 0.20 + 0.20 + 0.60 = 1.20\).

(d) \(\mathrm{Cov} = 1.20 - 1.0 \cdot 1.05 = 0.15\). \(\mathrm{Var}(X) = 0.60\), \(\mathrm{Var}(Y) = 0.5475\). \(\rho = 0.15/\sqrt{0.60 \cdot 0.5475} \approx 0.262\).

(e) 독립이 아니다: \(p(0,0) = 0.10 \ne p_X(0) p_Y(0) = 0.075\).

결합 CDF는 왼쪽 아래 사분면에서 결합 PDF를 적분한 것이다:

(충분한 매끄러움을 가정하고) 두 변수 모두에 대해 미분하면:

이는 1차원 관계 \(f = F'\)의 결합분포 판이다.

결합 CDF의 성질: 두 인수 각각에 대해 비감소이고, \(F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0\), \(F(\infty, \infty) = 1\)이며, 주변분포는 \(F_X(x) = F(x, \infty)\)와 \(F_Y(y) = F(\infty, y)\)로 되찾는다.

결합분포: \(f_{X, Y}(x, y) = f_{X|Y}(x|y) f_Y(y) = (1/y) e^{-y} \mathbf 1\{0 \le x \le y\}\).

\(X\)의 주변분포: \(y \ge x\)인 영역에서 \(y\)에 대해 적분한다:

이 적분은 초등함수로 표현되지 않는다(지수적분 \(E_1(x)\)와 같다). \(x\)가 작으면 \(-\ln x\)처럼 발산하고, \(x\)가 크면 \(e^{-x}/x\)처럼 행동한다. \(X\)는 알려져 있지만 초등함수가 아닌 분포를 갖는다.

교훈: 주변분포가 복잡하더라도 조건부 구조는 단순할 수 있다. 이러한 인수분해 관점이 계층적 베이즈 모형의 토대이다.

특정한 결과 열 하나가 나올 확률은 \(\prod_j p_j^{X_j}\)이다. 계수 벡터 \((X_1, \ldots, X_k)\)를 주는 열의 개수는 다항계수 \(\binom{n}{X_1, X_2, \ldots, X_k} = n!/(X_1! X_2! \cdots X_k!)\)이다.

결합 PMF:

이는 \(x_j \ge 0\)이고 \(\sum_j x_j = n\)일 때 성립한다.

\(X_j\)의 주변분포는 \(\mathrm{Binomial}(n, p_j)\)이다(\(j\) 이외의 범주를 하나로 묶으면 된다).

\(i \ne j\)일 때 \(X_i, X_j\) 사이의 공분산은 \(\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = -np_i p_j\)이다. 음수인 이유는 한 계수가 늘어나면 제약 \(\sum = n\) 때문에 다른 계수가 줄어들어야 하기 때문이다.

포함–배제. 사건 \(\{X \le b, Y \le d\}\)에서 왼쪽 띠 \(\{X \le a\}\)와 아래 띠 \(\{Y \le c\}\)를 빼면 두 띠가 겹치는 모서리 \(\{X \le a, Y \le c\}\)를 두 번 뺀 것이 되므로 한 번 되돌려 준다.

부호가 \(+,-,-,+\)로 엇갈리는 것은 2차원판 포함–배제이며, \(n\)차원이면 \(2^n\)개 항에 \((-1)^{\text{바뀐 좌표 수}}\)가 붙는다.

적용. 독립인 균등분포에서는 \(F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) = xy\)(\(0 \le x, y \le 1\))이므로

이다. 독립이므로 \((0.5 - 0.2)(0.8 - 0.3) = 0.3 \times 0.5 = 0.15\)로 직접 확인된다.

단조성만으로는 부족하다. 위 네 항의 합은 확률이므로 음이 될 수 없다. 그런데 두 인수에 대한 비감소성은 이 조건을 함의하지 않는다. 예컨대 \([0,1]^2\)에서

은 두 인수 각각에 대해 비감소이고 \(F(0,0) = 0\), \(F(1,1) = 1\)이지만, \(a = c = 0\), \(b = d = 1\)로 놓으면 네 항의 합이 \(1 - 1 - 1 + 0 = -1 < 0\)이 된다. 그러므로 결합 CDF의 정의에는 직사각형 부등식이 따로 들어가야 하며, 1차원에서 "비감소 + 오른쪽 연속 + 양 끝 극한"만으로 충분했던 것과 달라지는 지점이 여기다.

답할 수 없다. 주변분포는 결합분포를 결정하지 않으므로(§2) 두 변수가 어떻게 얽혀 있는지에 따라 답이 달라진다.

경우 1 (독립). 단위정사각형 위에 무게가 고르게 퍼져 있고, \(x + y > 1.5\)인 영역은 꼭짓점 \((0.5, 1)\), \((1, 0.5)\), \((1,1)\)을 잇는 직각삼각형이다. 두 변의 길이가 \(0.5\)이므로

경우 2 (\(Y = X\)). 무게가 대각선 위에만 놓인다. 주변분포는 여전히 각각 \(\text{Uniform}(0,1)\)이다.

같은 그림자에서 \(0.125\)와 \(0.25\)가 나온다. 두 배 차이다.

실무적 함의가 작지 않다. 위험을 합산하는 일이 모두 이 구조다. 자산 둘의 수익률 분포를 각각 알아도 포트폴리오 손실의 분포는 정해지지 않으며, 둘이 함께 무너질 가능성을 따로 모형화해야 한다. 주변분포는 그대로 두고 얽힘만 갈아 끼우는 도구를 코퓰러라 부른다. 2008년 금융위기에서 문제가 된 것이 바로 이 얽힘을 너무 낙관적으로 잡은 모형이었고, 5장의 금융위기 사례가 그 이야기를 다룬다.

행을 더해 \(p_X(0) = 0.3\), \(p_X(1) = 0.7\)이고, 열을 더해 \(p_Y(0) = 0.4\), \(p_Y(1) = 0.6\)이다.

\(E[XY]\)는 \(xy\)가 \(0\)이 아닌 칸이 하나뿐이라 간단하다.

참고로 \(E[X]E[Y] = 0.7 \times 0.6 = 0.42 \ne 0.4\)이므로 \(\operatorname{Cov}(X,Y) = -0.02\)이고 두 변수는 독립이 아니다.

규격화. \(\int_0^1\!\!\int_0^1 c(x+y)\,dx\,dy = c\left(\tfrac12 + \tfrac12\right) = c = 1\)이므로 \(c = 1\)이다.

주변밀도.

대칭이므로 \(f_Y(y) = y + \tfrac12\)다.

\(P(X > Y)\). 밀도가 \(x\)와 \(y\)에 대해 대칭이므로 직선 \(y = x\)의 양쪽 무게가 같다. 따라서

적분으로 확인해도 \(\int_0^1\!\!\int_0^x (x+y)\,dy\,dx = \int_0^1 \left(x^2 + \tfrac{x^2}{2}\right)dx = \tfrac12\)다.

덧붙여 독립이 아니다. \(f_X(x)f_Y(y) = (x+\tfrac12)(y+\tfrac12)\)에는 \(xy\) 항이 생기는데 원래 밀도에는 없다. 합은 곱으로 쪼개지지 않는다.

\(E[X+Y]\)는 주변분포만으로 된다. 선형성이 독립을 요구하지 않기 때문이다.

대칭이므로 \(E[Y]\)도 같고, 따라서 \(E[X+Y] = \tfrac{7}{6}\)이다.

\(\operatorname{Var}(X+Y)\)는 주변분포만으로 안 된다. 정리 3에서 보았듯

인데 마지막 항이 두 변수가 어떻게 얽혀 있는지에 달려 있다. 같은 주변분포를 갖는 다른 결합분포를 가져오면 이 값이 달라진다(연습문제 \(6\)이 그 극단적인 예다).

요약하면 이렇다. 평균은 그림자만 보고도 더할 수 있지만, 퍼짐은 안쪽 무게를 보아야 한다. 이것이 공분산이 따로 필요한 이유이며 3.4절 분산과 공분산이 그 양을 다룬다.

결합분포는 \(36\)칸에 \(1/36\)씩 고르게 놓인다. \(S = k\)인 칸의 개수를 세면 된다.

따라서 \(P(S=k)\)는 위 칸 수를 \(36\)으로 나눈 값이고, \(k=7\)에서 \(6/36\)으로 가장 크다.

주변분포만으로는 충분하지 않다. 위 계산에서 실제로 쓴 것은 "각 칸이 \(1/36\)"이라는 결합분포다. 주변분포가 똑같이 각각 균등한데도 결합분포가 다르면 답이 달라진다. 예컨대 \(Y = X\)로 짝지으면 두 주변분포는 그대로지만

이 되어 홀수가 아예 나오지 않는다. 합의 분포는 그림자가 아니라 안쪽 무게가 정한다.

다만 독립이라는 조건이 주어지면 주변분포만으로 계산이 닫힌다. 그때 결합분포가 곱으로 복원되기 때문이며, 그 계산을 합성곱이라 부른다.